对称
《对称》教学设计
教学内容：
图形的运动（一）轴对称图形
教学目标：
1、知识与技能目标:使学生初步感知“对称图形”、“对称轴”等概念,并能识别对称图形，会画对称轴。
2、通过动手操作等实践活动，培养学生的观察、分析、综合能力及创造力。
3、通过图片欣赏，使学生感受数学与现实生活的密切联系，
教学重难点：
1、会判断生活中哪些事物是对称图形。
2、会画出对称图形的对称轴。
教学准备：课件、图形纸片若干、小剪刀
教学过程：
一、谈话引入
老师：老师昨天买了一个东西，老师觉得挺好看的，但是老师的爸爸妈妈，觉得不好看，大家想知道老师买的什么吗？（ppt图片放出来，图片是不对称的眼镜），大家觉得好不好看啊
学生：好看，不好看
老师：老师现在有一些图片，我们大家一起来看看好不好看，好不好（图片展示）。
这些图片漂亮吗？（漂亮）
二、学习新知
老师：现在我们一起来看看这些图片，大家告诉我这是什么啊
学生：青蛙、蝴蝶、天安门、脸谱
老师：大家看一看这些图片有什么特点啊？有什么特点，举手告诉老师（举手动作）大家看图片的两边都是一样的啊
学生：图片两边都一样啊
三、动手操作
老师：好了，现在大家拿出卡纸和剪刀，和老师一起动手剪一剪
（1）先把一张纸对折。（2）像这样画一画，再沿画的线剪一剪（3）把剪好的图形打开。看中间有一道折痕
老师：老师剪出来，你们剪出来没，没有的老师再给几分钟。一二三、要坐端，小眼睛、看老师，小嘴巴、闭闭好。
老师：看看你们剪得，两边是不是一样啊，中间有没有折痕啊
学生：有，一样的
老师：请你仔细观察这些对称图形，它们形状不同，但是它们有什么共同点呀？学生：两边一样，中间都有折痕。
老师：像这样剪出来的图形都是对称的，它们都是轴对称图形。和老师一起说，是什么图形啊
学生：轴对称图形
老师：我们把这条折痕叫作对称轴。
四、加深练习
老师：好了，现在我们来说一说下面的数字图案，哪些是轴对称的？举手告诉老师
学生：有0和8，后者3
老师：下面的图案分别是从哪张对折后的纸上剪下来的？连一连，并画出它们的对称轴。
学生：
老师：想一想，后两个图形的对称轴还可以怎样画？
学生：还可以横着画、或者斜着画
老师：现在大家动脑筋想一想这三个图形的对称轴有几种画法。
中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)
（2014?济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M ，是否存在这样的点P， 使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本 问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解 答： 解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点， ∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA =5，AC =10， ∴OC ===．∵S△OAC=OC ?AD=OA?AC，∴AD=．∴AA′=，
在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt △A′EA∽Rt△OAC．∴，即． ∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4）， 当x =﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A ′在该抛物线上． （3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， 则，解得∴直线CA′的解析式为y =x +…（9分）设点P 的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）． ∵PM∥AC， ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM= AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10． 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2时，y=﹣． ∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形． 点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、 勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．
初中数学知识点归纳轴对称
初中数学知识点归纳轴 对称 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
初中数学知识点归纳：轴对称 一、轴对称与轴对称图形： 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 注意：对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质： (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线： (1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 (2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 5.角的平分线： (1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. (2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 6.等腰三角形的性质与判定： 性质： (1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴; (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; (3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等; ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）
结构力学对称性应用
