特殊三角形与动点问题
特殊三角形与动点问题
1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D 运动的速度为每秒1个单位长度
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案）
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形？并说明理由．
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
2、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式。
3、已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论．
4、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
5、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
中考专题1(由动点形生成的特殊三角形问题)
由动点形生成的特殊三角形问题 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形（2）抛物线上的点能否构成直角三角形 （2）抛物线上的点能否构成相似三角形 解决这类问题的基本思路是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一考查 例题1：（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2． (1)求该抛物线的解析式． (2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度 的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由． (3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在， 请求出所有点M的坐标；若存在，请说明理由．
例题2（2010四川巴中）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点C 的坐标 （2）若抛物线2 =++过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式． y ax bx c （3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。 D H G
(完整版)相似三角形的动点问题题型(整理)
相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 二次函数综合（动点与三角形）问题 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形； （3）抛物线上的点能否构成相似三角形； 解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】 例一．（2013?地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式； （2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算； （3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论， ①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案． 解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴可得A（1，0），B（0，﹣3）， 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：， 解得：． ∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3． （2）令y=0得：0=x2+2x﹣3， 解得：x1=1，x2=﹣3， 则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4， 故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6． （3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意： 讨论： ①当MA=AB时，， 解得：， ∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）； ②当MB=BA时，， 解得：M3=0，M4=﹣6， ∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）， ③当MB=MA时，， 解得：m=﹣1， ∴M5（﹣1，﹣1）， 答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形． 点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解． ㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】 例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． 中考专题复习《动点问题》教学设计【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况： 1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析 过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。 2、三年中考概况； 近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约． 3、解题策略和方法： “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 中考专题复习——动点问题 【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况： 1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。 八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 E C 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 6、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为 7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置 三、两圆一线定等腰 例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P， 使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个 B 相似三角形应用专题（二） 动态几何中的相似三角形 例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段 CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒） ． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形． 变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1 = ??ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能， 求出AP 的长；若不能，请说明理由。 N C M B 变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为4 83 y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点， 动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒． （1）求出点A B ，的坐标； （2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？ （3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式． O P A Q B y x O P A Q B y x 相似中动点问题 题型一位似图形 例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标． 例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点0； （2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比； （3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5． 题型二动点存在问题 1如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(3) 当t为何值时，△APQ的面积为5 24 个平方单位？ y x O P Q A B 3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿 AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ ⑵求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与⊿ABC相似？ 4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, AD=3，DC=5, AB=, ∠B=45°, 动点M从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，动点N同 时从C点出发沿线段CD一每秒1个单位长度的速度向 终点D运动，设运动的时间t秒。 （1）、求BC 的长。 （2）当MN∥AB时，求t的值. 特殊三角形与动点问题 1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D 运动的速度为每秒1个单位长度 （1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案） （2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形？并说明理由． （3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由． 2、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？ （3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式。 3、已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论． 4、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 相似三角形中的动点问题 例1.5.1在△ABC 中，6AB =cm ，12AC =cm ，动点D 以1cm/s 的速度从点A 出发到点B 止，动点E 以2cm/s 的速度从点C 出发到点A 止，且两点同时运动，当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动的时间t ． 例1.5.2如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8cm ，AD=12cm ，BC=18cm ，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿A →D →C 运动，点P 从点A 出发的同时点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，当点P 到达点C 时，点Q 也停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒． （1）从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？ （2）从运动开始，当t 取何值时，△PQC 为直角三角形？ A B C D E 例1.5.3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； 例1.5.4已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC； （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 八年级上册第二章特殊三角形 一、将军饮马 例1如图，在正方形 ABCD 中，AB=9,点E 在CD 边上，且 DE=2CE 点P 是对角 线AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是( ) A 3 — B 、10 一 C 、9 D 、9 — 【变式训练】 1、如图，在矩形 ABCD 中，AD=4,∠ DAC=30 ,点 P 、E 分别在 AC AD 上，则 PE+PD 的最小值是( ) 2、 如图，∠ AOB=30，P 是∠ AOB 内一定点，P0=1Q G D 分别是 OA OB 上的动点，则△ PCD 周长的最小 值为 ______________ 3、 如图，∠ AOB=30，C, D 分别在 OA OB 上，且0C=2 0D=6点C, D 分别是 AO BO 上的动点，贝U CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B , D 作AB 丄BD, DEl BD 连结 AC, CE (1) 已知AB=3, DE=Z BD=12设CD=X 用含X 的代数式表示 AC+CE 的长； (2) 请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； (3) 根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的 最 小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2 (1)已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和10cm,则它的周长为 ________________ (2) 已知等腰三角形的两边长分别为 ____________ 8cm 和10cm,则它的腰长 为 (3) 已知等腰三角形的周长为 _________________ 28cm 和8cm,则它的底边为 【变式训练】 1、 已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和7cm,则周长为 __________________ 2、 已知等腰三角形的一个角是另一个角的 4倍，则它的各个内角的度数为 _________________ 3、 已知等腰三角形的一个外角等于 150°,则它的各个内角的度数为 _______________________ 4、 已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25°,则它的各个内角的度数 __________________ 第1题 D 、4 M D B 第2讲相似三角形中的辅助线及动点 在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件， 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得 出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 、作平行线 例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB 例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。 三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。 例6?如图，https://www.360docs.net/doc/2c8230073.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF 四、作中线 例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为 何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. G F D A E A C B D F E B A C D F B A C D 动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序 号都填上） 提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将 △AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转. （1）求证：AD=PB （2）若∠CPB=135°，求BD ； （3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明. 分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45° 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， 2，F 为BE 中点. （1）求CF 的长 （2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围. 冲刺中考《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴专题 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－ 1 3 x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B， C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ. (1)填空：b＝________，c＝________； (2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； (3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)1 3 ，4； 【解法提示】∵二次函数y＝－1 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)， ∴ b c= b c= --+ ? ? ? -++ ?? 330 16 40 3 ，解得 b= c= ? ? ? ?? 1 3 4 ， 1 (2)可能是，理由如下： ∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动， ∴AP＝t， ∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t， ∴AQ＝t＋3， ∵∠PAQ<90°，∠PQA<90°， ∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°， 在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5， 如解图①，设PQ与y轴交于点D， 第1题解图① ∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°， 2 《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计 【教学目标】 1、知识与技能 （1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。 （2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。 2、过程与方法 （1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。 （2）学生与其他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。 （3）在自己动手画图的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 3、情感态度与价值观 （1）通过新媒体手段和个性化的学习方式，培养学生交流合作的意识，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心，培养学生良好的学习习惯。 （2）以小组活动形式对本节内容进行综合探索，在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。 【教学重、难点】 教学重点：（1）一次函数中的动点问题； （2）两圆一中垂线求等腰三角形；外K全等求等腰指教三角形。 教学难点：（1）分类讨论思想的运用； （2）学会以静制动 【学情分析】 学生已经初步掌握了用待定系数法求解一次函数的解析式，联立方程组求解两个一次函数图像的交点，求解三个顶点为定点的三角形的面积以及用铅锤法表示有顶点是动点的三角形的面积，但是对一次函数中特殊三角形的存在问题还存在一定的困难。 【教学活动策略及教法设计】 1.活动策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流中，主动发现特殊三角形中动点坐标的规律。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等教学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。 辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。 2、教法 演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。 实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律 讨论法：在学生进行了自主探索之后，进行小组讨论，让他们进行合作交流，使之互 中考数学相似三角形动点问题专题复习一、几何动点问题 例题：如图，在△ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动（有一点到达端点后即停止移动），如果P,Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？ 1、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连DE，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为 2、如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D 是BC 边的中点，动点P 从点C 出发，沿C→A→B 的方向在AC、AB 边上以每秒2 个单位的速度向点B 移动，运动至点B 即停止。连接PD，当点P 运动时间t 为何值时，线段PD 截 Rt△ABC 为两部分，所得的三角形与Rt△ABC 相似． 3、如图，在直角梯形ABCD 中， D 900 ，AB=10cm，BC=6cm，AB ∥CD , AC BC , F点以2cm / s 的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm / s 的速度在线段BC上由B 向C 匀速运动，设运动的时间为t （0＜t ＜5）. （1）求证：△ ACD ∽△BAC ； （2）求DC 的长 （3）当t 为何值时，△ FEB 为直角三角形？ 4、已知，在矩形ABCD 中，AB=a，BC=b，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动． （1）如图1，当b=2a，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°； 相似三角形复习专题动点问题 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 1、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 2、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； 3、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR△△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB△DC，△D=90o，AC△BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 3.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． G F D A B C E 动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、 FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为 ﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上） 提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 两定点A ，B 与一定点P 构成特殊三角形时应考虑：AB=AP ，AB=BP ，AP=BP ，三种情况分类讨论，分别求出定点P 的位置和坐标。 1（上海市）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． 2．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xO y 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边 与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56 ，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与 AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（江苏省）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析
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