江苏南京市2012届高三第二次模拟考试试题及详解答案
南京市2012年届高三第二次模拟考试
数学试卷解析 2012.3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值
范围是 。
解析：B B A = 可知道B A ?，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞ 11.已知
i b i
i a -=+3，其中R b a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。
解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为4
12.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则
A ，
B 两人中至少有1人被录用的概率是 。
解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为
6
5
4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批
该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下
1=X 的件数为 。解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。
5、已知变量y x ,满足约束条件??
?
??≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是
解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]
6、已知双曲线
12
2
2=-y a
x
的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e
解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得
5.1,2=
==c b a ，所以结果为
52
7、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82
=的焦点，
则圆C 的方程为 。
解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82
=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0
法2。可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点，先求出圆心。并求出半径，再求。 8、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和。若3
17
3=S S ，则
=7
6S S 。
解析：由,
7,34723a S a S ==3
17
3=S S 可得
d a d a d a d a a a 9,8.7)2(779432242===?+==，
从而
d a S d a a S 637,173)(347436==?=+=，故结果为
21
17
9、已知函数)sin(?ω+=x A y )2
||,0,0(π
?ω<
>>A 的部分图象如图所示，则ω的值为
。
解析：由图像可知A=2，ω
=3
10、在如图所示的流程图中，若输入n的值为11，则输出A的值
为。
解析：经计算A值是以
3
1
,3
,2-为循环的，注意，当i =11时仍循环，
12的时候出来，所以有12个A值，结果为
1
3
11、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然
后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图
所示的正四棱锥形容器。当cm
x6
=时，该容器的容积为3
cm。
解析：由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6为边长的正方形，侧高为5，高为
4，所以所求容积为48
12、下列四个命题
①“,R
x∈
?1
1
2≤
+
-x
x”的否定；
②“若,0
6
2≥
-
+x
x则2
>
x”的否命题；
③在ABC
?中，“”是
30
>
A“
2
1
sin>
A”的充分不必要条件；
④“函数)
tan(
)
(?
+
=x
x
f为奇函数”的充要条件是“)
(z
k
k∈
=π
?”。
其中真命题的序号是。（把真命题的序号都填上）
解析：“,R
x∈
?1
1
2≤
+
-x
x”的否定；即,R
x∈
?1
1
2
+
-x
x，是真命题；
“若,0
6
2≥
-
+x
x则2
>
x”的否命题；即,0
6
2
-
+x
x2
x，也是真倒是，其余两个是假命题很显然
13、在面积为2的ABC
?中，F
E,分别是AC
AB,的中点，点P
2
BC
PB
PC+
?的最小值是。
解析：
如图所示，没c
BC
b
PC
a
BP
BPC=
=
=
=
∠,
,
,
θ
由2
=
?ABC
S，得1
=
?PBC
S，即
θ
θ
sin
2
2
sin=
?
=ab
ab
再用余弦定理得θ
cos
2
2
2
2ab
b
a
c-
+
=，所以
2
BC
PB
PC+
?
=)
sin
cos
2
(2
cos
2
cos
2
2
θ
θ
θ
θ
-
=
-
≥
-
+ab
ab
ab
b
a，令)
sin
cos
2
(2
)
(
θ
θ
θ
-
=
f，求导以后可
C
以知道当2
1cos =
θ时，有最小值23
14、已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为 。
解析：先将方程化为a a x a
x 2321)2(log 2
2
2
2-+
-
=+，由题意知有唯一解，即为“=”两边的
函数图像只有一个交点。画图可知道当123,02
=->a
a a 时，
，图像只有一个交点。解得a =1 二、解答题
15．（本小题满分14分）
设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角． （1）若a ·b ＝
13
6
，求sin θ＋cos θ的值； （2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π
3)的值．
解：（1） 因为a ·b ＝2＋sin θcos θ＝
136，所以sin θcos θ＝1
6
． ……………… 2分 所以 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2 sin θcos θ＝4
3
．
