2013年下期新化一中高二数学竞赛试题及答案
2013年下期新化一中高二数学竞赛试题
编题：伍震斌 审题：段新平
考生注意：⒈ 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉ 不准使用计算器；
⒊ 考试用时120分钟，全卷满分150分．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1、设A 、B 为两个互不相同的集合，命题p ：x A ∈或x B ∈， 命题q ：x A B ∈?，则p 是q 的（ ）B
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分且必要条件
D. 既非充分又非必要条件 2、直线10(x ay a +-=∈R )与圆2240x y x +-=的交点个数是（ ）C
A. 0
B. 1
C. 2
D.无数个 3、设有一几何体的三视图如右，则该几何体的体积为（ ）A
A. 542π+
B. 342π+
C. 1
42
π+ D. 4π+
【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了 一部分（
2π），所以该几何体的体积为52213422
πππ??+-=+。 正确答案为A 。
4、x 表示三角形一个内角的大小，并且3
3
sin cos sin cos x x x x +=+，则该三角形是（ ）D
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形或锐角三角形
D 、直角三角形或钝角三角形 【解析】由题设可得()sin cos sin cos 0x x x x +=，由于sin 0x >（0≠）， 所以sin cos 0x x +=或cos 0x =，即34x π=
或2
x π
=； 从而该三角形为钝角三角形或直角三角形。选D 。
5、某程序框图如右图所示，现将输出(),x y 值依次记为：()11,x y ，()22,x y ，…，
(),n n x y ，…，若程序运行中输出的一个数组是(),10x -，则数组中的x =（ B ）
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
【解析】经计算32x =。正确答案为 B 。
6、In the regular tetrahedron ABCD ，E is the midpoint of AD ，F is the midpoint of BC ，α is the angle contained by AF and CE 。So the value of cos α is （ ）D
A ．
12 B ．12- C ．23 D ．2
3
- （英汉词典：regular tetrahedron 正四面体）
【解析】译文：在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 的中点，设α为向量AF 和CE 的夹角，
2 2 3
1
正视图
侧视图
俯视图
则cos α的值是（ ）
设正四面体棱长为1，选{}
,,AB AC AD 为一组基底， 则1122AF AB AC =
+，1
2
CE AD AC =-， 32AF CE ==
，AF CE ?=111222AB AC AD AC ????
+?- ? ?????
=12-，
于是2
cos cos ,3AF CE
AF CE AF CE
α?=<>=
=-?。
7、若点(),a b 是圆()2
2
11x y ++=内的动点，则函数()2f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内，另一个零
点在()0,1内的概率为（ ）A
A ．
14 B ．1π C ．12 D ．2π
【解析】函数()2
f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内，
另一个零点在()0,1内?()()()100010f f f ->??
>?
?10010a b b a b --
?，
对应的可行域为坐标平面上一个直角三角形区域（如图所示）。 由题设，结合图形，可知()1
4
P A =
.
8、某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额。那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可表示为（ ）B
A ．10x y ??=????
B ．310x y +??=????
C ．410x y +??=????
D ．510x y +??
=???? 【答案】法一：特殊取值法，若x =56，y =5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B 。 法二：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时??
?
???==??????++=????
??+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+??
?