对称性应用 在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。 结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示： 对称性在求解结构内力中的应用： 对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。 在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构反对称正对称
进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的原则： 1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处 2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效 奇数跨对称结构： 偶数跨对称结构：
图形的平移、旋转与轴对称集体备课
第二单元：图形的平移、旋转与轴对称 教学目标 1. 通过观察、操作等活动，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平 或垂直方向将简单图形平移，能正确判断平移的方向和距离；会在方格纸上将简单图 形旋转90°，会用数学语言描述旋转的方向和角度。 2. 通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴 对称图形的对称轴，能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。 3. 能从平移、旋转与轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简 单的图案。 4. 探索简单情境下图形的变化规律。 5. 通过图形的平移、旋转与轴对称的学习，进一步发展学生的形象思维能力，建立空 间观念。 6. 经历探究图形的平移、旋转与轴对称等学习过程，学生能主动参与数学探究活动， 体会数学活动充满探索与创造的过程，对数学学习有好奇心与求知欲。 内容分析 图形的平移、旋转与轴对称是在三年级下期学生认识了平移、旋转与轴对称现象 的基础上，对图形运动的再一次研究，重点把学生在平移、旋转与轴对称现象中获得 的感性认识上升到理性认识，这两部分内容的不同点主要体现为三个方面：一是取材 不一样，平移、旋转与轴对称现象重点取材于现实生活，而图形的平移、旋转与轴对 称基本上都取材于数学中的平面几何图形。二是要求不一样，平移、旋转与轴对称现 象只限于感知，而图形的平移、旋转与轴对称需要理解和应用。三是学习方式不一样，平移、旋转与轴对称现象主要采用观察与操作获得运动表象，而图形的平移、旋转与 轴对称要采用操作、分析、归纳和应用的方式掌握图形运动的本质属性。 本单元的图形运动都是把平面图形放在方格纸上进行研究，强调方格纸的目的是因为运动的表现形式为位置或距离的变化，位置的改变在方格纸上表现得最明显；另外，方格纸虽然还不是一个完整的直角坐标系，但是它具备了直角坐标系的本质特征，所以在这里也渗透了直角坐标系的一些知识，有利于学生的进一步学习和发展。 教科书回避严格的定义，用大量的操作活动帮助学生理解和认识图形的运动，帮助学 生逐步形成空间观念。教科书编写时注意揭示图形运动中所蕴含的数学含义，挖掘平移、旋转、轴对称等内容的深刻内涵和彼此之间的关联，比如平移、旋转、对称与设 计图案的联系，以此来帮助学生形成空间观念。
全等三角形轴对称能力提高练习(供参考)
若∠CMP=90°，如图（2） 则∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-50-100=150° 2. 过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ∴∠AEC=∠AFC=90o， ∠EAC=∠ ∴△AEC ≌△AFC ∴AE=AF ∵AE=2 1 (AB+AD) ∴2AE=AB+AD ∴AB-AE =AE-AD ∴AB-AE =AF-AD ，即EB =FD 在△EBC 和△FDC 中： CE=CF ，∠BEC=∠DFC=90o ， EB =FD ∴△EBC ≌△FDC ∴∠B=∠FDC ，即∠ABC=∠FDC ∵∠FDC+ ∠ADC=180o ∴∠ABC+∠ADC=180o 3. ∵M 、N 分别是点P 关于OA 、OB 的对称点 ∴EP=EM ，FP=FN ∴△PEF 的周长=EP+EF+FP =EM+EF+FN ， 即△PEF 的周长=线段MN ∵△PEF 的周长=20cm ∴MN=20cm (1)连接OM ，OP ，ON ∵M 、N 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点 ∴OM=OP ，ON=OP ，∠MOA=∠POA ,∠NOB=∠∴OM=ON ∠MON=∠MOA+∠POA +∠NOB+∠POB=2(∠POA +∠POB)=2∠AOB ∵∠AOB=45o， ∴∠MON=90o ，∴△MON 是等腰直角三角形 （2）分别作点P 关于OA ，OB 的对称点M 、 N ，连接MN ，分别交OA ，OB 于点E 、F 连接PE 、PF ，△PEF 即为所求。 4.提示：连接AD ，证△ADF ≌△BDE 5.提示：延长AB 与CD 的延长线交于点F ，证△ABE ≌△CBF 6.提示：（1）EC=BD (2)∠BOP=∠BAE=60o，故∠BOP 的大小与△ABC 形状无关。 7.提示：过点E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ，证△MEG ≌△CFG 8.（1）当在底边BC 边上取点时，分两种情况： 时，容易计算得∠B=∠C=45o ，∠BAC=90o； 如图（2），在BC 上取点F ，使AB=FB ，AF=CF ，设∠B=∠C= x ，则∠FAC=x ，∠BFA=∠BAF=2x ，所以有x+x+x+2x=180o， x=36o ，2x=72o，3x=108o，∠B=∠C=36o ，∠BAC=108o ；
直线中的几类对称问题(推荐)
直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ， 解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2 21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???