又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝
23
3
． ……………… 5分 （2） 解法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 7分
所以 sin2θ＝2 sin θcos θ＝ 2 sin θcos θ sin 2θ＋cos 2θ＝ 2 tan θ tan 2θ＋1＝4
5
，
cos2θ＝cos 2
θ－sin 2
θ＝cos 2θ－sin 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ tan 2θ＋1
＝－3
5．……………… 11分
所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋3
2
cos2θ
＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310
． ……………… 14分 解法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 7分 所以 sin θ＝
255，cos θ＝5
5
． 因此 sin2θ＝2 sin θcos θ＝45， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－3
5． ……………… 11分
所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋3
2
cos2θ
＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310
． ……………… 14分 16．（本小题满分14分）
如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC ．
(第17题图）
（1）求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2）点F 在BE 上．若DE //平面ACF ，求
BF
BE
的值 解：（1）证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC ．
因为平面ABCD ⊥平面BCE ，
平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ?平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE ． ……………… 3分 因为CE ?平面BCE ，所以CE ⊥AB ．
因为CE ⊥BE ，AB ?平面ABE ，BE ?平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，
所以CE ⊥平面ABE ． ………………………… 6分 因为CE ?平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE ． ………………………… 8分 （2）连结BD 交AC 于点O ，连结OF ．
因为DE ∥平面ACF ，DE ?平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，
所以DE //OF ． ………………………… 12分 又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，
所以F 为BE 中点，即BM BF ＝1
2． ……… 14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上． 解：（1）由题意知b ＝
2
2
＝2． ………………………… 3分
因为离心率e ＝c a ＝32，所以b
a ＝
1－(c a )2＝1
2
．
所以a ＝22．
所以椭圆C 的方程为x 2
8＋y
2
2＝1． ………………………… 6分
（2）证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则
直线PM 的方程为y ＝y 0－1
x 0
x ＋1， ①
A B
C
D
E
F
(第16题图）
A
B
C
D
E
F
(第16题图）
O
(第18题图）
C
A
B
D
l
直线QN 的方程为y ＝y 0－2
－x 0x ＋2． ② ………………………… 8分
证法一 联立①②解得x ＝
x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T (x 02y 0－3，3y 0－4
2y 0－3
)．……… 11分 由x 028＋y 02
2
＝1可得x 02＝8－4y 02． 因为18(x 02y 0－3)2＋12(3y 0－42y 0－3)2＝x 02
＋4(3y 0－4)2
8(2y 0－3)2
＝8－4y 02＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 02－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)2
8(2y 0－3)2
＝1，
所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．………………… 14分 证法二 设T (x ，y )．
联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －4
2y －3． ……………………… 11分
因为x 028＋y 022＝1，所以18(x 2y －3)2＋12(3y －42y －3
2
＝1．
整理得x 28(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2
－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1．
所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．………………… 14分 18．（本小题满分16分）
某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC ．
（1）设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范
围；
（2）求四边形ABCD 面积的最大值．
解：（1）在△ABD 中，由余弦定理得
BD 2＝AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A ．
同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C ． ………………… 3分 因为∠A 和∠C 互补，