???=+=??????++=??????+≤ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分． 9、某市为增强市民的节约粮食意识，面向全市征召 务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组 [25，30)，第3组[30，35），第4组[35，40）， 第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所 示若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取 了12名志愿者参加l0月16 日的“世界粮食日” 宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________。 4 D 【解析】由直方图可知，第3，4，5组的人数比为0.06:0.04:0.023:2:1=。所以从第4组中抽取的人数为 22 121243216 ? =?=++。 10、若全称命题“?[1,1]a ∈-，2(4)420x a x a +-+->成立”为真命题，则实数x 的取值范围为 3x >或1x <。 【解析】不等式的左端看成a 的一次函数，2()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>?<或3x >。 11、设a 、b 、c 都是单位向量，且0a b ?=， 则()() a b b c +?+的最大值为 。112、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ： 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若△FAB 的面积为l 的方程为 。20x y -= 13、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1113,2n n n a a a +?? == ???（n N +∈），则2014S =____.1007191132????-?? ??????? 14、已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>），过左焦点F 且斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若AF FB = 97 +，则椭圆的离心率为 。1 2 【解析】不妨设(9AF k =+，则7FB k =，椭圆的离心率为e ， 如图，分别由点A 、B 作椭圆左准线l 的垂线，交l 于点1A 、1B ， 由点B 作BP ⊥1AA 于点P ，则( 19k AF AA e e +==， 17k BB e = ，(112k AP AA BB e +=-= ， (16AB AF BF k =+=+，因为1AB k =，所以在Rt △ABP 中，45BAP ∠=， 于是 AP = ，即( (216k k e +=+?12e =。 15、定义在R 上的函数()f x 满足：对任一实数对(),x y ， 有()()()()1f x y f x f y f xy +=+++。若 ()22f -=-，则满足()f a a =的所有整数a 的值为__________. 【解析】1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1， 再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2; ………… ①， 所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y 为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y ，f(y)>0， 因此y ∈N *时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t ，恒有f(t)>t ， 由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0， 即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0 相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>0。 综上所述：满足f(t)=t 的整数只有t=1或t=2。 三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别是内角A 、B 、C 的对边，已知C =2A ， 3cos 4A =，27 2 BA BC ?=。 （1）求cos B 的值； （2）求b 的值。 【解析】 （1）∵ 3 2,cos 0,4 C A A ==> ∴ 2 cos cos 22cos 1C A A ==-2 3121048?? =?-=> ???. ∵ 0,0A C <<π<<π， ∴ 0,022 A C ππ <<<<. ∴ sin A == sin C == ∴ ()cos cos B A C =π-+????()cos A C =-+ ()c o s c o s s i n s i n A C A C =-- =9 16. （2） ∵ 272BA BC =， ∴ 27 cos 2 ac B =. ∴ 24ac =. ∵ sin sin sin 22sin cos a c c c A C A A A ===， ∴2 2c o s 3 c a c A ==. 由2, 324. a c ac ? =???=? 解得4,6.a c =?? =? ∴ 222 2cos b a c ac B =+-229462242516 =+-??=. ∴ 5b =. 17、（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中， AB =2，1AA D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上。 （Ⅰ）当1:1:2A E E A =时，求证1D E B C ⊥； （Ⅱ）是否存在点E ，使二面角D-BE-A 等于60？若存在求AE 的长；若不存在，请说明理由。 【解析】（Ⅰ）方法一：几何法证明：连结1DC ，因为ABC-111A B C 为正三棱柱，所以△ABC 为正三角形， 又因为D 为AC 中点，所以BD ⊥AC ， 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，于是BD ⊥DE 。 ……2分 而1:1:2AE EA =， AB=2，1AA AE =，AD=1， 所以在Rt △ADE 中，∠ADE=30°，在Rt △1DCC 中，160C DC ∠=， 所以190EDC ∠=，即ED ⊥DC 1； ……4分 所以ED ⊥平面1BDC ，又1BC ?平面1BDC ，所以ED ⊥1BC 。……5分 （Ⅱ）假设存在点E 满足条件，并设AE =h ， 取11AC 的中点1D ，连结1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，所以1DD ⊥AD ，1DD ⊥BD ， 分别以DA 、DB 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ， 则()1,0,0A ，() B ，()1,0,E h ， 所以() DB =，()1,0,DE h = ，() AB =-，()0,0,AE h =， 设平面DBE 的法向量为()1111,,n x y z =， 则由1100 n DB n DE ??=???=?? 可得11100x hz =+=??