苏锡常镇一模数学答案
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2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
数学参考答案
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {x|0 6 8. 132 9. －13e 10. ????－π2＋k π，k π，(k ∈Z ) 11. 34 12. ??? ?2143，22 13. {18，－1 8，0} 14. 3＋224 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：(1) 因为a ⊥b ，所以sin ????α＋π 6＋12cos α＝0，(2分) 即32sin α＋1 2cos α＋12cos α＝0， 即 32sin α＋25 2 cos α＝0，(4分) 又cos α≠0，所以tan α＝－ 253 3 .(6分) (2) 若a ∥b ，则4cos αsin ????α＋π 6＝3，(8分) 即4cos α????32sin α＋1 2cos α＝3， 所以3sin2α＋cos2α＝2，(10分) 所以sin ????2α＋π 6＝1，(11分) 因为α∈(0，π)，所以2α＋ π6∈??? ? π6，13π6，(13分) 所以2α＋π6＝π2，即α＝π 6 .(14分) 16. 证明：(1) ∵ 四边形AA 1C 1C 为矩形， ∴ AC ⊥C 1C ，(2分 ) 又平面CC 1B 1B ⊥平面AA 1C 1C ，平面CC 1B 1B ∩平面AA 1C 1CC 1， ∴ AC ⊥平面CC 1B 1B ，(3分 ) ∵ C 1B ?平面CC 1B 1B ，∴ AC ⊥C 1B ，(4分 ) 又四边形CC 1B 1B 为菱形，∴ B 1C ⊥BC 1，(5分 ) ∵ B 1C ∩AC ＝C ，AC ?平面AB 1C ，B 1C ?平面AB 1C ， ∴ BC 1⊥平面AB 1C.(7分 ) (2) 取AA 1的中点F ，连DF ，EF ， ∵ 四边形AA 1C 1C 为矩形，E ，F 分别为C 1C ，AA 1的中点， ∴ EF ∥AC ，又EF ?平面AB 1C ，AC ?平面AB 1C ， ∴ EF ∥平面AB 1C ，(10分 ) 又∵ D ，F 分别为边A 1B 1，AA 1的中点， ∴ DF ∥AB 1，又DE ?平面AB 1C ，AB 1?平面AB 1C ， ∴ DF ∥平面AB 1C. ∵ EF ∩DF ＝F ，EF ?平面DEF ，DF ?平面DEF ， ∴ 平面DEF ∥平面AB 1C.(12分) ∵ DE ?平面DEF ，∴ DE ∥平面AB 1C.(14分) 17. 解：(1) 设AB 的高度为h ， 在△CAB 中，因为∠ACB ＝45°，所以CB ＝h ，(1分 ) 在△OAB 中，因为∠AOB ＝30°，∠AEB ＝60°，(2分 ) 所以OB ＝3h ，EB ＝3 3 h ，(4分 ) 由题意得3h － 3h 3 ＝103，解得h ＝15.(6分 ) 答：烟囱的高度为15米．(7分 ) (2) 在△OBC 中，cos ∠COB ＝OC 2＋OB 2－BC 22OC ·OB ＝300＋225×3－2252×103×153＝5 6，(10分 ) 所以在△OCE 中，CE 2＝OC 2＋OE 2－2OC·OE cos ∠COE ＝300＋300－600×5 6＝100.(13 分) 答：CE 的长为10米．(14分) 18. 解：(1) ∵ 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2 2， ∴ a 2＝2c 2，则a 2＝2b 2，又椭圆C 过点? ?? ? 1， 62，∴ 1a 2＋32b 2＝1.(2分) ∴ a 2＝4，b 2＝2， 则椭圆C 的方程x 24＋y 2 2 ＝1.(4分) (2) 设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为y ＝k(x －2)，设P(x 1，y 1)， 将y ＝k(x －2)代入椭圆C 的方程x 24＋y 2 2＝1中并化简得： (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋8k 2－4＝0，(6分) 解之得x 1＝4k 2－2 2k 2＋1，x 2＝2， ∴ y 1＝k(x 1－2)＝－4k 2k 2＋1 ， 从而P ? ?? ??4k 2 －22k 2＋1，－4k 2k 2＋1.(8分) 令x ＝－2，得y ＝－4k ， ∴ M(－2，－4k)，OM → ＝(－2，－4k)．(9分) 又AP →＝? ????4k 2 －2 2k 2＋1 ＋2，－4k 2k 2＋1 ＝? ?? ??8k 2 2k 2＋1，－4k 2k 2＋1，(11分) ∴ AP →·OM →＝－16k 2 2k 2＋1＋16k 22k 2＋1 ＝0， ∴ AP ⊥OM.(13分) (3) OP →·OM →＝? ???? 4k 2 －22k 2＋1，－4k 2k 2＋1·(－2，－4k)＝－8k 2＋4＋16k 22k 2＋1＝8k 2＋42k 2＋1＝4. ∴ OP →·OM → 为定值4.(16分) 19. 