所以AB 2
+AD 2
－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2
+CD 2
－2CB ·CD ·cos C
＝CB 2
+CD 2
＋2CB ·CD ·cos A ． ………… 5分 即 x 2+(9－x )2－2 x (9－x ) cos A ＝x 2+(5－x )2＋2 x (5－x ) cos A ．
解得 cos A ＝2x ，即f ( x )＝2
x ．其中x ∈(2，5)． ……………………… 8分
（2）四边形ABCD 的面积
S ＝12(AB ·AD + CB ·CD )sin A ＝1
2[x (5－x )+x (9－x )]1－cos 2A ． ＝x (7－x )
1－(2x
)2＝(x 2－4)(7－x )2＝(x 2－4)( x 2
－14x ＋49)．………… 11分
记g (x )＝(x 2
－4)( x 2
－14x ＋49)，x ∈(2，5)．
由g ′(x )＝2x ( x 2－14x ＋49)＋(x 2－4)( 2 x －14)＝2(x －7)(2 x 2－7 x －4)＝0， 解得x ＝4(x ＝7和x ＝－1
2舍)． ……………………… 14分
所以函数g (x )在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减． 因此g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108． 所以S 的最大值为108＝63．
答：所求四边形ABCD 面积的最大值为63m 2
． ……………………… 16分 19．（本小题满分16分）
函数f (x )＝∣e x －bx ∣，其中e 为自然对数的底． （1）当b ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）若函数y ＝f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；
（3）当b ＞0时，判断函数y ＝f (x )在区间(0，2)上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b 的取值范围．
解：（1）记g (x )＝e x －bx ．当b ＝1时，g '(x )＝e x －1．
当x ＞0时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又g (0)＝1＞0，所以当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＞0．
所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝∣g (x )∣＝g (x )，所以f '(1)＝g '(1)＝e －1． 所以曲线y ＝f (x )在点(1，e －1)处的切线方程为：
y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，
即y ＝(e －1)x ． ……………… 4分 （没有说明“在x ＝1附近，f (x )＝e x －bx ”的扣1分)
（2）解法一 f (x )＝0同解于g (x )＝0，因此，只需g (x )＝0有且只有一个解．
即方程e x －bx ＝0有且只有一个解．
因为x ＝0不满足方程，所以方程同解于b ＝e
x x
． ………………………… 6分
令h (x )＝e x
x ，由h '(x )＝(x －1)e
x
x
2
＝0得x ＝1． 当x ∈(1，＋∞)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增，h (x )∈(e ，＋∞)； 当x ∈(0，1)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减，h (x )∈(e ，＋∞)；
所以当x ∈(0，＋∞)时，方程b ＝e x
x 有且只有一解等价于b ＝e ．………… 8分
当x ∈(－∞，0)时，h (x )单调递减，且h (x )∈(－∞，0)， 从而方程b ＝e x
x
有且只有一解等价于b ∈(－∞，0)．
综上所述，b 的取值范围为(－∞，0)∪{e}． …………………………… 10分 解法二 f (x )＝0同解于g (x )＝0，因此，只需g (x )＝0有且只有一个解．
即方程e x －bx ＝0有且只有一个解，即e x
＝bx 有且只有一解．
也即曲线y ＝e x 与直线y ＝bx 有且只有一个公共点． …………………… 6分 如图1，当b ＜0时，直线y ＝bx 与y ＝e x 总是有且只有一个公共点，满足要求．
………………………… 8分
如图2，当b ≥0时，直线y ＝bx 与y ＝e x 有且只有一个公共点， 当且仅当直线y ＝bx 与曲线y ＝e x 相切．
设切点为(x 0，e x 0
)，根据曲线y ＝e x 在x ＝x 0处的切线方程为：
y －e x 0
＝e x 0
(x －x 0)．
把原点(0，0)代入得x 0＝1，所以b ＝e x 0＝e ．
综上所述，b 的取值范围为(－∞，0)∪{e}． ………………………… 10分
（3）由g '(x )＝e x －b ＝0，得x ＝ln b ．
当x ∈(－∞，ln b )时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． 当x ∈(ln b ，＋∞)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增．
所以在x ＝ln b 时，g (x )取极小值g (ln b )＝b －b ln b ＝b (1－ln b )．
①当0＜b ≤e 时， g (ln b )＝b －b ln b ＝b (1－ln b )≥0，从而当x ∈R 时，g (x )≥0． 所以f (x )＝∣g (x )∣＝g (x )在(－∞，＋∞)上无极大值．
因此，在x ∈(0，2)上也无极大值． …………………………… 12分
x
x
②当b ＞e 时，g (ln b )＜0．
因为g (0)＝1＞0，g (2ln b )＝b 2－2b ln b ＝b (b －2ln b )＞0，
（令k (x )＝x －2ln x ．由k '(x )＝1－2
x ＝0得x ＝2，从而当x ∈(2，＋∞)时，k (x )单调递增，
又k (e)＝e －2＞0，所以当b ＞e 时，b －2ln b ＞0．）
所以存在x 1∈(0，ln b )，x 2∈(ln b ，2ln b )，使得g (x 1)＝g (x 2)＝0．
此时f (x )＝∣g (x )∣＝???g (x )，x ≤x 1或x ≥x 2，－g (x )，x 1＜x ＜x 2．