，令11z =，则得平面DBE 的一个法向量为()1,0,1n h =-； 同理，可求得平面ABE 的一个法向量为( ) 23,1,0n =； 所以由题设即有 121cos60cos ,2n n = =<>= 2h =。 而 2 <，所以存在满足条件的点E 。 综上，存在点E ，当2 AE =时，二面角D-BE-A 的大小为60°。 ……12分 18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：11 2 a =，1123n n n n a a a a ++=+（n N +∈）。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：1 1n n b a =+（n N +∈），且对任意不小于2的正整数n ，不等式131log 24n k k m n b =>+∑恒 成立，求整数m 的最大值。 【解析】（Ⅰ）由1123n n n n a a a a ++=+可知，当0n a >时，1032n n n a a a +=>+； 于是由11 2 a = 知数列{}n a 为正项数列； 又1123n n n n a a a a ++=+? 1132n n a a +=+?111131n n a a +?? +=+ ??? ， 记1 1n n b a =+ ，则13b =，13n n b b +=，所以数列{}n b 为等比数列，且公比为3， 于是3n n b =，11 131 n n n a b = =--。 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结果，可知3log k b k =，所以1 3 1 11 1log 12 2n k k n b n n n == +++ +++∑； 若设()f n = 111 12 2n n n +++ ++（n N +∈且2n ≥） 则()()111111212212122f n f n n n n n n +-= +-=-+++++()() 1 02122n n =>++， 这说明()f n 单调递增，所以()()()()7 13212 f n f n f f >->>>= 。 这样，由不等式 131log 24n k k m n b =>+∑对任意不小于2的正整数n 恒成立，可得72412m <，即14m <； 又m Z ∈，所以m 能取到的最大值为13。 19、（本小题满分13分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型高科技产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置。现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完所需时间为()g x ，其余工人加工完H 型装置所需时间为()h x （单位：小时，可不为整数）。 （1）写出()g x 、()h x 的解析式； （2）比较()g x 、()h x 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间()f x 的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？ 【解析】（1）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个， 所需工人数分别为x 人，（216x -）人， 所以，()40006g x x = =20003x ，()h x =() 3000 3216x -=1000216x -（0216x <<，且x N +∈） （2）()()() () 100043253216x g x h x x x --= -。 ∵0216x <<，∴216x -0>， 1° 当086x <≤时，4325x -0>，()()() () 100043253216x g x h x x x --= -0>，()()g x h x >； 2° 当87216x ≤<时，4325x -0<，相应的()()g x h x <。 所以()()()2000 ,08631000,87216216x x f x x x ?<≤??=??≤ ； （3）完成总任务时间最少，即求()f x 的最小值。 1° 当086x <≤时，()f x 单调递减，所以()f x ()1000 86129 f ≥=， 所以()min 1000 129 f x = ，此时216130x -=； 2° 当87216x ≤<时，()f x 单调递增，所以()f x ()10001000 8721687129 f ≥==-， 所以()min 1000 129 f x = ，此时216129x -=； 综上所述，分配加工G 型装置和加工H 型装置的人数分别为86人,130人或87人,129人，可以使完成总任务的时间最少。 20、（本小题满分13分）已知函数()()2 1lg 2f x x a x a =++++（a R ∈且2a ≠-）。 （Ⅰ）若()f x 能表示成一个奇函数和一个偶函数之和，求()g x 和()h x 的解析式； （Ⅱ）命题P ：函数()f x 在区间()) 2 1,a ?++∞? 上是增函数； 命题Q ：函数()g x 是减函数。 如果命题P 、Q 中有且仅有一个真命题，求a 的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，比较()2f 与3lg 2-的大小。 【解析】（Ⅰ）因为()f x =()()g x h x +，()()g x g x -=-，()()h x h x -=， 所以()f x -=()()g x h x -+-=()()g x h x -+。 于是，有()()()()()()2 2 1lg 2 1lg 2 g x h x x a x a g x h x x a x a ?+=++++??-+=-+++??， 解之得()()1g x a x =+，()2lg 2h x x a =++。 （Ⅱ）因为函数()f x =()2 2 11lg 224a a x a ++??+-++ ?? ?在区间()) 21,a ?++∞?上是增函数， 所以()2 112a a ++≥- ，解得1a ≥-或3 2 a ≤-且2a ≠。 又由()()1g x a x =+是减函数，得10a +<，即1a <-且2a ≠。 所以命题P 为真的条件是1a ≥-或3 2 a ≤-且2a ≠，命题Q 为真的条件是1a <-且2a ≠。 又因为命题P 、Q 有且仅有一个真命题，所以3 2a >-。 （Ⅲ）由（Ⅱ）得()2f =2lg 26a a +++，由于3 2 a >-，所以()2f =()2lg 26a a +++， 设函数()a ?=()2lg 26a a +++，则()a ?=＇()1 22ln10 a + +0>， 所以函数()a ?在()2,-+∞上单调递增，从而，()a ?在3,2?? - +∞???? 上单调递增。 故当32a >-时，()a ?=()2lg 26a a +++33lg 22??? >-=- ??? 。 21、（本小题满分13分）已知点E (),m n 为抛物线2 2y px =（0p >）内一定点，过E 作斜率分别为1k 、2k 的 两条直线交抛物线于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点。 （1）当n =0且121k k =-时，求△EMN 的面积的最小值； （2）若12k k λ+=（0λ≠为常数），证明：直线MN 过定点． 【解析】设AB 所在直线的方程为()1x t y n m =-+，其中11 1 t k = ， 代入22y px =中，得2112220y pt y pt n pm -+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212y y pt +=，从而1211211(2)2(22)2x x t y y n m t pt n m +=+-+=-+． 