操作系统概念第七版习题答案(中文版)完整版
1.1 在多道程序和分时环境中，多个用户同时共享一个系统，这种情况导致多种安全问题。a. 列出此类的问题b.在一个分时机器中，能否确保像在专用机器上一样的安全度？并解释之。 Answer:a.窃取或者复制某用户的程序或数据；没有合理的预算来使用资源（CPU，内存，磁盘空间，外围设备）ｂ．应该不行，因为人类设计的任何保护机制都会不可避免的被另外的人所破译，而且很自信的认为程序本身的实现是正确的是一件困难的事。 1.2 资源的利用问题在各种各样的操作系统中出现。试例举在下列的环境中哪种资源必须被严格的管理。（ａ）大型电脑或迷你电脑系统（ｂ）与服务器相联的工作站（ｃ）手持电脑 Answer: （ａ）大型电脑或迷你电脑系统：内存和CPU 资源，外存，网络带宽（ｂ）与服务器相联的工作站：内存和CPU 资源（ｃ）手持电脑：功率消耗，内存资源 1.3 在什么情况下一个用户使用一个分时系统比使用一台个人计算机或单用户工作站更好？ Answer:当另外使用分时系统的用户较少时，任务十分巨大，硬件速度很快，分时系统有意义。充分利用该系统可以对用户的问题产生影响。比起个人电脑，问题可以被更快的解决。还有一种可能发生的情况是在同一时间有许多另外的用户在同一时间使用资源。当作业足够小，且能在个人计算机上合理的运行时，以及当个人计算机的性能能够充分的运行程序来达到用户的满意时，个人计算机是最好的，。 1.4 在下面举出的三个功能中，哪个功能在下列两种环境下，(a)手持装置(b)实时系统需要操作系统的支持？(a)批处理程序(b)虚拟存储器(c)分时 Answer:对于实时系统来说，操作系统需要以一种公平的方式支持虚拟存储器和分时系统。对于手持系统，操作系统需要提供虚拟存储器，但是不需要提供分时系统。批处理程序在两种环境中都是非必需的。 1.5 描述对称多处理（ＳＭＰ）和非对称多处理之间的区别。多处理系统的三个优点和一个缺点？ Answer:ＳＭＰ意味着所以处理器都对等，而且I/O 可以在任何处理器上运行。非对称多处理有一个主处理器控制系统，与剩下的处理器是随从关系。主处理器为从处理器安排工作，而且I/O 也只在主处理器上运行。多处理器系统能比单处理器系统节省资金，这是因为他们能共享外设，大容量存储和电源供给。它们可以更快速的运行程序和增加可靠性。多处理器系统能比单处理器系统在软、硬件上也更复杂（增加计算量、规模经济、增加可靠性） 1.6 集群系统与多道程序系统的区别是什么？两台机器属于一个集群来协作提供一个高可靠性的服务器的要求是什么？ Answer:集群系统是由多个计算机耦合成单一系统并分布于整个集群来完成计算任务。另一方面，多道程序系统可以被看做是一个有多个CPU 组成的单一的物理实体。集群系统的耦合度比多道程序系统的要低。集群系统通过消息进行通信，而多道程序系统是通过共享的存储空间。为了两台处理器提供较高的可靠性服务，两台机器上的状态必须被复制，并且要持续的更新。当一台处理器出现故障时，另一台处理器能够接管故障处理的功能。
对称的知识结构
对称的知识结构 1、对称类型的理解: 轴对称? （亦称双侧对称或反射对称）； 中心对称（亦称旋转对称）； 平移对称。 (1) 一般性解释 轴对称图形——? 如果沿某条直线L对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形称为轴对称图形。L—对称轴。 如果是两个图形有此性质，那么我们称这两个图形呈轴对称（或反射对称）。 中心对称——如果图形以某个中心点旋转一定角度后，形成一个和旋转前完全相同的图形，那么这样的图形称为中心对称图形（或旋转对称图形）； 平移对称——如果有一个图形依照一定的轨迹平移一段距离之后，与另外一个图形完全重合，那么这两个图形呈平移对称性。 (2) 数学化解释 轴对称的解释： 一个物体，即一个空间图形，如果在关于给定平面E的反射下变成其自身，我们就说它是关于E是对称的。取垂直于E的任意直线L 以及L 上的任意一点P，那么此时在L 上（在E的另一侧）就存在一点P’（且只存在一点P’）与E 有同样的距离。仅当P在E上，点P才与P’重合。 中心对称的解释： 首先定义映射：每当确立了一个规则，而由此规则每一点P都有一个像P’与之对应，这就定义了一个映射。那么，假如绕一垂直轴旋转某度角，这一旋转将空间中的每一个点P变为另一点P’，因此也就定义了一个映射。 其次，对中心对称进行定义： 如果图形在绕轴L的所有映射之下（不仅仅一次，包括无穷多次），仍能变为自身，那么我们就称该图形关于轴L有中心对称。 (3) 对数学化解释之再抽象——“群”的引出 建立在前面的分析基础上，数学家逐渐抽取出对称的最本质操作（得到对称的过程，而不仅仅是对称本身），最终得到“群”的基本定义。 从对称的一般性解释到对称的数学化解释，再到对数学化解释的再抽象，