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝? ????e x （x 2－1），|x|>1， e x （1－x 2 ）， |x|≤1， (1分) 由|x|>1时，f ′(x)＝e x (x 2＋2x －1)， 由f′(x)≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2， 所以f(x)的单调减区间为[－1－2，－1]，(3分) 当|x|≤1时，f ′(x)＝－e x (x 2＋2x －1)， 由f′(x)≤0，解得x ≤－1－2或x ≥－1＋2， 所以f(x)的单调减区间为[－1＋2，1]，(5分) 综上：f(x)的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1](6分) (2) 当a ＝0时，f(x)＝e x ·x 2，则f′(x)＝e x ·x 2＋2x·e x ＝e x x(x ＋2)， 所以f(x)有极大值f(－2)＝4 e 2，极小值f(0)＝0，(7分) 当a>0时，f(x)＝???e x （x 2 －a ），|x|>a ， e x （a －x 2），|x|≤a ， 同(1)的讨论可得，f(x)在(－∞，－a ＋1－1)上增，在(－a ＋1－1，－a)上减，在(－a ，a ＋1－1)上增，在(a ＋1－1，a)上减，在(a ，＋∞)上增，(8分) 且函数y ＝f(x)有两个极大值点， f(－a ＋1－1)＝2e －a ＋1－1(a ＋1＋1)＝2e －a ＋1（a ＋1＋1） e ，(9分) f(a ＋1－1)＝2e a ＋1－1(a ＋1－1)＝2e a ＋1（a ＋1－1） e ，(10分) 且当x ＝a ＋1时，f(a ＋1)＝e a ＋ 1(a 2＋a ＋1)>e a ＋1(a ＋1－1)>2e a ＋1（a ＋1－1）e ， 所以若方程f(x)＝m 恰好有正根， 则m>f(a ＋1－1)(否则至少有二个正根)．(11分) 又方程f(x)＝m 恰好有一个负根， 则m ＝f(－a ＋1－1)．(12分) 令g(x)＝e － x (x ＋1)，x ≥1， 则g′(x)＝－x e － x <0， 所以g(x)＝e － x (x ＋1)在x ≥1时单调减，即g(x)≤g(1)＝2e ，(13分) 等号当且仅当x ＝1时取到． 所以f(－a ＋1－1)≤???? 2e 2 ，等号当且仅当a ＝0时取到． 且此时f(a ＋1－1)＝2e a ＋1－1·(a ＋1－1)＝0，(14分) 即f(－a ＋1－1)>f(a ＋1－1)，(15分) 所以要使方程f(x)＝m 恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为4 e 2.(16分) 20. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋ n （n －1） 2 d ，(1分) 由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n(S n ＋1＋S n )(n ∈N *)，得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)，及由b n ＝0，又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )??? ? na 1＋n （n －1）2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0. 对一切n ∈N *都成立．(3分) 即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 2 1－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立． 令n ＝1，n ＝2，解之得?????d ＝0，a 1＝0，或?????d ＝1，a 1 ＝1，经检验，符合题意， 所以{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n .(5分) (2) 由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n － 1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4， S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n － 1－4.(6分) b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n ×(4×2n －4)－2n (8×2n －8＋2n )＝2n ＋1(2n ＋ 2－9n －4)＋16n .(7分) b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n ) ＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n － 1) ＝2n －1(30×2n － 1－26n －11)＋16n －8.(8分) b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n － 1－26n －11)＋16n －8] ＝2n ??? ?2 n －1 －5n －5 2＋8 ＝22n － 1＋8－2n ????5n ＋52.(9分) 记f (n )＝22n － 1＋8－2n ????5n ＋52， 即f (n )＝2n ??? ?1 2×2n －? ???5n ＋52＋8，(10分) 记g (n )＝1 2 ×2n －????5n ＋52， 则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋ 1－????5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n －5， 当n ＝1，2，3时，g (n ＋1)－g (n )<0， 当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝1 2 ×2n －5>0，(12分) 因为n ＝1时，g (1)＝－132<0，所以g (4)<0；且g (6)＝－12<0；g (7)＝53 2>0. 