则AB 中点为2 111(,)M pt nt m pt -+． 再设CD 所在直线的方程为()2x t y n m =-+，其中22 1 t k = ， 则同理可得CD 中点为2 222(,)N pt nt m pt -+． ------------------------------------------3分 （1）当0=n 时，(,0)E m ，211(,)M pt m pt +，222(,)N pt m pt +，2111||||t pt EM +=，2221||||t pt EN +=． 又121-=?k k ，故121-=?t t ，于是△EMN 的面积 22111 22 2 p S EM EN p t t =?== 222p p ≥=， 当且仅当121t t ==时等号成立． 所以，△EMN 的面积的最小值为2 p . -----------------------------------------6分 （2）p n t t t t n t t p t t p k MN - += ----= )(1) ()()(21212 22 121， MN 所在直线的方程为]([)(1 12 1211m nt pt x p n t t pt y +--?- +=-， 即1212n y t t pt t x m p ?? +- -=- ??? 。 ------------------------------------------10分 又1212 11 k k t t λ+= +=，即1212t t t t λ+=，代入上式，得1212()t t n y t t p x m p λ++--?=-， 即()12p ny t t y x m p λ? ?+- =+- ???。 很显然当0p y λ - =时，有0ny x m p + -=， 即p y n x m λλ?=????=-?? 为方程的一组解，所以直线MN 恒过定点,n p m λλ??- ???． ----------------------------------13分 2019-2020学年湖南省炎德英才杯2018级高二下学期基础学科知识竞赛 数学试卷 ★祝考试顺利★ (解析版) 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.已知命题p ：?x>0,ln(x ＋1)>0,则命题p 的否定是 A.?x>0,ln(x ＋1)≤0 B.?x ≤0,ln(x ＋1)>>0 C.?x 0>0,ln(x 0＋1)>0 D.?x 0>0,ln(x 0＋1)≤0 2.已知集合A ＝{x|－1 高中数学知识竞赛题 一、每题10分 1、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知集合 {}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ?”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 2、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的 体积之比为 （ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 【答案】C 3、若直线a 与平面α不垂直，那么平面α内与直线a 垂直的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．无数条 D ．不确定 【答案】C 4、直线3x =+的倾斜角为（ ） A.?30 B. ?45 C. ?60 D. ?90 【答案】A 5、（2013年高考上海卷（理））钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜” 是“好货”的 （ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B ． 6、．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））命题“对任意x R ∈, 都有2 0x ≥”的否定为 （ ） A ．对任意x R ∈,都有2 0x < B ．不存在x R ∈,都有2 0x < C ．存在0x R ∈,使得200x ≥ D ．存在0x R ∈,使得200x < 【答案】D 8、已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图， 其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝ 3 2 ，那么△ABC 是一个( )． A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．三边互不相等的三角形 【答案】A 9、圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C 22 4420x y x y +-+-=的位置关系是（ ）. 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___. 2019年耒阳二中高二学科竞赛数学试卷 （提示：把答案写在答案卷上。考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1、已知函数，则不等式f （x ﹣2）+f （x 2 ﹣4）＜0的解集为（ ） A ． （﹣1，6） B ． （﹣6，1） C ． （﹣2，3） D ． （﹣3，2） 2、已知? ??>≤+-=1,log 1 ,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1 (0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 3、若正数a ，b 满足a+b=4，则 19 11 a b + --的最小值( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16 4、已知斜四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD=60°，∠BAD=90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5、等差数列{}n a 中,10a >,n S 是前n 项和且918S S =,则当=n （ ）时,n S 最大． A ．12 B ．13 C ．12或13 D ．13或14 6、设数列}{n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，}{n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则=+++1021b b b a a a （ ） A ．1033 B ．2057 C ．1034 D ．2058 7、设F 为双曲线22 221x y a b -=（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ， B 两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ） 2018年上海市高三数学竞赛试题 2018年上海市高三数学竞赛试题 时间：2小时，满分：120分 姓名 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆2222 1(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为 ． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263 ,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC -中，已知3,1,2AB AC PB PC ====则22ABC PBC S S ??+的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2 1(,)4k k k A a a ，半径为2 1 (1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k =，则1 a = ． 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 吉林省延边市长白山第一高级中学2021-2022高二数学上学期学科竞 赛试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题5分，共60分） 1．命题:(1,),23x p x ?∈+∞> ，则p ? 是（ ） A.(1,),2 3x x ?∈+∞ B.(,1],2 3x x ?∈-∞ C.0 0(1,),2 3x x ?∈+∞ D.0 0(,1],2 3x x ?∈-∞ 2．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ． p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ． p 且q 为假，p 或q 为真 3．“x y =”是“||||x y =”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要 4. 过椭圆2 2 41x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α?，n ?α，m β，n βα β? ②n m ∥，n m αα?? ③α β，m α?，n m n β?? ④m α∥，n m n α?? 其中，真命题的个数有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线 B ．双曲线右支 C ．双曲线 D ．双曲线左支 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ） A ．30? B ．45? C ．60? D ．90? 8. 圆：01222 2 =+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最小值是（ ） A ． 2 B ．21+ C ．12- D ．221+ 9．过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点， 若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2 2 B ．13 C ．12 D ． 3 3 10．不论m 取任何实数，直线()0121:=++--m y x m l 恒过一定点，则该定点的坐标 是（ ） A ．()3,2 B ．()3,2- C ．()0,2- D ．?? ? ??- 21,1 11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的体积为1，则阳马P ABCD -的外接球的 表面积等于（ ） A ．17π B ．18π C ．19π D ．20π 12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于,A B 两点.若 222AF F B =,1AB BF =，则椭圆C 的方程为（ ） 2018年贵州省高中数学联赛试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：每小题6分，本大题共30分. 1.小王在word 文档中设计好一张4A 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（ ） A ．9次 B ．10次 C ．11次 D ．12次 2. 已知一双曲线的两条渐近线方程为0x -= 0y +=，则它的离心率是（ ） A ． 1 3.在空间直角坐标系中，已知(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则到面OAB 、面OBC 、面OAC 、 面ABC 的距离相等的点的个数是（ ） A ．1 B ．4 C ．5 D ．无穷多 4. 若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为3，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（ ） A ． 1arcsin 3 B ．1arccos 3 C ．2arcsin 3 D ．2 arccos 3 5.已知等差数列 {}n a 及{}n b ，设12n n A a a a =++???+，12n n B b b b =++???+，若对*n N ?∈，有 3553n n A n B n +=+，则10 6a b = （ ） A ．35 33 B ．3129 C ．17599 D ．15587 二、填空题（每小题6分，本大题共60分） 6.已知O 为ABC ?所在平面上一定点，动点P 满足( ) AB AC OP OA AB AC λ=++ ，其[0,)λ∈+∞，则P 点 的轨迹为 ． 7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪 高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题:p 方程 11 52 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53< 2 高中联赛模拟试题 2 一试部分 考试时间：80 分钟 满分：120 分 一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） sin (α + 2β ) π π 1. 已知 = 3 ，且 β ≠ ， α + β ≠ n π + (n , k ∈ )，则 tan ( α + β ) = ． sin α 2 2 tan β 2. 在等差数列{a n } 中，若 a 11 a 10 < -1 ，且前 n 项和 S n 有最大值，则当 S n 取得最小正值时， n = ． 3. 若 a +b + c = 1(a ,b , c ∈ )， 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 > m ，则 m 的最大值为 ． 4. 已知 ?ABC 满足 AC = BC = 1 ， AB = 2x ( x > 0)．则 ?ABC 的内切圆半径 r 的最大值为 ． 5. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， G 为底面 A 1B 1C 1D 1 的中心．则 BG 与 AD 所成角的余弦值为___ ___． 6. 函数 f ( x ) 在 上有定义，且满足 f ( x ) 为偶函数， f ( x - 1) 为奇函数．则 f (2019) = ． 7. 将一色子先后抛掷三次，观察面向上的点数，三数之和为 5 的倍数的概率为 ． 8. 已知复数 z 1 , z 2 满足 ( z 1 - i )( z 2 + i ) = 1 ．若 z 1 = ，则 z 2 的取值范围是 ． 二、解答题（第9 小题16 分，第10、11 小题20 分，共56 分） x 2 y 2 9. 