函数对称性
1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2 如f(x+3)=f(5_x) X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例. 对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴Ｘ＝ｂ／２ａ 原函数与反函数的对称轴是ｙ＝ｘ． 而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是Ｘ＝９０还有．．．（２ｎ＋！）９０度等等．因为他的定义为Ｒ． ｆ（ｘ）＝｜Ｘ｜他的对称轴则是Ｘ＝０， 还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了． 如ｆ（ｘ－３）＝ｘ－３令ｔ＝ｘ－３则ｆ（ｔ）＝ｔ可见原方程是由初等函数向右移动了３个单位．同样对称轴也向右移３个单位Ｘ＝３（记住平移是左加右减的形式，如本题的Ｘ－３说明向由移） ２，至于周期性首先也的从一般形式说起ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ） 注意此公式里面的Ｘ都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键． 同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．２π，２π，π，当然 他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如ｆ（ｘ）＝ｓｉｎＸＴ＝２π（Ｔ＝２π／Ｗ） 但是如果是ｆ（ｘ）＝｜ｓｉｎｘ｜的话它的周期就是Ｔ＝π因为加了绝对值之后Ｙ轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周Ｔ＝π． y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2 y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2 上面的２个方程Ｔ＝π（Ｔ＝２π／Ｗ） 而对于≥２个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos２x因为他们有一个公共周期Ｔ＝π所以它的周期为Ｔ＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如 y=sin３πx+cos２πxＴ１＝２／３Ｔ２＝１则Ｔ＝２／３
小学数学轴对称图形教学设计
《轴对称图形》教学设计教学目标： 1、通过观察、操作、想象初步认识轴对称现象，知道对称轴，能判断一个图形是否是轴对称图形。 2、经历操作、观察、想象、交流等活动，增强观察能力、想象能力和表达能力，发展空间观念。 3、感知现实世界中普遍存在的对称现象，体验到生活中处处有数学，感受物体或图形的对称美，激发对数学学习的积极情感。 教学重点：认识对称现象和轴对称图形。 教学难点：识别轴对称图形。 教学过程： （一）从生活现象引入数学 教师：我昨天在眼镜店看到了一副眼镜，请大家帮我看看，我要不要买呢？ （出示课件）为什么不要买？（两边有大小、不好看、不实用、不对称） 教师：大家都说这副眼镜不对称，到底怎样才是对称？（板书：对称两边完全一样）店主向我推荐了另外一副眼镜，出示实物戴上，现在这副眼镜对称了吗？ （二）初步认识轴对称图形 课件展示四个轴对称图形。（蝴蝶、树叶、蜻蜓、剪纸）观察这四个图形，有什么共同之处？（两边完全一样。）怎样才能验证两边完
全一样？（用对折的方法）教师示范：把剪纸衣服对折。（大屏幕演示三个图形两侧重合的动画过程） 把图形对折后你发现了什么？（板书：两边完全重合）小结：像这样的图形，我们叫对称图形。 教师：在生活中，你还见过那些对称的现象？ （三）在实际操作中深入认识轴对称图形 教师：刚才大家都认为这件小衣服是对称的，那它是怎么剪出来的呢？ 请学生介绍方法：用长方形的纸，先对折，再画一画，最后剪出形状。 教师：用这样的方法，你还能剪出其它图案吗？ 展示学生的剪纸作品。 教师：这些剪纸作品，虽然形状、大小不同，但它们都有一个共同之处，你发现了吗？ 小结：像这样通过对折再剪下来的图形，都是对称的，我们叫做轴对称图形。谁来说说轴对称图形有什么特点？（两边完全重合）教师：我们在对折图形时，中间有一条折痕，叫对称轴，用虚线来表示。（教师板画）请同学们在剪下来的图形中描出对称轴。（找出刚才三个图形的对称轴。） 今天这节课我们一起来认识轴对称图形。 教师：老师这儿还有一些剪纸，但剪下来的图形和剩下来的纸边并不对应（呈现下图）你能猜出下面的图案分别是哪张对折的纸上剪