所以f (x )在(－∞，x 1)单调递减，在(x 1，ln b )上单调递增，在(ln b ，x 2)单调递减， 在(x 2，＋∞)上单调递增． ……………………………… 14分 所以在x ＝ln b 时，f (x )有极大值．
因为x ∈(0，2)．所以，当ln b ＜2，即e ＜b ＜e 2时，f (x )在(0，2)上有极大值； 当ln b ≥2，即b ≥e 2 时，f (x )在(0，2)上不存在极大值． 综上所述，在区间(0，2)上，
当0＜b ≤e 或b ≥e 2
时，函数y ＝f (x )不存在极大值；
当e ＜b ＜e 2
时，函数y ＝f (x )，在x ＝ln b 时取极大值f (ln b )＝b (ln b －1)．… 16分 20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }满足：a 1＋a 2λ＋ a 3λ2＋…＋a n
λn －1＝n 2＋2n （其中常数λ＞0，n ∈N *）．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列？若存在，给出r ，s ，t 满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S n 为数列{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *，都有(1－λ)S n ＋λa n ≥2λn 恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）当n ＝1时，a 1＝3．
当n ≥2时，由a 1＋a 2λ＋a 3λ2＋…＋a n
λ
n －1＝n 2＋2n ， ①
得a 1＋a 2λ＋ a 3λ2＋…＋a n －1λ
n －2＝(n －1)2
＋2(n －1)． ②
①－②得：
a n λ
n －1＝2n ＋1，所以a n ＝(2n ＋1)·λ
n －1
，（n ≥2）． 因为a 1＝3，所以a n ＝(2n ＋1)·λn －1
(n ∈N *
)． ………………………… 4分
（2）当λ＝4时，a n ＝(2n ＋1)·4n －1．
若存在a r ，a s ，a t 成等比数列，则
[(2r ＋1)
·4
r －1
] [(2t ＋1)
·4
t －1
]＝(2s ＋1)
2
·42s －2．
整理得(2r ＋1) (2t ＋1) 4 r ＋t －2s ＝(2s ＋1)2． ………………………… 6分 由奇偶性知r ＋t －2s ＝0．
所以(2r ＋1) (2t ＋1)＝(r ＋t ＋1)2
，即(r －t )2
＝0．
这与r ≠t 矛盾，故不存在这样的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列．… 8分 （3）S n ＝3＋5λ＋7λ2
＋…＋(2n ＋1)λ
n －1．
当λ＝1时，S n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ． 当λ≠1时，S n ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)λn －1，
λS n ＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n －1)λn －1＋(2n ＋1)λn ．
(1－λ)S n ＝3＋2(λ＋λ2
＋λ3
＋＋…＋λ
n －1
)－(2n ＋1)λn
＝3＋2×λ(1－λn －1) 1－λ
－(2n ＋1)λn
． ……………………… 10分
要对任意n ∈N *
，都有(1－λ)S n ＋λa n ≥2λn
恒成立，
①当λ＝1时，左＝(1－λ)S n ＋λa n ＝a n ＝2n ＋1≥2，结论显然成立； ②当λ≠1时，左＝(1－λ)S n ＋λa n ＝3＋2×λ(1－λn －1
) 1－λ
－(2n ＋1)λn
＋λa n
＝3＋2×λ(1－λn －1) 1－λ＝3－λ1－λ－2λn
1－λ
．
因此，对任意n ∈N *
，都有3－λ1－λ≥4－2λ1－λ·λn 恒成立．
当0＜λ＜1时，只要3－λ
4－2λ
≥λn 对任意n ∈N *恒成立． 只要有
3－λ4－2λ
≥λ即可，解得λ≤1或λ≥3
2．
因此，当0＜λ＜1时，结论成立． ……… 14分 当λ≥2时，3－λ1－λ≥4－2λ1－λ·λn 显然不可能对任意n ∈N *
恒成立．
当1＜λ＜2时，只要3－λ
4－2λ
≤λn 对任意n ∈N *恒成立． 只要有
3－λ4－2λ
≤λ即可，解得1≤λ≤3
2．
因此当1＜λ≤3
2
时，结论成立．
综上可得，实数λ的取值范围为(0，3
2]． ………………………… 16分
21．A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点G ．求证：DH ＝DG ．
B ．选修4—2：矩阵与变换
设矩阵M ＝????
?
?1 24 3．
（1）求矩阵M 的逆矩阵M －1； （2）求矩阵M 的特征值．
(第21A 题图）
21．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结BG ．
如图，因为AD 是△ABC 的高，
所以∠CAD ＋∠ACB ＝π
2． ……………… 2分
同理∠HBD ＋∠ACB ＝π
2
所以∠CAD ＝∠HBD ． ……………… 4分
又因为∠CAD ＝∠CBG ，所以∠HBD ＝∠CBG ． ……………… 6分 又因为∠BDH ＝∠BDG ＝90°，BD ＝BD ，
所以△BDH ≌△BDG ．所以DH ＝DG ． ………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换
解：（1）矩阵A ＝
???
?a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为A －1
＝????
??d ad －
bc
－b ad －bc
－c ad －bc
a
ad －bc ． 所以矩阵M 的逆矩阵M
－1
＝????
??－35 25
45 －15． ………………… 5分．
（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝
???
?λ－1－4 －2λ－3＝λ2－4λ－5． 令f (λ)＝0，得到M 的特征值为－1或5． …………………… 10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，判断曲线C ：???x ＝2cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数）与直线l ：??
