ТЕМА 19 ТЕОРИЯ БИНОМ НЬЮТОНА

214

19. БИНОМ НЬЮТОНА

19.1. ПЕРЕСТАНОВКИ, РАЗМЕЩЕНИЯ, СОЧЕТАНИЯ

О п р е д е л е н и е. Конечное множество M называется упорядоченным, если каждому его элементу присвоен свой порядковый номер.

Две перестановки отличаются только порядком расположения элементов.

Упорядоченное множество обозначим круглыми скобками. Элементы упорядоченного множества запишем в круглых скобках в выбранном порядке. Например, из тр?хэлементного множества {a , b , c } можно составить 6 различных упорядоченных множеств: (a , b , c ), (a ,c , b ), (b , a , c ), (b , c , a ), (c , a , b ), (c , b , a ).

О п р е д е л е н и е. Любой установленный в конечном множестве порядок элементов называется перестановкой элементов множества.

Пусть множество имеет n элементов. Число всех перестановок этого множества обозначают n P . Можно доказать, что

!n P n =.

Символ !n ЧИТАЕМ: эн факториал. Символ n P ЧИТАЕМ: пэ эн.

Символом !n обозначают произведение первых n натуральных чисел:

!n = 1 ? 2 ? 3 ? … ? (n - 1) ? n .

!)1(+n = 1 ? 2 ? 3 ? … ? (n - 1) ? n ? (n + 1) =!n ? (n + 1).

Полагают !0 = 1, !1 = 1.

О п р е д е л е н и е. Пусть дано конечное множество M , состоящее из n элементов. Любое упорядоченное подмножество множества M , состоящее из m элементов, (m ≤ n ), называется размещением из n элементов по m .

Два размещения отличаются либо порядком элементов, либо их составом.

Символ m n A ЧИТАЕМ: а из эн по эм.

Число всех размещений из n элементов по m обозначается m n A . Можно доказать, что

m n A = !

)(!m n n -.

О п р е д е л е н и е. Пусть дано конечное множество M , состоящее из n элементов. Любое подмножество множества M , состоящее из m элементов, (m ≤ n ), называется сочетанием из n элементов по m .

Два сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Символ m n C ЧИТАЕМ: цэ из эн по эм.

Число всех сочетаний из n элементов по m обозначается m n C . Можно доказать, что

m n C = !

!)(!m m n n -.

19.2. СВОЙСТВА ЧИСЛА СОЧЕТАНИЙ. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

Отметим два свойства числа сочетаний.

215

С в о й с т в о 1. Имеет место равенство:

m n n

m n C C -=. С в о й с т в о 2. Имеет место равенство:

111+++=+m n m n m n C C C .

С помощью последнего равенства можно составить таблицу для нахождения

числа сочетаний m n C при n = 2, 3, 4, … .

Заметим, что 00C = 1, потому что пустое множество содержит только одно

пустое подмножество. Так как множество, состоящее из n элементов, содержит одно

пустое подмножество, то 0n C = 1 для любого натурального числа n . Множество,

состоящее из n элементов, содержит только одно подмножество, состоящее из n

элементов, поэтому n n C = 1 для любого натурального числа n . В частности, 0

1C = 11C = 1. Далее находим:

02C = 1, 12C = 01C + 11C = 1 + 1 = 2, 2

2C = 1,

03C = 1, 13C = 02C + 12C = 1 + 2 = 3, 23C = 12C + 22C = 2 + 1 = 3, 33C = 1. Расположим все найденные числа в виде треугольной таблицы, которую составим по следующей схеме:

00C 01C 1

1C 02C 12C 22C

03C 13C 23C 33C

Тогда получим:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

Теперь ясно, как составить четв?ртую строку этой таблицы, содержащую числа 04C , 14C , 24C , 34C , 4

4C . Крайние члены четв?ртой строки равны единице, а каждый из остальных членов этой строки равен сумме двух расположенных над ним членов предыдущей строки. Так же обстоит дело и с остальными строками. В результате получим следующую треугольную таблицу, которая называется треугольником Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 При этом (n - 1)-ю строку треугольника Паскаля образуют числа 0n C , 1n C , 2

n C , … , n n C .

216

19.3. ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУЧЛЕНА (x + 1) В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ

Как представить выражение n x )1(+ в виде суммы одночленов? Непосредственно, то есть по правилу умножения многочлена на многочлен, находим:

1

)1(+x = 1+x ,

2)1(+x = 122++x x ,

3)1(+x = 13323+++x x x ,

4)1(+x = 3)1(+x )1(+x = 1464234++++x x x x . Заметим, что во всех рассмотренных случаях выражение n x )1(+ представляет собой многочлен степени n , коэффициенты которого совпадают с элементами соответствующей строки треугольника Паскаля. Например, в разложении

3)1(+x = 1332

3+++x x x коэффициенты многочлена соответственно равны 1, 3, 3, 1, и третья строка треугольника Паскаля имеет такой же вид; в разложении

4)1(+x = 3)1(+x )1(+x = 14642

34++++x x x x коэффициенты многочлена соответственно равны 1, 4, 6, 4, 1, и четв?ртая строка треугольника Паскаля имеет такой же вид и так далее.