第31课时 图形的对称(轴反射)
第31课时图形的对称(轴反射) 一、【教学目标】 1.了解轴对称的概念、中心对称、中心对称图形的概念和基本性质； 2.正解轴对称的基本性质、基本图形的轴对称性及其相关性质、轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用； 3.掌握利用轴对称作图，简单图形间的轴对称关系，轴对称图形的欣赏； 4.运用轴对称、平移和旋转进行图案设计． 二、【重点难点】 重点：简单图形的对称性； 难点：运用轴对称、平移和旋转进行图案设计． 三、【主要考点】 （一）、轴对称 1．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形． 2．轴对称的基本性质： （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分； （2）对应线段相等，对应角相等． （二）、中心对称 1．中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180?，能与原来的图形重合，这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心． 2．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分． 四、【经典题型】 【31-1A】下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D） A B C D 解：选D 【31-2B】⑴如图1，⊙O的半径为2，C1是函数y= 2 1x2 的图象，C2是函数y=- 2 1x2的图象，则阴影部分的面积 是 . ⑵如图2，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是 AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点 A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm. 解：⑴由对称性在，所求阴影部分的面积等于半圆的面积，即S= 2 1π?22=2π. ⑵由轴对称的性质有：A'D=AD，A'E=AE，而BC没有变化，故阴影部分图形的周长与原△ABC的周长相等，等于3. 温馨提示：折叠具有以下性质： ⑴折叠前后对应线段长度不变；⑵折叠前后，对应角度 图1 图2
谈谈点关于直线对称问题求法
谈谈点关于直线对称问题求法 在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。 在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x 0,y 0)关于直线x=a 的对称点P 1坐标为（x 1,y 1），则由中点坐标公式可得a=（x 0+x 1） /2,y 0=y 1即：x 1=2a-x 0,y 1=y 0所以得P 1坐标为（2a-x 0,y 0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x 0,y 0)关于直线y=b 的对称点P 1坐标为（x 2,y 2）则由中点坐标公式可得b=（y 0+y 2） /2,x 0=x 2即：y 2=2b-y 0,x 2=x 0所以得P 1坐标为 (x 0,2b —y 0)。 图1 图2 图3 下面介绍一般情况下，求点P(x 0,y 0)关于直线l ：y=kx+b （k ≠0）的对称点P 1的坐标（如图3），设P 1点坐标为（x ，y ），则由直线PP 1与l 垂直及线段PP 1的中点在l 上，可得： {)2(22)1(10000b x x k y y k x x y y ++?=+-=?-- 解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得： {)4(12)1(2)3(12)1(22 0202 020k b y k kx y k bk x k ky x ++--=+---= 可以验证：该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁，也没有必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1或者-1时，该公式变的简单明了，而且应用起来非常方便。 