全等三角形辅助线中的角平分线--讲义--学生版

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，

A

B

O

P P O

B

A A B

O

P

【例10】 如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．

D

C B A

【例11】 如图所示，在ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线于E ，

1

2

CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．

例题精讲

全等三角形中的角平

分线

E

M

D

C

B

A

【例12】 如图所示，在ABC ?中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD

的延长线于F ，求证()1

2

MF AC AB =-．

M

F

D C

B A

【巩固】如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．

M

D C

B

A

【例13】 如图，ABC ?中，AB AC =，BD 、

CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．

H

G D A

B C E

【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且

)(2

1

AD AB AE +=

，则ADC ABC ∠+∠等于多少？

E

D

C

B

A

【例14】 如图所示，在ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥于D ，BCA

∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，FG 平行于BC 交AB 于G ．AE =4，AB =14，则BG =______．

G

F

E D

C

B A

【巩固】如图所示，在Rt 三角形ABC 中，090,C CH AB ∠=⊥于H ，AG 平分BAC ∠，交CH 于D ，交BC 于

G ，在BC 上取BE =CG ，连接ED ，证明：CDE ?是直角三角形．

H

E

G D

C

B

A

【巩固】⑴在ABC ?中，96A ∠=，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠ 的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1

ACD ∠的角平分线交于2A ，…，依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小．

A 2

A 1

A

B C D

A B C

D

E

F

G

⑵如右上图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=，110BGC ∠=，求A ∠的度数．

【习题1】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．

C E

D

B A

【习题2】如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．

D

C B A

【习题3】(04年山东中考题)AD 是ABC ?的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于

F ．求证：AF FB =．

D

E

C

F

B

A

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