?x ＝1＋2t ，y ＝1－t
(t
为参数)是否有公共点，并证明你的结论．
解法一：直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0． ……………… 3分
曲线C 的普通方程为2
2
44x y +=． …………………… 3分 由方程组22
23044
x y x y +-=??+=?得2
81250y y -+= 因为160?=-<无解，所以曲线C 与直线l 没有公共点． …………… 4分 （注：160?=-<计算出错，但位置关系正确，得2分）
(第21A 题图）
解法二：直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0． ……………………… 3分
把曲线C 的参数方程代入l 的方程x ＋2y －3＝0，
得2cos θ＋2sin θ－3＝0，即2sin(θ＋π4)＝3
2． …………………… 3分
因为2sin(θ＋π
4)∈[－2，2]，而32
∈∕[－2，2]，
所以方程2sin(θ＋π4＝3
2无解．即曲线C 与直线l 没有公共点．…………… 4分
（或2sin(θ＋π4)＝3
2
>
sin(θ＋π
4
)1>无解．即曲线C 与直线l 没有公共点． 4分）
21D ．选修4—5：不等式选讲
已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：12a ＋1＋42b ＋1≥9
4
．
证法一：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，
所以 (12a ＋1＋4
2b ＋1
)[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]
＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4(2a ＋1)
2b ＋1
…………………… 5分 ≥5＋2
2b ＋12a ＋1×4(2a ＋1)
2b ＋1
＝9． …………………… 3分 而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥9
4 ． …………………… 2分
证法二：因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得
(12a ＋1＋42b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋1)] …………………… 5分 ≥(
1
2a ＋1
2a ＋1 ＋
4
2b ＋1
2b ＋1 )2
＝(1＋2)2＝9． …………………… 3分
由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4， 所以
12a ＋1＋42b ＋1≥9
4
． …………………… 2分 证法三：设21,21a x b y +=+=，则1,1,x y >>且21214x y a b +=+++=…… 2分
只需证明1494
x
y
+≥即可．…………… 2分
因为14(
)()x y x
y
+
+ 4559y x x
y
=+
+
≥+=． ………… 2分
且4x y +=，所以
1494
x
y
+
≥
．
故
12a ＋1＋42b ＋1≥9
4
……………… 2分 22．甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分．假设甲班三名同学答对的概率都是23，乙班三名同学答对的概率分别是23 ，23 ，1
2 ，且
这六个同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望；
（2）记“两班得分之和是30分”为事件A ，“甲班得分大于乙班得分”为事件B ，求事件A ，B 同时发生的概率．
解：（1）随机变量X 的可能取值是0，10，20，30，且
P (X ＝0)＝C 03 (1－23 )3＝127 ， P (X ＝10)＝C 13 2
3 (1－23 )2＝29 ，
P (X ＝20)＝C 23 (23 )2(1－23 )＝49 ， P (X ＝30)＝C 33 (23 )3
＝827 ．
所以，X 的概率分布为
………………………… 3分
随机变量X 的数学期望E (X )＝0×127 ＋10×29 ＋20×49 ＋30×8
27 ＝20．……… 5分
（2）甲班得20分，且乙班得10分的概率是：
C 23 (23)2(1－23)×[23×(1－23)×(1－12)＋(1－23)×23×(1－12)＋(1－23)×(1－23)×12]＝10
3
4； 甲班得30分，且乙得班0分的概率是：
C 33(23)3× (1－23)×(1－23)×(1－12)＝4
35
． 所以事件A ，B 同时发生的概率为1034＋435＝34
243． …………………… 10分
23．记(1＋x 2)(1＋x 22)…(1＋x
2
n )的展开式中，x 的系数为a n ，x 2的系数为b n ，其中 n ∈N *．
（1) 求a n ；
（2）是否存在常数p ，q (p ＜q ) ，使b n ＝13＋p 2n )(1＋q
2n 对n ∈N *，n ≥2恒成立？证明你
的结论．
解：（1） 根据多项式乘法运算法则，得
a n ＝12＋122+…＋12n ＝1－12
n ．
………………………… 3分
（2）解法一 计算得b 2＝18，b 3＝7
32
．
代入b n ＝13(1＋p 2n )(1＋q
2n )，解得p ＝－2，q ＝－1． ……………………… 6分
下面用数学归纳法证明b n ＝13(1－12n -1)(1－12n )＝13－12n ＋23×1
4n (n ≥2)：
①当n ＝2时，b 2＝1
8
②设n ＝k 时成立，即b k ＝13－12k ＋23×1
4k ．
则当n ＝k ＋1时， b k +1＝b k ＋
a k 2k +1＝13－12k ＋23×14k ＋12k +1－12
2k+1 ＝13－12k +1＋23×14
k +1． 由①②可得结论成立． ………………………… 10分 解法二 根据多项式乘法运算法则，得
b n +1=b n +
a n
2
n +1． ……………………… 6分
所以b n －b n －1＝
a n －12n ＝12n －122n －1＝12n －2
4
n (n ≥3)． 所以b n ＝123+124+……+12n －2(143+144+……+1
4
n )+b 2
＝13－12n ＋23×1
4
n (n ≥3) ． 又b 2＝18也满足上式．所以b n ＝13－12n ＋23×14n ＝13(1－12n -1) (1－1
2n ) (n ≥2)．
所以存在p ＝－2，q ＝－1符合题意． ………………………… 10分 解法三 根据多项式乘法运算法则，得 b n ＝12[(12＋122＋…＋12n )2－(122＋124＋…＋1
4
n )] ………………………… 7分
＝12[(1－12n 2－14(1－1
4n )
1－14
]＝13－12n ＋23×14n ＝13(1－12n -1)(1－12
n )． 所以存在p ＝－2，q ＝－1符合题意． ………………………… 10分
江苏专用2020版高考数学专题复习专题9平面解析几何第60练直线与圆综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第60 练 直线与圆综合练练习 理 ________________． 2．已知圆x 2＋y 2 －2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为________． 3．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是________． 4．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆C 位于y 轴的右侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆C 的标准方程为________． 5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________． 6．过点P (12 ，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________________． 7．若圆x 2＋y 2 －4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是______________． 8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________． 9．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________． 10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切． (1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程； (2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．
江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题
徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合A B 中元素的个数为 ▲ ． 2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为 ▲ ． 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素， 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ ． 6．若函数4()2x x a f x x -=?为奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 7．不等式2 2 21x x --<的解集为 ▲ ． 8．若双曲线22 2142 x y a a - =-的离心率为3，则实数a 的值为 ▲ ． 9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13579+10a a a a a +++=，2282=36a a -，则10S 的值为 ▲ ． 10．函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的图象如图所示，则(1)(2)(2018)f f f ++ + 的值为 ▲ ． 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 S ←0 For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S （第4题）
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09(解析版)