Вообще, (n + 1)-ая строка треугольника Паскаля имеет вид 0n C , 1n C , 2

n C , … , n n C . Поэтому возникает предположение, что n x )1(+ = 0n C n x + 1n C 1-n x

+ 2n C 2-n x + … + 1-n n C x + n n C . Можно доказать, что это предположение верно.

Полагая в последнем равенстве x = 1, получим:

0n C + 1n C + 2n C + … + 1-n n C + n n C = n 2.

Это означает, что если множество состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно n 2.

ПРИМЕР. Найд?м разложение 6)1(+x .

Имеем:

6)1(+x = 06C 6x + 16C 5x + 26C 4x + 36C 3x + 46C 2x + 56C x + 6

6C = = 6x + 56x + 415x + 320x + 2

15x + x 6 + 1.

В процессе вычислений мы воспользовались тем, что 46C = 26C , и что 56C = 16C .

19.4. НАТУРАЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ БИНОМА

Напомним, что бином – это двучлен b a +.

Выведем формулу для возведения бинома в любую натуральную степень.

Рассмотрим выражение ()n b a +и выполним следующие преобразования:

217

()n b a + = n b a b ??? ????? ??+1 = n b n

b a ??? ??+1. Положим x b a

=. Используя формулу

n x )1(+ = 0n C n x + 1n C 1-n x + 2n C 2-n x + … + 1-n n C x + n n C ,

получим:

()n b a + = n b a b ??? ?????

??+1 = n b n x )1(+ = = n b (0n

C n x + 1n C 1-n x + 2n C 2-n x + … + 1-n n C x + n n C ) = = n b (0n C n b a ??? ?? + 1n C 1-??

? ??n b a + 2n C 2

-??? ??n b a + … + 1-n n C b a + n n C ) = = 0n C n a + 1n C b a n 1- + 2n C 22b a n - + … + 1-n n C 1-n ab + n n

C n b . Итак, ()n b a + = 0n C n a + 1n C b a n 1- + 2n C 22b a n - + … + 1-n n C 1-n ab

+ n n C n

b . Эта формула называется биномиальной формулой Ньютона или формулой бинома Ньютона, а е? правая часть – разложением степени бинома. Коэффициенты m n C в разложении степени бинома называются биномиальными коэффициентами. Заметим, что в n -ой степени разложения бинома b a + содержится n + 1 слагаемое, прич?м показатели степени, в которую возводится a , последовательно убывают от n до нуля, а показатели степени, в которую возводится b , последовательно возрастают от нуля до n . В разложении степени бинома коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и от конца разложения, равны между собой: это следует из равенства m

n n m n C C -=. Заметим также, что сумма биномиальных коэффициентов в разложении ()n b a + равна n 2.

ПРИМЕР. Найд?м разложение степени бинома 5)32(-x .

Решение. Полагая x a 2=, 3-=b , получим:

5)32(-x = 05C 5a + 15C b a 4 + 25C 23b a + 35C 32b a + 45C 4ab + 55C 5

b = = ()52x + 5?()42x ?()3- + 10?()32x ?()23- + 10?()22x ?()33- + 5?()x 2?()43- +

+ ()53- = 532x - 4240x + 3720x - 21080x + x 810 - 243. ПРИМЕР. Пятый член разложения n x x ??? ?

?+13 не зависит от x . Найд?м n . Решение. Пятый член разложения 5T имеет следующий вид:

5T = 4n C ? ()43-n x ?41??? ??x = 4n C ?434--n x .

218

По условию 5T не зависит от x ; это значит, что показатель степени, в которую возводят x , равен нулю, то есть

434--n = 0. Из последнего уравнения находим

16=n .

У П Р А Ж Н Е Н И Я

I. Напишите разложение степени бинома:

1) 7)1(+x ; 2) 5)2(-x ; 3) 4)23(y x +; 4) 6

21??? ?

?-x x .

II. Найдите: а) биномиальный коэффициент среднего члена разложения 20)(b a +;

б) четв?ртый член разложения 6)58(y x -.

III . Сумма биномиальных коэффициентов разложения n nx x ???? ??+2233

2 равна

64. Напишите член, не содержащий переменную x .

СЛОВА И СЛОВОСОЧЕТАНИЯ

бином

биномиальный

выбирать - выбрать

выбранный, -ая, -ое, -ые

перестановка

полагать

порядок

предполагать - предположить

предположение

присваивать - присвоить

равноотстоящий, -ая, -ее, -ие

размещение

соответственно

составлять - составить что?

состоять из чего?

сочетание

схема

упорядоченный, -ая, -ое, -ые

устанавливать - установить что?

установленный, -ая, -ое, -ые

факториал

219