所以f (n )＝2n ??? ?12×2n －? ???5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也是单调递增，(14分) n ＝1时，f (1)＝－5<0； n ＝2时，f (2)＝－34<0； n ＝3时，f (3)＝－100<0； n ＝4时，f (4)＝－224<0： n ＝5时，f (5)＝－360>0； n ＝6时，f (6)＝－24<0； n ＝7时，f (7)＝3400>0， 所以满足条件的正整数n 的集合为{1，2，3，4，5，6}．(16分) 附加题 21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分． A. 选修4-1：几何证明选讲 证明：因为CA 为圆O 的切线， 所以CA 2＝CE ·CD ，(3分) 又CA ＝CB ，所以CB 2＝CE ·CD ， 即 CB CE ＝CD CB ，(5分) 又∠BCD ＝∠BCD ，所以△BCE ∽△DCB ，(8分) 所以∠CBE ＝∠BDE .(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换 解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝????? ??? 10013对应的变换作用下 得到的点为(x ′，y ′)， 则由????? ???10013??????x 0y 0＝??????x ′y ′，(3分) 得：? ????x ′＝x 0，y ′＝1 3y 0，即?????x 0＝x ′， y 0＝3y ′，(5分) 所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝????? ??? 10013对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，(8 分) 所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝2 3.(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 圆心为(1，1)，半径为2，(3分) 直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分) 所以圆心到直线的距离为d ＝|3－1－3|2＝1 2，(8分) 所以弦长＝2 2－1 4 ＝7.(10分) D. 选修4-5：不等式选讲 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·1 3 ＋3x ＋2·1)2≤(3－3x ＋3x ＋2)????13＋1＝20 3 ，(3分) 所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤215 3 .(5分) 等号当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝7 12时成立．(8分) 所以y 的最大值为215 3 .(10分) 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22. 解：(1)设AC 与BD 交于点O ，以O 为顶点，向量OC →，OD → 为x ，y 轴，平行于AP 且方向向上的向量为z 轴建立直角坐标系．(1分) 则A(－1，0，0)，C(1，0，0)，B(0，－3，0)，D(0，3，0)，P(－1，0，6)， 所以M ? ???0，0， 62，MD →＝? ???0，3，－62， PB → ＝(1，－3，－6)，(3分) cos 〈MD →·PA → 〉＝MD →·PA →|MD →||PA →| ＝ －3＋3 3＋3 2 ·1＋3＋6＝0.(4分) 所以异面直线PB 与MD 所成的角为90°(5分) (2) 设平面PCD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面P AD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为CD →＝(－1，3，0)，PD →＝(1，3，－6)，P A → ＝(0，0，－6)， 由?????n 1·CD →＝－x 1＋3y 1＝0， n 1·PD →＝x 1＋3y 1－6z 1＝0， 令y 1＝1，得n 1＝(3，1，2)，(7分) 由?????n 2·P A →＝－6z 2＝0， n 2·PD →＝x 2＋3y 2－z 2＝0， 令y 2＝－1，得n 2＝(3，－1，0)，(8分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3－16×2＝－6 6， 所以sin 〈n 1，n 2〉＝ 30 6 .(10分) 23. 解：(1) 当n ＝2时，取数a 1＝1，a 2＝2，因为2＋1 1－2 ＝－3∈Z ，(1分) 当n ＝3时，取数a 1＝2，a 2＝3，a 3＝4，则a 1＋a 2a 1－a 2＝－5∈Z ，a 2＋a 3a 2－a 3＝－7∈Z ，a 1＋a 3 a 1－a 3 ＝ －3∈Z ，(3分) 即a 1＝2，a 2＝3，a 3＝4可构成三个好数．(4分) (2) 证：①由(1)知当n ＝2，3时均存在，