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09 数学试题I 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上． 1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________． 答案：[1，2) 解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)． 2. 已知????1＋2 i 2 ＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：－7 解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2 i )2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2 m ＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________． 答案：16 解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16. 4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________． (第4题) 答案：32 解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32. 5. “φ＝π 2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件． 答案：充分不必要
解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π 2， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________． 答案：39 解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×6 2＝39. 7. 函数y ＝ 1 lnx (x≥e)的值域是________． 答案：(0，1] 解析：y ＝ 1 lnx 为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________． 答案：6 解析：由题知流程图执行如下： 第1次 ?????n ＝2，S ＝1，第2次 ?????n ＝3，S ＝3，第3次 ?????n ＝4，S ＝7，第4次 ?????n ＝5，S ＝15， 第5次 ? ????n ＝6， S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题) 9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，则“a b 是整数”的概率为____________． 答案：13 解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．
2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点6：解析几何
2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011.1 3、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲ 答案：0
【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦：解析几何(2)
解析几何题 1、已知曲线2 2 :1y C x a +=，直线:0l kx y k --=，O 为坐标原点． （1 ,求该的曲线C 的方程； （2）当1a =-时，直线l 与曲线C 相交于两点,M N ，试问在曲线C 上是否存在点Q 使得 OM ON OQ λ+= ？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由； 答案: (1)、若焦点在x 轴上，22:41C x y +=；若焦点在y 轴上，2 2 :12y C x +=； （2）、由题：直线l 与曲线C 都恒过定点(1,0)，(1,0)M ； 222222(1)(1)2101y k x k x k x k x y =-??--++=?-=?，可得22212,11k k x y k k +==--， 假设存在满足条件的Q ，1N Q N Q x x OM ON OQ y y λλλ+=?+=??=? ,代入曲线C 可得2221 ()1Q Q x y λ-=?2 λ=2222222()()11k k k k ---=222444411k k k =+>--, 所以:22λλ<->或满足条件. 2、已知双曲线c ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双 (1)求双曲线的方程. (2)若有两个半径相同的圆12,c c ，它们的圆心都在x 轴上方且分别在双曲线c 的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为1-的直线l 与圆12,c c 都相切，求两圆12,c c 圆心连线斜率的范围. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点为(1,0)，由已知得1c = ，所以由c e a == ，得a b ==225514x y -=.
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
江苏省2020届高三第三次调研测试 1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =， ，则U A = ▲ ． 2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ． 5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ． 6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ?-=?---的解集为 ▲ ． 7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b -=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4 ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在 的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在() 2 ππ，上交点的横坐标为α， 则sin 2α的值为 ▲ ． 11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ． 12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则 离墙 ▲ m 时，视角θ最大． 13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1 g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()() f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ． （第3 题） F （第11题） A （第12题）
2020年江苏省高考数学模拟试卷及答案
2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ． 5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教 （每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128 1 --= x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ， 在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-， 则2 2 4a b +的最小值为 ． （第3题）
江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义
专题三 解析几何 [江苏卷5年考情分析] 第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题 [题组练透] 1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1 k PQ ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)， 所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0 2．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为____________． 解析：设圆心为(a ，b )， 则??? b －3a ·33＝－1， a －2 ＋()b －32 ＝a 2 ＋ b －3 2 ， 解得a ＝1，b ＝0，r ＝2. 即所求圆的方程为(x －1)2 ＋y 2 ＝4. 答案：(x －1)2 ＋y 2 ＝4 3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中， 若动圆C 上的点都在不等式组??? x ≤3， x － 3y ＋3≥0x ＋ 3y ＋3≥0 ，表示的平面区域内，则面积最大的圆 C 的标准方程为____________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C (3－r,0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3 ＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2 ＋y 2＝4. 答案：(x －1)2 ＋y 2 ＝4 [方法技巧] 1．求直线方程的两种方法 [典例感悟] [典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2 ＋y 2 ＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． (2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2 ＋y 2 ＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为 M ，则线段AM 长的最大值为________． [解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 2 1＝r 2 －? ?? ? ? AB 22 ，d 22＝r 2 －? ????CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以? ?? ??AB 22＝r 2－d 21＝16 －132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝1 2 ×38×38＝19.