设P 为双曲线-= 1 上的任意一点，过点P 分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于A, B a2 b2 两点．求□ABCD 的面积． 10. 求方程x5 - x3 - x2 + 1= y2 的整数解的个数． 11. 对于n ≥ 6 ，已知?1 - 1 ? < 1 ．求出满足3n + 4n ++(n + 2)n =(n + 3)n 的所有正整数n． n + 3 ? 2 ?? n 高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 α αααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±= 积化和差 ()()[]βαβαβα-++=sin sin 2 1cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2 1sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 2 1cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1sin sin 和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+ 2 sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2 cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式 α αα2tan 1tan 22sin += α αα22tan 1tan 12cos +-= α αα2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22 来个复杂的 设n 为正整数，求证n n n i n i 21212sin 1+=+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 设12π ≥≥≥z y x ，且2π =++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。 注：这个题目比较难 高一数学竞赛试题 一、单选题（8×5′＝40′） 1、已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-且B ≠?，若A B A =，则（ ） (A)34m -≤≤ (B)34m -<< (C)24m << (D)24m <≤ 2、已知()1,2a =，(),2b x =-且()a a b ⊥-，则实数x 为（ ） (A)－7 (B)9 (C)4 (D)－4 3、同时掷两枚骰子，得到的点数和为6的概率是（ ） (A)5 12 (B)5 36 (C)19 (D)5 18 40y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） (C)--5、函数2sin 24y x π?? =- ???的一个单调递减区间是（ ） (A)3 7 ,88ππ?????? (B)3,88ππ?? -???? (C)3 5 ,44ππ?????? (D),44ππ?? -???? 6、一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为（ ） (A) (B)8π (C) (D)4π 7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） (A)210x y +-= (B)210x y +-= (C)230x y +-= (D)230x y +-= 8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（ ） (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题（6×5′＝30′） 9、方程()21033log 1log x x -=+的解是 。 10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 。 11、过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为 。 12、方程sin 10 x x = 有 个根。 13、已知()1sin 2πα+=-，则cos α= 。 14、已知()1,2a =，()2,3b =-，则a 在b 上的射影长 。 三、解答题（第15、16题各12分，第17、18、19、20题各14分） 15、若对于一切实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=+ （1）求()0f 并证明()f x 为奇函数； （2）若()13f =，求()3f -。 16、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A 、B 、 C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A 、B 、C 区中分别有18、27、18个工厂。 （1）求从A 、B 、C 区中应分别抽取的工厂个数； （2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。 浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（....） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....） A. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- . C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 012 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 ... C. 24 . D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 ... C. 7 .D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A. . .. 9. 设函数234()(1)(2)( f x x x x x =--()f x = A.0x = B. 1x = . C. 2x =10. 已知(),(),()f x g x h x 正视图：上下两个 2 一.填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分. 1.已知集合{}9,7,5,3,1=A ,{}8,6,4,2=B ，若}{B b A a b a C ∈∈+=,，则集合C 的所有元素之和为________. 2.在ABC ?中，2,3 1sin ==AB A ,则?的最小值为________. 3.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()1(-=-?+x f x f ，又当5 0<≤x 时，)7(log )(2x x f -=，则)2018 (f 的值为________. 4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ________. 5.已知函数),2))((()(),()(),()(*11N n n x f f x f x f x f R a a x x f n n ∈≥==∈+=-，若x x f -)(2018没有零点，则a 的取值范围是________. 6.