2018全国高考1卷(文科数学) - 详细解析(word精美版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）

文科数学

本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．已知集合}2,0{=A ，}2,1,0,1,2{--=B ，则=B A （）

A ．}2,0{

B ．}2,1{

C ．}0{

D ．}2,1,0,1,2{-- 1．【解析】}2,0{=B A ，选A ． 2．设i 2i

1++-=

z ，则=z （） A ．0 B ．

C ．1

D ．2 2．【解析】()()()i i 22

2i 2i 1i 1i 12

=+-=+-+-=z ，则1=z

，选C ．

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面的结论中不正确的是（） A ．新农村建设后，种植收入减少

B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

3．【解析】经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，所以建设前与建设后在比例相同的情况下，建设后的经济收入是原来的2倍，所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%，故选A ．

4．已知椭圆14:2

22=+y a

x C 的一个焦点为)0,2(，则C 的离心率为（） 28%

5% 30%

37%

第三产业收入

其他收入

养殖收入

种殖收入

建设后经济收入构成比例

4% 30%

60%

第三产业收入

其他收入

养殖收入

种殖收入

建设前经济收入构成比例

A ．

31 B ．21 C ．22 D ．3

22 4．【解析】8442

=+=+=c b a ，所以离心率2

222=

a c e ，故选C ． 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为21,O O ，过直线21O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A ．π212

B ．π12

C ．π28

D ．π10

5．【解析】易得圆柱的母线长与底面圆的直径均为22，所以圆柱的表面积222

??=πS 2222?+π

π12=，故选B ．

6．设函数ax x a x x f +-+=23)1()(．若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点)0,0(处的切线方程为（）

A ．x y 2-=

B ．x y -=

C ．x y 2=

D ．x y =

6．【解析】R x ∈，ax x a x ax x a x x f x f +-++--+-=+-2323)1()1()()(2)1(2x a -=0=，则1=a ，

则x x x f +=3)(，13)(2

+='x x f ，所以1)0(='f ，在点)0,0(处的切线方程为x y =，故选D ．

7．在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （）

A ．

AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4

41+ 7．【解析】

AB 4

41)(4121)21(21)(21-=-+=+=+=

，则4

43-=，故选A ．

8．已知函数2sin cos 2)(2

+-=x x x f ，则（）

A ．)(x f 的最小正周期为π，最大值为3

B ．)(x f 的最小正周期为π，最大值为4

C ．)(x f 的最小正周期为π2，最大值为3

D ．)(x f 的最小正周期为π2，最大值为4 8．【解析】2

2cos 31cos 32)cos 1(cos 2)(2

+=+=+--=x x x x x f ，最小正周期为π，最大值为4，

故选B ．

9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）

A ．172

B ．52

C ．3

D ．2

9．【解析】将三视图还原成直观图，并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为52，故选B ．

A B

10．在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，1AC 与平面C C BB 11所成的角为

30，则该长方体的

体积为（）

A ．8

B ．26

C ．28

D ．38

10．【解析】1AC 与平面C C BB 11所成的角的平面角为 301=∠B AC ，因为2==BC AB ，所以

3260tan 1== AB B C ，则221=BB ，长方体的体积282222=??=V ，故选C ．

11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点),2(),,1(b B a A ，且3

o s =α，则=-b a （）

A ．

51 B ．55 C ．5

52 D ．1 11．【解析】321cos 22cos 2

-=αα ，65cos 2=∴α，5

1tan ,61sin 2

2==∴αα．又角α终边上有两点),2(),,1(b B a A ，则)0(2tan >==ab b a α．5

55525551422

=-=-?==∴b a b a ，故选B ．

12．已知函数???>≤=-0

,10

,2)(x x x f x ，则满足)2()1(x f x f <+的x 的取值范围是（）

A ．(]1,-∞-

B ．()+∞,0

C ．()0,1-

D ．()0,∞- 12．【解析】方法1：函数)(x f y =的图像如图所示，则)2()1(x f x f <+即??

?+<<1

2x x x ，解得0

方法2：将1-=x 代入)2()1(x f x f <+得)2()0(-

-=x 代入

)2()1(x f x f <+得)1()2

D 1

B C D

A 1

C 1 B 1

M (A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数)(log )(22a x x f +=，若1)3(=f ，则=a ． 13．【解析】71)9(log )3(2-=?=+=a a f ．

14．若y x ,满足约束条件??

??≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为．

14．【解析】可行域为ABC ?及其内部，当直线2

23z

x y +-=经过点)0,2(B 时，6max =z ．

15．直线1+=x y 与圆03222=-++y y x 交于B A ,两点，则=AB ． 15．【解析】圆03222=-++y y x 的半径为2=r ，其圆心)1,0(-到直线1+=x y 的距离为22

2==d ，

所以2222

=-=d

r AB ．

16．ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，82

22=-+a c b ，

则ABC ?的面积为．

16．【解析】由正弦定理得C B A B C C B sin sin sin 4sin sin sin sin =+，即2

sin =

A ．由根据余弦定理可得8cos 2222==-+A bc a c b ，所以0cos >A ，得23sin 1cos 2

-=A A ，3

38=bc ，则ABC ?的面积为3

22133821sin 21=

??==?A bc S ABC ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）

已知数列{}n a 满足11=a ，n n a n na )1(21+=+，设n

a b n

n =．（1）求1b ，2b ，3b ；

（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．

17．【解析】（1）11=a ，4412==∴a a ；1262323=?=a a a ．

11=∴b ，22=b ，43=b ．

（2）n n a n na )1(21+=+ ，n a

n a n n 211=+∴

+，n n b b 21=∴+，即21=+n

n b b ． ∴数列{}n b 是为等比数列，首项为1，公比为2．

（3）由（2）知12-=n n b ，又n

a b n

n =，所以12-?=n n n a ，即{}n a 的通项公式为12-?=n n n a ．

18．（12分）

如图，在平行四边形ABCM 中，3==AC AB ，

90=∠ACM ．以AC 为折痕将ACM ?折起，使点M

达到D 的位置，且DA AB ⊥．

（1）证明：平面⊥ACD 平面ABC ；

（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且DA DQ BP 3

=，求三棱锥ABP Q -的体积． 18．【解析】（1）证明：平行四边形ABCM 中

90=∠ACM ，

90=∠∴BAC ，即AC AB ⊥．

又DA AB ⊥，A DA AC =⊥，⊥∴AB 平面ACD ，

?AB 平面ABC ，∴平面⊥ACD 平面ABC ．

（2）DA DQ BP 3

= ， ∴ABC ABP S S ??=

32且点Q 到平面ABC 的距离是点D 到平面ABC 的距离的3

1． 3==AC AB 且 90=∠ACD ，

∴13332

27231929292=????=

??===?---AB S V V V ACD ACD B ABC D ABP Q ．

19．（12分）

某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3

m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

P B

C D

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353

m 的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

19．【解析】（1）使用了节水龙头50天的日用水量数据的频数分布直方图：

（2）样本中，该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353

m 的频率为0.48，估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35

m 的概率为0.48．（3）未使用节水龙头50天的日用水量的平均值约为：

频率/组距

日用水量/3m

频率/组距

日用水量/3m

48.02450

1]565.02655.0945.0435.0225.0315.0105.0[501=?=?+?+?+?+?+?+??；使用了节水龙头50天的日用水量的平均值约为：

35.05.1750

1]555.01645.01035.01325.0515.0105.0[501=?=?+?+?+?+?+??， ()45.4735.048.0365=-? ，

∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.453m 的水．

20．（12分）

设抛物线x y C 2:2=，点)0,2(A ，)0,2(-B ，过点A 的直线l 与C 交于N M ,两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABN ABM ∠=∠．

20．【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，M 为)2,2(或)2,2(-，

则直线BM 的斜率为21

或2

1-，

直线BM 的方程为)2(21+=

x y 或)2(2

+-=x y ．（2）方法1：易知直线l 的斜率不为0，

不妨设2:+=my x l 且直线BN BM ,的斜率分别为21,k k ．

由???=+=x

y my x 222得0422

=--my y ，则4,22121-==+y y m y y ，因为21k k +0)

4)(4(88)4)(4()(4244222121212122112211=+++-=++++=+++=+++=

my my m

m my my y y y my my y my y x y x y ，所以直线BN BM ,的倾斜角互补，得ABN ABM ∠=∠．方法2：设直线BN BM ,的斜率分别为21,k k ．