20102018江苏高考解析几何汇编(文)
2010-2018江苏高考解析几何汇编(文)
2010~2018年高考解析几何汇编 1、考纲要求：直线的斜率和倾斜角B直线方程C直线的平行与垂直关系B两直线的交点B两点间的距离、点到直线的距离B圆的标准方程与一般方程 C 直线与圆、圆与圆的位置关系B椭圆标准方程与性质B双曲线标准方程与性质 A 抛物线的标准方程与性质 A 2、高考解读：通常是两小一大，填空题一方面考查直线与圆的位置关系，另一 方面考查圆锥曲线的概念与几何性质，解答题主要是直线与圆、直线与圆锥曲 线的综合题，个别考题是基础题，多数考题是中档题，特别是解答题主要考查 学生的运算能力和学生的观察、推理以及创造性地综合分析、解决问题的能力， 有可能出现难题。 一、直线与圆的位置关系 ★★9．（5分）（2010?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．★★★14．（5分）（2011?江苏）设集合 ，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠？，则实数m的取值范围是． ★★★12．（5分）（2012?江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是． ★★9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． ★★10．（5分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈Ｒ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方 程为． ★★13．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是． ★★★12．（5分）（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x
江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题
南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸． 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________． 2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________． 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________． 6．若实数x ，y 满足?????x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则y x 的取值范围为▲________． 7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）． S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S (第3题图) (第4题图)
江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.3大题考法_椭圆讲义含解析201905231172
第三讲 大题考法——椭圆 题型(一) 直线与椭圆的位置关系 主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方 程、直线方程的求法. [典例感悟] [例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 2 ，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ， C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． [解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2 c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意． 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2 )x 2 －4k 2 x ＋2(k 2 －1)＝0， 则x 1,2＝2k 2 ±21＋k 2 1＋2k 2 ， C 的坐标为? ?? ? ?2k 2 1＋2k 2，－k 1＋2k 2， 且AB ＝x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 ＝ 1＋k 2 x 2－x 1 2 ＝221＋k 2 1＋2k 2 . 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2 ＝－1k ? ?? ??x －2k 2 1＋2k 2，
则P 点的坐标为? ?? ??－2，5k 2 ＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝ 2 3k 2＋11＋k 2 |k |1＋2k 2 . 因为PC ＝2AB ， 所以 23k 2 ＋1 1＋k 2 |k |1＋2k 2＝421＋k 2 1＋2k 2 ， 解得k ＝±1. 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. [方法技巧] 解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点 (1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等． (2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理． [演练冲关] 1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已 知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2 ，两条准线之间的距离为4 2. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2 ＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且 △AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程． 解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2 c ＝42， 解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1，所以A (－2,0)． 设M (x 0，y 0)(－2 2020届高三模拟考试试卷(五) 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 2020．1 参考公式： 锥体的体积公式V ＝1 3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝ 1 n (x i －x －)2，其中x －＝ 1n x i . 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． (第3题) 1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________． 2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________． 3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________． 4. 函数y ＝2x －1的定义域是________． 5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________． 6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________． 7. 已知函数f(x)＝???1 x －1，x ≤0， －x 23 ，x ＞0， 则f(f(8))＝________． 8. 函数y ＝3sin(2x ＋π 3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________． 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________． 10. 已知cos （π 2 －α） cos α ＝2，则tan 2α＝________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________． 12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________． 14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD → － AB → |恒成立，则cos ∠ABC ＝________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33 . (1) 若A ＝π 3 ，求sin C 的值； (2) 若b ＝2，求c 的值． 16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证： (1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM. 江苏省2020届高考数学模拟试题（一） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束 后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 参考公式： 样本数据12,,,n x x x …的方差()22 11n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．． ．) 1．已知i 为虚数单位，复数11i z =+，则z ＝_______． 2．已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x =>，则A B =______. 3．函数( )f x =________． 4．若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是______. 5．某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________. 6．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______. 