若对任意[]1,1-∈x ，恒有),,(22R c b a c b ax x ∈≤++成立，则当c 取得最小值时，函数)(32)(R x c x b x a x x f ∈-+-+-=的最小值为________. 7.用[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][][]x x x x 3015106=++的最小正解为________. 8.函数)1sin(sin )(++=x x x f 的值域为________. 9.已知平面向量2==，且2=?，若[]1,0∈t ，则 t AB t 1(--+-的最小值为________. 10.已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是整数，若)(x f 在)1,0(上有两个不 相等的零点，则b 的最大值为________. 二.解答题：本大题共5小题，共120分. 11.已知函数bx x x f a --=11log )(是奇函数)1,0(≠>a a （1）求b 的值及函数)(x f 的定义域； （2）是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为[]n m ,，值域为[]m n a a log 1,log 1++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由. 12.设函数)0(cos cos sin 3)(2>+=ωωωωx x x x f 且)(x f y =的图象的一个对称中心 2018 年泉州市普通高中数学学科竞赛试题 （总分 200 分，考试时间： 150 分钟） 学校 姓名 准考证号 一、填空题：本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 1．已知全集 U R ，集合 M { x | x 2 x 2 0} ， N { x | x 3} ， 则 ( e U M ) N ___________． x y 4 0， 2．实数 x ， y 满足约束条件 x y 2 0， 则 z 3x 2 y 的最小值为 ___________． x 3， 3．若 sin cos 3 ，且 2 ，则 cos sin 的值为 ___________． 8 4 4．已知等差数列 a n 满足 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 40 ，则 4a 6 a 9 ___________． 5．若 x log 4 2 log 2 9 log 4 9 ，则 2x 2 x ___________． 6．在 ABC 中， AB AC 2， BAC 90 ， BP BC (0 1) ， 则 ( AB AC) AP ___________ ． 7．设函数 f ( x) ax 2 2x 1，当 x [0, 2] 时， f (x) 0恒成立，则 a 的取值范围是 ． 8．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD 为等边三角形， AB=2 3 ，BC =2 ， PA 4 ，则 P ABCD 外接球的表面积为 ___________． 9．已知 P 为圆 x 2 y 2 4 上的动点， A(0, 2 2) ，B( 2, 2) ，则 PB 的最大值为 ________． PA 10．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (x 2) f (x) ，且当 x [0,1] 时， f ( x) 3x ． 函数 g( x) f (x) kx 2k (k 0) 的所有零点为 n x 1 ， x 2 ， x 3 ， ， x n ，若 8 x i 12 ， i 1 则 k 的取值范围是 ___________． 2018～2019学年度六年级数学思维检测题 一、 填空：（1——8题每题3分，9——12每题4分，共40分） 1、已知23a = 58 b=c ÷23 ，且a ，b ，c 不等于0，则a ，b ，c 的关系是（ ）＜（ ）＜（ ）。 2、王师傅加工了15个零件，其中14个合格，只有1个是不合格的（比合格品轻一些），如果用天平称，至少称（ ）次能保证找出这个不合格零件。 3、用小棒按照如下方式摆图形（如下图），摆一个八边形需要8根小棒，摆n 个把八边形需要（ ）个小棒，如果有106根小棒，可以摆（ ） 个这样的八边形。 4、若3x+2y+5=10.8，则6x+4y-5=（ ） 5、有一个分数，分子加1可以化简成14 ，分母减去1可以化简成15 ，这个分数 是（ ）。 6、质数a ，b ，c 满足（a ＋b ）×c =99，则满足条件的数组（a ，b ，c ）共有（ ）组。 7、袋子里装有红色球80只，蓝色球70只，黄色球60只，白色球50只，它们的质量与大小都一样，不许看，只许用手摸，要保证摸出10对同色球，至少应摸出（ ） 只球。 8、后勤邱主任为学校买文体用品。他带的钱正好可以买15副羽毛球拍或者24副乒乓球拍。如果已他买了10副羽毛球拍，那么剩下的钱还可以买（ ）副乒乓球 拍。 9、甲乙丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙 丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有（ ）米 10、 设a ※b=［a ，b ］+（a ，b ），其中［a ，b ］表示a 与b 的最小公倍数，（a ，b ）表 示a 与b 的最大公因数，则18※27=（ ）。 11、AB 两地相距24千米，妹妹7点钟从A 地出发走向B 地。哥哥9点骑自行车从A 地出发去B 地（如下左图）。哥哥在（ ）点钟和妹妹相遇。哥哥到了B 地，妹妹 离B 地还有（ ）千米。 12 、（如上右图）一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体。已知一个 剖面的面积是100平方厘米，半圆柱的体积为301.44立方厘米。原来钢材的侧面积 是（ ）平方厘米 班级 姓 名 2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1. 函数1()1x x ae f x e --+=+（1a ≠）的值域为 ． 2.设集合2{|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B = ． 3.已知方程20x xe k -+=在区间(2,2)-内恰有两个实根，则k 的取值范围是 ． 4.已知ABC ?的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c 成等比数列，则2:ABC S a ?= ． 5.已知点(1,1)A ，(1/2,0)B ，(3/2,0)C ，经过点A ，B 的直线和经过A ，C 的直线与直线 y a =（01a <<）所围成的平面区域为G ，已知平面矩形区域{(,)|02,01} x y x y <<<<中的任意一点进入区域G 的可能性为 1 16 ，则a = ． 6.袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数为 ． 7.已知关于x 的实系数方程2 220x x -+=和2 210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 ． 8.已知圆2 2 8x y +=围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆 22 214 x y a +=围成的封闭区域上（含边界）整点数的15，则正实数a 的取值范围是 ． 