CAD上的椭圆弧长、弦长的等分方法
圆周等分弦长系数表打印正式稿
圆周等分弦长系数表 弦长的计算公式为：a=kd 公式中：a-等分弦长d-圆直径k-弦长系数
90度虾米腰弯头放样展开简易计算公式 关于虾米腰弯头放样展开的方法，好多网友问到具体的放样展开方便的方法，因为1：1画图展开太麻烦了，也不够精确。我总结了一下，归纳了下面的计算表格，根据此表格，可以比较方便的展开90度多节（2~19节）弯头。圆周等分数为16等份 只能是90度的虾米腰弯头，请先按照虾米腰节数选出K值，带入到左面表格的公式中，计算出17个点的坐标，然后可在钢板上直接画出第一节展开图或放出样板。 ，我举个实际例子
比如：5节弯头（取值K=0.1989），直径219，弯曲半径300 点1 X=0*219 Y=0.1989*（300-0.5*219） 点2 X=0.196*219 Y=0.1989*（300-0.462*219） 点3 X=0.393*219 Y=0.1989*（300-0.354*219） 点9 X=1.571*219 Y=0.1989*（300+0.5*219 多节的弯头叫作“虾米腰”。 手工放样步骤：（以一节为例，其余方法相同） 1）先按实际尺寸画出弯头侧面投影。包括接缝线。 2）按线把每一个封闭线框图形分割成独立的图形。（可以裁剪，也可以单独再画。 3）取一个图样，（将中心线垂直的设置）画在另一张纸上，沿图样高度画两条上下平行的横线，并与中心线垂直，长度 正好是图样直径的圆周长。（封闭的长方形） 4）将图样垂直方向作等分，并作好标记，然后将这些等分线垂直的画到刚才画的展开的长方形内，注意展开图上的点一定要对应投影图样上的点。 5）将图样上斜线沿水平方向作等分。并平行的拉到展开的图样上，并对应相应的点。把展开样上得到的交点圆滑连接，就是展开的曲线。等分作的越密，曲线越准。 6）放出咬口的量，和板厚处理。 弯头下料必须知道弯曲半径，厚度、几节。
圆周等分系数表
圆周等分系数表 等份数量系数值等份数量系数值 1 0.00000 31 0.10117 2 1.00000 32 0.09802 3 0.86603 33 0.09506 4 0.70711 34 0.09227 5 0.58779 35 0.08964 6 0.50000 36 0.08715 7 0.43388 37 0.08480 8 0.38268 38 0.08258 9 0.34202 39 0.08047 10 0.30902 40 0.07846 11 0.28173 41 0.07655 12 0.25882 42 0.07473 13 0.23932 43 0.07299 14 0.22252 44 0.07134 15 0.20791 45 0.06976 16 0.19509 46 0.06824 17 0.18375 47 0.06679 18 0.17365 48 0.06540 19 0.16459 49 0.06407 20 0.15643 50 0.06279 21 0.149042 51 0.06156 22 0.14231 52 0.06038 23 0.13617 53 0.05924 24 0.13653 54 0.05814 25 0.12533 55 0.05709 26 0.12054 56 0.05607 27 0.11610 57 0.05509 28 0.11197 58 0.05414 29 0.10812 59 0.05322 30 0.10453 60 0.05233
61 0.05148 62 0.05065 63 0.04985 64 0.04907 65 0.04831 66 0.04758 67 0.04687 68 0.04618 69 0.04551 70 0.04486 71 0.04486 72 0.04362 73 0.04302 74 0.04244 75 0.04188 76 0.04132 77 0.04079 78 0.04027 79 0.03976 80 0.03926 示意图 《计算方法》： “圆周直径乘以需要数量的系数值，就等于其中临近两点的直线距离。” 如图示意： 例：直径фK=102mm 在фK线上均匀打8个孔，求P的距离是多少？
圆周及弧的实用精确等分
圆周及弧的实用精确等分 湖南娄底华达技校黄正洪 人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的[费马大定理的一个初等证明]的[试论作图题的重要性]一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的2n倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。 《一》：准备一个顶角为0 60、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为0 60，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。