7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2 213 x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为________. 8．等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1.点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为______. 10．已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4 π，π)，则sin 2α＝_______． 11．已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______． 12．如图，在ABC ?中，D 、E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ?=?，则cos ADE ∠的最小值为________. 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点0,1的距离为2， 则实数a 的取值范围是______. 2010~2018年高考解析几何汇编 1、考纲要求：直线的斜率和倾斜角B直线方程C直线的平行与垂直关系B两直线的交点B两点间的距离、点到直线的距离B圆的标准方程与一般方程C 直线与圆、圆与圆的位置关系B椭圆标准方程与性质B双曲线标准方程与性质A 抛物线的标准方程与性质A 2、高考解读：通常是两小一大，填空题一方面考查直线与圆的位置关系，另一方面考查圆锥曲线的概念与几何性质，解答题主要是直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，个别考题是基础题，多数考题是中档题，特别是解答题主要考查学生的运算能力和学生的观察、推理以及创造性地综合分析、解决问题的能力，有可能出现难题。 一、直线与圆的位置关系 ★★9．（5分）（2010?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．★★★14．（5分）（2011?江苏）设集合 ，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是． ★★★12．（5分）（2012?江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是． ★★9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． ★★10．（5分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为． ★★13．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是． ★★★12．（5分）（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x 2019年高三数学模拟试题 1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B = ． 【答案】{0,7} 2. 已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ?= ． 【答案】 3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 【答案】8 4. 阅读下列程序，输出的结果为 ． 【答案】22 5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号 盒子中各有1个球的概率为 ． 【答案】2 9 6．已知实数x ，y 满足1 32 y x x x y ≤-?? ≤??+≥? ，则y x 的取值范围是 ． 【答案】]3 2,31[- 7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =， 3AD =， 点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为 ． 【答案】4 8.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________ 14 B 答案： 3 2 9.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =， cos cos A b C c B -=，则 122 b c -的最大值是 答案：10.已知圆C 的方程为22 (1)1x y ++=，过y 轴正半轴上一点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 交 圆C 于A B 、两点，当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率k =________ 答案：1或7 11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是 11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平 面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6；④三棱锥ABC N -的体积为3 2 =-ABC N V 。其中是真命题的个数是 答案：1 12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '。当0x ≥时，不等式 ()()1 xf x f x '+>。若对x ?∈R ，不等式 ()()--x x x e f e axf ax e ax >恒成立，则正整数a 的最大值是 答案：0a e << 【解析】因为()()1xf x f x '+>，即()()10xf x f x '+->， 令()()1F x x f x =-????，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又因为()f x 是在R 上的偶函数，所以()F x 是在R 上的奇函数， 所以()F x 是在R 上的单调递增函数， 又因为()()--x x x e f e axf ax e ax >，可化为()()11x x e f e ax f ax ??->-?????? ， 即()()x F e F ax >，又因为()F x 是在R 上的单调递增函数， 所以-0x e ax >恒成立，令()-x g x e ax =，则()-x g x e a '=， 所以()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， 高三数学第二次模拟考试试题 (满分160分，考试时间120分钟) 参考公式： 圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|x(x －5)＜0}，则A∩B＝________． 2. 已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2 的模为________． 3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为________． (第3题) (第4题) 4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个． 5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________． 6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)＝x ＋ ，则f(a)的值为________． 7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π 3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的 图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________． 8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________． 9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________． 2011届高三强化班数学三轮复习教学案： 八大C 级考点强化八：解析几何综合 一、基础巩固训练 1、 当a 为任意实数时，若直线2(1)0ax y a --+=恒过定点M ，则以M 为圆心并且与 22x y +2410x y +-+=相外切的圆的方程是 . 2、若直线m 被两条平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与，则m 的倾斜角为 . 3、直线3y kx =+与圆22 (3)(2)4x y -+-=相交于M N 、两点，MN ≥k 的 取值范围是 . 4、椭圆22 192 x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则12F PF ∠的大小为 . 51by +=与圆22 1x y +=相较于,A B 两点（其中,a b 是实数），且AOB ?是 直角三角形(O 是坐标原点），则点(,)P a b 与点(0,1)之间距离的最大值为 . 6、设圆2 2 1x y +=的一条切线与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，则线段AB 长度的最小值为 . 7、抛物线2(0)x ay a =>的准线l 与y 轴交于点P ，若l 点P 以每秒12 π 弧度的速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t = 秒. 8、设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的半角距为c .已知原点到直线:l bx ay ab +=的距 离为 1 14 c +，则c 的最小值为 . 二、例题精选精讲 例1、已知点(,1)P a -（a R ∈）,过点P 作抛物线2 :C y x =的切线，切点分别为11(,)A x y 、 22(,)B x y （其中12x x <）． 2019届高三年级第二次模拟考试(十) 数学 (满分160分，考试时间120分钟) 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知集合A ＝{x|12020届江苏常州高三模拟考试试卷 数学 含答案
江苏省2020届高考数学模拟试题(一)(原卷版)
2010~2018江苏高考解析几何汇编(文)
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