①当l 与x 轴垂直时，由（1）知21k k -=，即直线BN BM ,的倾斜角互补，所以ABN ABM ∠=∠； ②当l 不与x 轴垂直时，设),2(:-=x k y l ),(),,(2211y x N y x M ．

由???=-=x

y x k y 2)2(2得04)24(2

222=++-k x k x k ，则0≠k 且4,24212

221=+=+x x k k x x ．因为21k k +0)

2)(2()

82(2)2(2)2(22212122112211=++-=+-++-=+++=

x x x x k x x k x x k x y x y ，所以直线BN BM ,的倾斜角互补，得ABN ABM ∠=∠．综合①②所述，得ABN ABM ∠=∠．

21．（12分）

已知函数1ln )(--=x ae x f x ．

（1）设2=x 是)(x f 的极值点，求a ，并求)(x f 的单调区间；（2）证明：当e

a 1

≥

时，0)(≥x f ． 21．【解析】（1）)0(1

)(>-

='x x ae x f x

，2221021)2(e

a ae f =?=-='∴，又221e a =时，

e e x

f x 1

21)(2-='．由x e e y 221=

与x

y 1=的图像只有一个交点)21

,2(可知0)(='x f 在),0(+∞内只有一个解2=x ， )2,0(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；),2(+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数，

即2=x 是)(x f 的极小值点，则221

a =

，)(x f 的减区间为)2,0(，)(x f 的增区间为),2(+∞．（2）方法1：证明：当e

a 1≥

时，1

-≥x x e ae ．令1ln )(1--=-x e x g x ，则x

e x g x 1)(1

='-，令x e

x g x h x 1)()(1

='=-，则01)(21

>+='-x

e x h x ，)(x g y '=为),0(+∞上的增函数．又01)1()1(0=-='=e g h ，

所以)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数，则010)1()(0

min =--==e g x g ，即01ln 1

≥---x e x ．

故当e

a 1≥

时，≥--=1ln )(x ae x f x 01ln 1

≥---x e x ，得证．方法2：证明：当e

a 1≥时，1

-≥x x e ae ．令x e

x g x -=-1

)(，则1)(1-='-x e x g ，

)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数，

则01)1()(0

min =-==e g x g ，即x e

x ≥-1

．又令1ln )(--=x x x h ，则x

x x x h 111)(-=-

='， )1,0(∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 为增函数，

则0101)1()(min =--==h x h ，即1ln +≥x x ．

综上所述，当e

a 1≥

时，1ln +≥x ae x

，即0)(≥x f ．方法3：证明：令x

e x x g 1ln )(+=，)0(1

ln 1)1(ln )(2>+-=+-=

'x e x x e x e x e x g x x x x ，令1ln 1)(+-=

x x x h ，则22111)(x

x x x h +-=--='，当0>x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数．

又0101)1(=--=h ，则)1,0(∈x 时，0)(>x h ；),1(+∞∈x 时，0)(

即当)1,0(∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数，所以e

x g 1

)(max =．又e

a 1

≥

，即max )(x g a ≥，所以)(x g a ≥恒成立，即0)(1ln 1ln ≥?+≥?+≥x f x ae e

x a x

，得证．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2||+=x k y ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为机轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22

=-+θρρ．

（1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 22．【解析】（1）θρθρsin ,cos ==y x ，

所以2C 的直角坐标方程为0322

=-++x y x ；（2）曲线1C ：??

?<+-≥+=0

,20

,2x kx x kx y ，其图像是关于y 轴对称且以)2,0(为端点的两条射线．

2C ：4)1(22=++y x ，其图像是以)0,1(-为圆心，半径为2的圆．

若1C 与2C 有且仅有三个公共点，

则0

2=++-k k 且0

||34

+-=x y

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知11)(--+=ax x x f ．

（1）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；

（2）若)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，求a 的取值范围． 23．【解析】（1）当1=a 时，11)(--+=x x x f ，则

1-≤x 时，2)(-=x f ，则1)(>x f 无解；

11<<-x 时，x x f 2)(=，则1)(>x f 的解集为)1,21

(；

1≥x 时，2)(=x f ，则1)(>x f 的解集为),1[+∞．

综上所述，所求解集为),2

1(+∞．

（2）)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，即x ax x >--+11，则11<-ax 成立．所以x

a ax 20111<

),2(2

+∞∈x

，所以20≤