当k=l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=y 0-b, y=x 0+b. 当k=-l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=-y 0+b. y=-x 0+b. 可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x 的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y 值即为对称点的纵坐标。 例1: 求点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标。 解：在直线方程y=x+3,将x 代为3，得： y=6即为对称点纵坐标，将y=5代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。 所以：点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标为（2，6）。 例2：求点（a.b ）关于直线y=-x+1的对称点
分子结构和对称性
普化无机试卷（分子结构和对称性）答案 一、填空题 1. (1801) 锥形，C s 2. (1802) 弯曲形，C2v；锥形，C3v 3. (1804) 2，1，3 4. (1806) D3h，C3v 5. (1807) 4，1个N—H键 6. (1808) D5h，无 7. (1809) “交错式”构象 8. (1813) 平面三角形，三角锥，Si上的空d轨道和N上的孤对电子有π成键作用，降低了N上孤对电子的电子云密度。 9. (1814) 2- CO2，C2H2；SO 4 10. (1815) D3h，T d 11. (1817) (1) D3h；(2) T d；(3) C∞v；(4) C1 12. (1818) (1) 没有S n对称元素；(2) SiFClBrI。 13. 1 分(1822) (1) 中心原子的孤对电子的数目将影响键角，孤对电子越多、键角越小。 (2) 配位原子的电负性越大，键角越小，中心原子的电负性越大，键角越大。 (3) 多重键的存在使键角变大。 在上述OF2和H2O分子中，F的电负性大于H，成键电子对更靠近F，排斥力减小，故键角减小。 在AsF3和AsH3、除上述电负性因素外，主要还因As—F之间生成反馈p - dπ键，使As与F之间具有多重键的性质，故键角增大。 14. (1829) 是，D3群由对称元素E、C3、3C2组成，不含非真旋转轴（包括明显的和隐藏的）， 二、问答题( 共16题90分) 15. (1800) AsF5三角双锥(D3h)；AsF6-正八面体(O h)。
F F 16. (1803) 电中性O 2，双键，较短，三重态； O 2-键级1.5，键较长，二重态； O 2 2-较长的单键，单重态。 17. (1805) 键的极性和分子的极性分别由键的偶极矩和分子的偶极矩来度量。偶极矩是一个矢量，有大小、方向，其大小等于偶极长度乘以电荷，其方向是由正向负。分子的偶极矩等于分子中各偶极矩的矢量之和。因此： NH 3分子的偶极矩等于由三条键偶极矩的矢量之和加上由孤 对电子产生的偶极矩。二者均由下向上，相加的结果 +=， 偶极矩较大。 在NF 3中，由于孤对电子产生的偶极矩与键偶极矩方向不一 致，相加的结果+=，偶极矩较小。 18. (1810) (一) 含有i ，或其它对称元素有公共交点的分子没有偶极矩，或者说不属于C n 或C n v 点群的分子； (二) (1)、(4)、(5)可能是。 19. (1811) 根据分子轨道能级图，H 2的HOMO 是σ (s )MO ，LUMO 是σ*(s )，而I 2的HOMO 是π *(p )，而LUMO 是σ*(p )。如果进行侧碰撞，有两种可能的相互作用方式： (1) 由H 2的HOMO 即σ (s )MO 与I 2分子LUMO 即σ*(p )相互作用。显然对称性不匹配， 净重叠为0，为禁阻反应。 (2) 由I 2的HOMO 即π*(p )与H 2的LUMO 即σ*(s )相互作用，对称性匹配，轨道重叠不为0。然而若按照这种相互作用方式，其电子流动是I 2的反键流向H 2的反键，对I 2来讲电子流动使键级增加，断裂不易；而且，从电负性来说，电子由电负性高的I 流向电负性低的 H 也不合理。 N H H H N F F F H 2 HOMO I 2 LUMO I 2 HOMO H 2 LUMO
对称性与守恒定律
