一元微积分及答案

一元微积分 及 答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）

1．设??

??

?

=≠-+=1

011

1arctan

)1()(2

x x x x x f ，则)(x f 的间断点为 。

答案：1=x

2．设x x x f cos )(2=，则)0()

30(f = 。

答案：870

3．设)(a f '存在，则=??

?

??

?

??? ?

?

+

-∞

→n a f a f n n 1)(lim 。 答案：)(a f '-

4．设方程())(22y x F y x F y +++=确定y 是x 的函数，其中)(u F 可导，则

=dx

dy 。

答案：

)

()(21)()(22

2

2

2y x F y x F y y x F y x F x dx

dy +'-+'-+'++'=

5．设n m ,是正整数，则 =--→1

1lim

1n

m

x x x 。

答案：m

n

6．设函数)(x y y =由参数方程)(t f x '=，)()(t f t f t y -'=给出，其中0)(0≠''t f ，则曲线)(x y y =在)(00t f x '=,)()(0000t f t f t y -'=点的切线方程是 。 答案：)(000x x t y y -+= 7．设)(cos )(2ax x f =，则=)()

5(x f 。

答案：)2sin(165

ax a

8．1

ln 0

1cos lim sin x

x x x +→-??=?

???

。

答案：e 9． 函数 12

++=x x y 当+∞→x 时的渐近线为 。

答案：2

1+

=x y

10．=--→x

x e

e x

x

x sin lim

sin 0

。

答案：1 11．=-+→2

cos sin 1lim

x

x

x x x 。

答案：1

12．0>x 时，()='

x x 。

答案：)1(ln +x x x

13．设???=+=t

t te

y e x 1，则=dx dy ；=22

dx y

d 。 答案：t

e t -+,1 14．函数32

3

)(x x x f -=的单调增区间为 。

答案：),8(+∞

二．计算题（每题8分，共5题）（请写出详细计算过程和必要的根据！） 1．222

2

---=

x x x y ，求)()

(x y

n 。

解：1

1

312

1

3212

222

++

-+

=---=x x x x x y …………………………………..…….4分

)()

(x y n [

]1

1

)

()

()

1()

2(2!)1(3

111312132----++--=

??

? ??++?

?

? ??-=n n n

n n x x n x x …….4分

2．设)(x f 在a x =点可导，且0)(≠a f ．计算 x

x x a f a f I ???

???+=∞→)1()

(1lim 。

解：令x t 1

=，记 t

t a f a f y 1

)()(1??

????+=，则 y I t 0lim →=；

法一：)

(/)()

()

()()

()()

()()()(1a f a f a tf a f t a f a f t a f a f e

a f a f t a f y '-+?

-+→?

?

?

???-++=

（但是必须要求 0)()(≠-+a f t a f ）…………………………….8分

法二：t a f t a f t a f a f t y |)(|ln |)(|ln )()(1ln 1

ln -+=??

????+=

， 而 )

()(|)

|(ln |

)(|ln |)(|ln lim

a f a f dt

f d t

a f t a f a

x t '=

=

-+=→，（或用L ’Hospital ）

所以 )

(/)(a f a f e I '=．

3．若??

?

??

=≠-=→+++='0

,0,)

0()()(),

0()

(1)(3

32x a x f x f x x g x x o x x x f

(1) 当a 取何值()g x 连续？

(2) 计算()g x 到3阶的带peano 余项的Taylor 公式。

解：（1）1)

0(1)(lim 0

='=

→f x g x

当 1=a 时()g x 连续。……………………………….………………………….4分 （2）

)

(4

1

3

11)

(4

13111

)

(4131)(3

3

23

32

4

4

3

x o x x x o x x x o x x x x

x g +-

-

=++

+

=

++

+=

…………….4分

4．求常数a 的值，使不等式)1(ln -≤x a x 对于任何0>x 都成立。

解：记?????=≠-=1

,

11,

1

ln )(x x x x x f ，则)(x f 在),0(+∞内为连续函数。

当1≠x 时，2

)

1(ln 1)(---=

'x x x x x x f 。

记x x x x g ln 1)(--=，则?

?

?<<<>>-='=10,01,

0ln )(,

0)1(x x x x g g 。 所以0,0)(>?

当1≥x 时，1)1()(=≤f x f ； 当10<

5．设0)0(')0(==g g ，?????

=≠=,

0,

0,0,

1sin )()(x x x

x g x f 求)0(f '。

解：x

x

x g f x 1sin

)(lim

)0(0

→='…………………………….2分

x

x g x

x

x g )(1sin

)(≤

………………………………….2分

而0)0()(lim

='=→g x

x g x ，……………………………….2分 01sin

)(lim )0(0

=='→x

x

x g f x 。…………………………….2分

三．证明题（请写出详细的证明过程！）

1．（7分）设b a <<0，证明b

a a

b a b +->

)(2ln

。

证明：要证明112ln +??

?

??->a

b a b a

b 。

记)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，0)1(=f ，…………………………….2分

11ln )(-+='x x x f ，0)1(='f ，………………………………………….2分 01

1)(2

>-

=

''x

x x f ，1>x 时。……………………………………………2分 所以,0)(>x f b

a a

b a b +->

)(2ln 。…………………………………………..1分

2．（8分）已知2[0,1]f C ∈，|''()|f x M ≤，利用泰勒展开证明： (1) 若(0)0f =，且其最大最小值都在(0,1)内部取得，则2

)(M x f ≤；

(2) 若(0)0,(1)0f f ==，则8

)(M x f ≤

。

证明：（1）设)(x f 在)1,0(,21∈x x 分别取到最小、最大值，则)1,0(,21∈x x 是函数)(x f 的极值点，

2

11)(2)()()(x x f x f x f -''+

=ξ…………………………………….2分

令0=x ，2

)(1M x f ≤。同理可证，2

)(2M x f ≤

，所以2

)(M x f ≤

。……….2分

（2）由（1），2

11)(2

)()()(x x f x f x f -''+=ξ。 若2

101≤

)(1M x f ≤

；……………………………….2分 若

12

11<

)(1M x f ≤

。…………………………………2分

因此8

)(1M x f ≤

。

同理可证，8

)(2M x f ≤

，所以8

)(M x f ≤

。