二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设函数()1x f x e x =--， （1）求()f x 在区间1[0,]n （n 为正整数）的最大值n b ； （2）令1 1n n n a e b =--，1421321 k k k a a a p a a a -= （n ，k 为正整数），求证： 一试 一、填空题 1. 设集合{}99,,3,2,1Λ=A ，{}A x x B ∈=2，{} A x x C ∈=2，则C B I 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于?30且不大于?60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 . 4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ?的面积为 . 5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ， 则不等式组()?? ?≤≤≤≤2 121x f x 的解集为 . 6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 . 7. 设O 为ABC ?的外心，若2+=，则BAC ∠sin 的值为 . 8. 设整数数列1021,,,a a a Λ满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11Λ=++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 . 二、解答题 9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()???? ?--=, 4,1log 3x x x f .9. 90>≤ 崇信三中高二趣味数学竞赛试题 班级 姓名 考号 一、选择题(9×3分=27分) 1、猩猩最讨厌什么线（ ） A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。它们除颜色不同之外，其它都一样。如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢？（ ）A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论！于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。请选出下面哪个选项不属于悖论（ ） A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？” B 英国数学家罗素构造了一个集合S ：S 由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S 是否属于S 呢？ C “今天天气很好，是不是？” D 一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。 4、勾股定理还有一种叫法（ ） A 毕达哥拉斯定理 B 孙子定理 C 欧拉定理 D 祖冲之定理 5、祖冲之是我国古代伟大的数学家，他在公元前400多年计算出了圆周率π的近似值，这个近似值精确到小数的7位，这个记录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之还给出了π的分数形式，那么下面那个是他给的分数形式（ ） A 10 3 B 333107 C 355113 D 10399333102 6、数学史上曾经发生过三次数学危机，其中第3题中的集合悖论的发现称之为第三次危机，那么前两次危机时什么（ ） A 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 B 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是π能不能用分数表示 C 第一次危机是费马提出的猜想：当n>2()n N ∈时，方程n n n x y z +=没有正整数解，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 7、你目前有27枚金币，但有一枚较轻的伪币混在其中，现在想要用天平秤出伪币。最少用天枰称几次就可以确定伪币（ ） A 2次 B 3次 C 4次 D 5次 8、、某地有两个村庄王庄和李庄，王庄的人在星期一、三、五说谎，李庄的人在星期二、四、 六说谎。在其他日子他们说实话。一天，外地来的游客来到这里，见到两个人，分别向他们提 出关于日期的问题，两个人都回答说，“前天是我说谎的日子。” 已知被问的两个人分别来自王庄和李庄，以下哪项判断是对的（ ） A 这一天是星期五或星期日 B 这一天是星期二或星期四 C 这一天是星期一或星期三 D 这一天是星期四或星期五 9、有一个两人做的游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0），把两个人报出的数连加起来，谁报数后使和为88，谁就获胜。如果让你先报数，你第一次应该报几才能一定获胜（ ） A ．5 B ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 二、填空题（8×4分=32分） 10、猜数学名词： （1）考试不作弊： （2）剑穿楚霸王： （3）一分钱一分货： （4）坐船须知： 从下面备选数学名词中，选择合适的一个词填入上面的横线中： 恒等 运算 绝对值 配方 真分数 公差 分母 乘法 对顶角 通项 11、有只兔子掉进30公尺深的干井里。它并不习惯待在这种地方，因此决定奋力往上爬。但兔子爬墙的能力不太好，它发现自己努力往上爬了一天，上升了3公尺却又滑下2公尺。休息了一夜之后，它又继续努力，结果一样。它要几天才能爬出干井？ 答： 12、在横线中填入适当的数。定义一种对应关系：“ ”， 1 5 2 50 3 500 4 5000 5 13、4张牌算24点！只能用加减乘除，每张牌只能用一次。请计算如何由下面这些数计算得到24（在横线上写出计算过程）： 5， 5， 5， 1 计算过程： 14、下面加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当他们各代表什么数字时，算式成立？将答案写在右边的横线上。 北京奥运 京奥运 奥运 + 运 2 0 0 8 答： 15、小明是位热心人，常常在空闲的时间，帮人修理钟表。有一次，因为有急事，把时针当成分针，纷争当成时针装在钟上。这样一来，这只钟就不准了。不过，这只钟并不是绝对不准，也有准的时候。 （1）那么在什么情况下，装错了的针的钟是准的？ （2）如果正当12点时，这只钟对准了标准时间，24小时内，它将有几次和标准时间是一致的？2019-2020学年湖南省炎德英才杯2018级高二下学期基础学科知识竞赛数学试卷及答案
高中数学知识竞赛题
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
2019高二数学学科竞赛试题(1)
2018年上海市高三数学竞赛试题
高中数学竞赛讲义
吉林省延边市长白山第一高级中学2021-2022高二数学上学期学科竞赛试题
2020年贵州省高中数学联赛试题
高二数学竞赛试题及答案
2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案
(推荐)高中数学竞赛基本知识集锦
高一学科竞赛(数学)模拟附答案
高中数学竞赛试题及解题答案
2018年温州摇篮杯高一数学竞赛试题(word版)
2018年泉州市普通高中数学学科竞赛试题印刷.doc
2018六年级数学竞赛试题及答案
2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛 含答案
2018年全国高中数学联赛A卷真题word版
高二趣味数学竞赛试卷