对称性与守恒律 物理规律是分层次的，有的只对某些具体事物适用，如胡克定律只适用于弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；有的如能量、动量守恒等守恒律，则在所有领域的自然界起作用。后者属于自然界更深层次、最为基本的规律。而守恒律和对称性有紧密联系。了解对称性的概念、规律及其分析方法，对于深入地认识自然有重要意义。 一、什么是对称性 对称的概念日常生活中就有，如人体外部器官的左右对称，紫禁城建设布局的东西对称，不带任何标记的球的中心对称等。对称性的定义如下。 若某个体系（研究对象）经某种操作（或称变换）后，其前后状态等价（相同），则称该体系对此操作具有对称性，相应的操作称为对称操作。简言之，对称性就是某种变换下的不变性。 二、物理学中几种常见的（对称）变换 1.空间变换 1）平移：即对位矢作的变换，相应的对称性谓之平移对称性。 例如，一个不带任何标记的无限大平面，对沿平面的任意平移具有对称性，而当此平面上均匀布满方格时，则对沿平面的特定方位（如边长或对角线方位）平移某个长度的整数倍具有对称性。 2）转动：绕某定点或轴线的转动 前述球的中心对称，就是指球对绕球心的任意旋转对称，通常就称之为球对称。一圆柱体，对绕其中心轴旋转任一角度状态不变，即具有旋转轴对称…… 3）镜像反射（反演）：俗称照镜子。指对镜面作物像变换。 紫禁城建筑的东西对称，就是以天安门中轴面（南北竖直面）为镜面的镜像对称。 ●物理矢量的镜面反射——极矢量和轴矢量 按镜面反射时，矢量物像的方向之间的关系，物理矢量分两类。一类，以位移 为例，其镜像为，如图1(a)所示。它们平行于镜面的分量方向相同，垂直于镜面的分量的方向相反，这类矢量叫极矢量。，，等都是极矢量。
结构力学对称性应用
对称性应用 在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。 结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示： 对称性在求解结构内力中的应用： 对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。 在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的反对称 正对称
原则： 1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处 2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效 奇数跨对称结构： 偶数跨对称结构： 在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。分析可
八年级轴对称集体备课
初二数学集体备课资料（八年级上册） 第十三章轴对称 主讲人：刘亚君 一、本部分结构特点 我们生活在一个充满对称的世界中，无论是园林、建筑物的设计，还是艺术作品的创作，或者是自然生长的植物，动物，人工制造的产品，甚至中国的方块字中都蕴含这丰富的对称现象。对称不仅给我们带来很多美的感受，而且在数学中也具有十分重要的性质和运用。 本章包含三小节内容：轴对称、作轴对称图形和等腰三角形，另外还包括信息技术应用的板块——探索轴对称的性质，实验与探究的板块——三角形中边与角之间的不等关系，数学活动与单元小结。教材展示了现实生活中丰富多彩的轴对称现象，也探索了一类简单的轴对称图形的相关性质。教材要求学生通过本章相关知识的学习了解轴对称现象背后的数学本质，认识线段垂直平分线、等腰三角形的相关性质，培养学生的作图能力、观察能力、归纳类比能力、合作交流能力以及发现问题和解决问题的能力，让学生经历数学规律的探究过程，感受数学美，从而激发数学学习的乐趣，体会数学与现实的紧密联系。 二、教学目标 1. 使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 2．初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案,进一步增强空间观念。 3. 让学生在上述活动中，欣赏图形变换所创造出的美,进一步感受对称和平移在生活中的应用，体会数学的价值。 三、教材重点与难点的确定 1. 教学重点 （1）轴对称的性质和判断 （2）轴对称变换的性质和判断 （3）等腰三角形的性质判断 2. 教学难点 （1）等腰三角形的性质和判断 （2）掌握等腰三角形的性质和判断 四、学情分析 1.教学内容分析 本章的主要内容是轴对称图形及其性质，线段的垂直平分线及其性质，角的平分线及其性质。 本章教材共分六节。第一节首先从丰富的实例入手，引导学生认识“轴对称图形”与“两个图形关于一条直线成轴对称”的概念。在第二节、第三节与第四节中，教材丰富的实际操作与探究活动，一方面引导学生认识角的平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形都是轴对称图形，另一方面让他们在实际探索中发现线段的垂直平分线、角的平分线和等腰三角形的性质。在第五节中，仍然通过实际的探究活动，使学生认识关于某一条直线成轴对称的两个图形所具有的性质，并学习简单图形关于某一条直线成轴对称的画法。本章第六节简单介绍了镜面对称的概念，让学生在欣赏生活中的镜面对称现象的同时，思考镜面对称的性质。为
