贵州大学明德学院2012-2013学年第二学期考试试卷 答案

参考答案

一、1、 0.1 2、 P (A B )= P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8 3、80

81

4、答案见书43页

5、 (1160.8,1239.2)

6、解：???

??≤≤-=-==

?

?

∞

+∞

-其它

10)2(4.2)2(8.4),()(0

2x x x dy x y dy y x f x f x X

?????≤≤+-=-==??

∞

+∞

-其它

10)

43(4.2)2(8.4),()(1

2y y y y dx x y dx y x f y f y

Y

7.0.35 8. .8

3

三、1. 解: A ={取到的是一只次品}，

i B ={所取到的产品是由第i 家工厂提供的} (i=1,2,3) 2分 由题意知 123()0.15,()0.80,()0.05P B P B P B ===

123()0.02,()0.01,()0.03P A B P A B P A B === 4分

(1) 由全概率公式

112233()()()()()()()

0.0125

P A P A B P B P A B P B P A B P B =++= 6分

(2) 由贝叶斯公式

111()()

()0.24()

P A B P B P B A P A =

= (7分)

23()0.64,(8()0.12(9P B A P B A ==分)分)

这只次品来自第2家工厂的可能性最大. (10分)

2. 解：设A 表示“朋友换水”，B 表示“金鱼还活着”，则9.0)(=A P ，1.0)(=A P ，

85.015.01)(=-=A B P ，15.0)(=A B P ，2.0)(=A B P ，8.0)(=A B P ，

（1）由全概率公式)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=

=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785； …………………………………（5分） （2）由贝叶斯公式372093

.0785

.018

.01.0)

()()()(=-?=

=

P A B P A P B A P ……（8分） 3、解：A 为事件“生产的产品是次品”，B 1为事件“产品是甲厂生产的”，B 2为事件“产品是乙厂生产的”，B 3为事件“产品是丙厂生产的”易见的一个划分是Ω321,,B B B (1) 由全概率公

式

，得

.0

3

.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3

1

3

1

=?+?+?===

∑∑==i

i i

i i

B A P B P AB P A P (2)

由Bayes 公式有：23

8

0345.0%4%35)

()()

()()(3

1

222=?=

=

∑=i i

i

B P B A P B P B A P A B P

4. 解：由

??

+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ),(=1，

有 ??+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ),(=??-1

1

21

2ydy x c dx x

=1，

得 c =21/4 P (X

?

?

-10

2

4

21ydx x dy y y

=0.85 ??

???≤≤--==?其它01

1)1(8

21421)(4212

2x x x ydy x x f x X ??

?

??≤≤==?-

其它

102

7

421)(25

2y y ydx x y f y

y Y X 与Y 不独立

??

???≤

≤-==-其它023)(),()|(2

32|y

x y y x y f y x f y x f Y

Y X

??

?

??≤≤-==其它01

18)()

,()|(24

|y x x y x f y x f x y f X X Y

??+∞∞-+∞∞

-=dxdy y x f x X E ),()(=??-11312421

ydy x dx x =0

??+∞∞-+∞∞

-=dxdy y x f x X E ),()(22=??-11412421

ydy x dx x =7/15

D (X )=22))(()(X

E X E -=7/15

??+∞∞-+∞∞

-=dxdy y x f y Y E ),()(=??-112212421

dy y x dx x =7/9

??+∞∞-+∞∞

-=dxdy y x f y Y E ),()(22=??-113212421

dy y x dx x =7/11

D (Y )=2

2))(()(Y E Y E -=28/891

??+∞∞-+∞∞

-=dxdy y x f xy XY E ),()(=??-112312421

dy y x dx x =0 cov(X ,Y )=0， XY ρ=0，X 与Y 不相关 5. 解：(1)由于

12

1*

|41*|31),(1040

30

40

3k e e k dy

e dx e k dxdy y x

f y x y x ====∞

-∞-∞

-∞

-????

得到k=12, (2)边缘密度为

x

y

x X e dy

e

dy

y x f x f 30

430

312),()(-∞

--∞

===?

?

y

y x Y e dy

e dx

y x f y f 40

430

412),()(-∞

--∞

===??

（3）由于

)()(),(y f x f y x f Y X = 所以相互独立！

6. 解：（1） 由归一性可得：()22

12f x dx Acos xdx A π

π+∞

-∞

-

=

==?

?，从而 12A =

()()()()()()2

2

2

2222x

x

x x f x dx,x .F x f x dx f x dx,x f x dx,x πππππ

π-∞-∞

-

?<-???

==-≤

()021

122

212,x sin x ,x ,x π

πππ

?<-?

?=+-≤

(

)4

1304

2 .P{X }cos xdx π

π<<==

?

7. 解：（1）由于

1),(=??∞

∞

-∞

∞-dxdy y x f ，所以1)6(4

2

=--??dy y x k dx ，可得24

1

=

k （2）9

8)16621(241)6(2412

2

402

0=+-=--???-dx x x dy y x dx

x

8. 解：1-=X e Y 的分布函数).(y F Y

?

+∞

-=+≤=≤-=≤=)

1ln()())1ln(()1()()(y X X

Y dx

x f y X P y e P y Y P y F =

??

???

≤--<≤+<.

1,1;10),1(ln 16

1;0,0442

y e e y y y 于是Y 的概率

密

度

函

数

??

?

??-<<++==.

,0;10,)

1(8)

1ln()()(4其他e y y y y F dy d y f Y Y

9. 解：（1）由于1

()E X λ

=

，令

1

1X X

λλ

=?=

，故λ的矩估计为1?X λ

= （2）似然函数1

12(,,,)n

i

i x n

n L x x x e

λ

λ=-∑=

1

1

1

ln ln ln 0n

i

i n

i n

i i

i L n x d L n n x d x

λλλλλ====-=-=?=∑∑∑

故λ的极大似然估计仍为

1

X

。 10. 解

，令

，故的矩估计量为

，

另，似然函数

对数似然函数为

解得的最大似然估计量为。

11、解：（1） 令

1

1

==

=

?

X EX x dx

解得θ的矩估计为 2

?1θ??= ?-??

X X

（2）似然函数 (

)

)1

1

2

1

1

θθ===

=∏∏n

n

n

i i L

对数似然函数 (

))1

ln ln 1

ln 2

θθ==+

∑n

i

i n

L x

令 ()1

2

1

ln 1ln 022θθθθ-=?=+=?∑n

i i L n x

解得θ的极大似然估计为 2

21?ln θ==??

???

∑n

i i n x 12. 解：X 的概率分布为

3323()()()

0,1,2,3.55

k k k

P X k C k -===

即

01232754368125125

125125

X

P

X 的分布函数为

0,0,

27,01,12581

(),12,125117,23,1251, 3.

x x F x x x x

26

3,55EX =?=

2318

35525

DX =??=

13. 解：设这批种子发芽数为X ，则)9.0,1000(~B X ，由中心极限定理得

所求概率为 }

880{≥X P 9826.0)108.2()108.2(1)90

900

880(

1=Φ=-Φ-=-Φ-=。