函数对称中心的求法解析
函数对称中心的求法解析 湖北省广水市第一中学（432700） 刘才华 题目 函数32()367f x x x x =-+-的图象是中心对称图象，其对称中心为________. 一、利用定义求对称中心 分析 根据中心对称图形的定义，在函数()f x 图象上的任意一点(,)A x y 关于对称中心(,)a b 的对称点(,)A x y '''也在函数()f x 的图象上. ∴22x x a y y b '+=??'+=?，即22x a x y b y '=-??'=-? . ∴(2,2)A a x b y '--， 代入函数式有：32 2(2)(2)3(2)6(2)7b y f a x a x a x a x -=-=---+--, 化简得：32232(36)(12126)(2781212)y x a x a a x b a a a =+-+-+++-+-， 与32()367f x x x x =-+-是同一函数，则对应系数相等， 故23236312126627812127a a a b a a a -=-??-+=??+-+-=-? ，∴1a =，3b =-，即函数()f x 的对称中心为(1,3)-. 点评 利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心. 二、巧取特殊点求对称中心 分析 在函数()f x 的图象上取点(1,3)-、(2,1)，它们关于对称中心(,)a b 的对称点分别为(21,23)a b -+、(22,21)a b --也在函数()f x 的图象上. ∴323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7 b a a a b a a a ?+=---+--??-=---+--??，相减则26(253)0a a -+=， ∴13a b =??=-?或321a b ?=???=-? .又若对称中心为3(,1)2，则(0,7)-关于3(,1)2的对称点(3,9)应在函数图象上，而(3)119f =≠，∴3(,1)2 不是对称中心，故对称中心为(1,3)-. 点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中
结构优化中的对称性问题重点
结构优化中的对称性问题 1. 在优化结构时，结构的对称性一般保持不变，Gaussian默认对称优化 Gaussian优化中输入什么对称性，一般优化的结果仍然还是那个对称性，比如CO2，如果初始两个CO键长输入不是完全相等（比如一个1.214,一个1.215），那么程序就会判断为C∞v 对称，那么优化结果虽然键长几乎相等，但仍然认为是C∞v ，这个从振动频率或者分子轨道对称性上可以看出来。--我们知道，CO2实际上是直线的两边对称的构型，其对称性应该是D∞v 。因此，为了得到高的对称性，必须输入的时候，精确地输入数值，比如sqrt(2)，就要保留很多的小数点，180.0角，就不能写成179.9。 2. 寻找过渡态时优化往往需要改变对称性，须要加入关键词IOP(2/16=3)或者nosymm 有时计算过程中对称性会变化，比如做过渡态的时候，这时需要用关键词IOP(2/16=3)或者nosymm，否则计算会出错退出。 3．得到准确的对称性时往往需要降低判断标准，需要加入关键词symm=loose或IOP (2/17=4, 2/18=3) 比如用直角坐标输入一个正三角形构型，其对称性应该是D3h，但是如果输入的小数点后面的数字不够多，那么常常得到的是C2v或其它。为了消除输入文件中坐标的有效位数的影响，得到较高的对称性，可以降低对称性判断的严格性。一般可以用symm=loose，这等价于IOP (2/17=4, 2/18=3)。还可以减小这4和3这两个数值，使得更加loose，但不能过小，否则会出错。symm=loose只是在第一步判断输入构型的对称性时用到。 此外，也可以用Gauss View来调整设置初始构型的对称性。 4. 在优化结构时，如果要降低结构对称性，可以加入关键词symm(PG=)设置对称点群 如果要降低对称性，那么可以用symm(PG=C3v)等等来做。使判断出来的对称性为C3v的一个子群。即由PG来限制最高对称性。 有关对称性操作的IOP的详细解释 IOp(2/16)