《二》：准备一根已标记有n个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意n 边形，规定这个n边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。 《三》：将任意n边形套在等分工具锥上。 《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。 《五》：将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷因被动受力而压实了任意n边形。由圆柱开口刷的加工制作和同轴受力而变形的情形，我们能证得这个任意n边形所处的平面与工具锥底面平行。于是知这个n边形此时已型变为了一个名符其实的圆，从理论上来说，专用细线上的n个等分点已精确的等分了此圆周而产生了n段相等的孤，我们把这个型变为圆的圆叫做等分基准圆。 以上五点是圆周精确等分的理论基础，有了工具锥就有了精确等分圆周的能力。这种能力是有型的，我们可以对其进行具体操作，也是无型的，我们可以将其工作过程中的一部份进行想象操作。此法中的巧妙在于：获得了基准圆上的n个等分点以后，即可作出过这些等分点的圆锥的母线，由于所有母线都可以任意延长，故我们可以将欲等分的圆周定义为任意大。由于延长后所形成的想象棱面三角形与原锥体上的局部剖视的棱面三角形相似，于是可根据相似三角形对应边的比例而求得最终结果。说到这里，我相信您不会怀疑我们能精确等分您所给出的任意直径和任意段数的圆周了吧。我们的结论是：如果
谈五等分圆周的数学原理
谈五等分圆周的数学原理 眉山科学技术学校 陈善我 摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。 关键词：尺规作图 五等分圆周 加法定理 在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的 用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）： 1、作圆O 2、作直径MN 3、过O 作MN 的垂线AO 交圆O 于A 4、作OM 的中点P 5、以P 为圆心，PA 长为半径作圆弧交 直径ＭＮ于Ｑ 6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交 圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ 长为半径作圆弧，交圆O 于C ，D 。 7、边结ABCDE ，多边形ABCDE 是正 五边形 人们不禁要问：这种作法精确吗？是近 似作法？还是精确作法？其数学原理是什 么？ 设图O 的半径为1，根据以上作法，则 OP=12，PQ=PA=2，QO=PQ 12-=12，所以 另外，如图2圆O 的半径为1，ABCDE 为圆O 的内接正五边形，S 是AB 的中点，则 A B O ⊥，3603610AOS BOS ??∠=∠==，故边长22s i A B A S O A ?==。
如果我们能够证明sin36?= 则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。 下面我们推导sin36?= ， 因为 sin36sin1442sin 72cos724sin36cos36cos72???????===， 所以 1cos36cos 724 ??=。 由倍角公式，有()21cos362cos 3614??-= ， 即cos36?是下述三次方程 38410x x --= 的根。因式分解得 ()()2214210x x x +--= 故方程 38410x x --=有下述三个根： (( 1231110,10,10244x x x =-== ，由于cos360,? 舍去12,x x ，故方程的唯一正根是cos36?， 所以1cos364 ?=， 进而sin36?== 由于根据作法 AB = 而已证sin 36?=， 所以图1中的2sin362sin36AB AO ??==是半径为1的正五边形的一条边，
圆的等分系数表
圆的等分系数 圆的等分系数也叫等分圆周直径系数！是已知圆的直径，求圆内接正n边形边长时，所利用到的一个参数。 中文名圆的等分系数意义等分圆周直径系数公式AB=k*d目的求圆内接正ｎ边形边长目录 1 计算公式 2 数表计算 计算公式 设圆的直径为d，圆内接正n边形，等分系数为：k 则：正n边形的边长a=k*d 这里的k根据n的取值不同，有不同的对应值！ 数表计算 下面给出圆的等分系数表： 1--0.00000 2--1.00000 3--0.86603 4--0.70711 5--0.58779 6--0.50000 7--0.43388 8--0.38268 9--0.34202 10--0.30902 11--0.28173 12--0.25882 13--0.23932 14--0.22252 15--0.20791 16--0.19509 17--0.18375 18--0.17365 19--0.16459 20--0.15643 （其中前面的数字就是n的取值，后面的为取值为n的时候系数k的取值！） 下面补充下上面系数表的算法问题： 以求内接正n边形的边长为例子！依然设圆的直径为d，等分系数为k，我们来探讨下k的取值！ 每条边对应的角度为：2π/n 然后求每条边的长度，实际就是求边所在的弦的长度！选取任意一条边AB，那么连接该边两个端点AB与圆心O，得到 因此k=sin（π/n) 圆的弦长公式 知识梳理 一、直线与圆的位置关系 1．几何判定法： 设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离； (2)d ＝r ?圆与直线相切； (3)d 典型例题 例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2 ＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值． 解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利用弦长公式求解． 答案：(1)解法一：由? ?? ?? x 2 ＋y －12 ＝5 mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2 －5＝0. ∵Δ＝(－2m 2)2 －4(m 2 ＋1)(m 2 －5)＝16m 2 ＋20>0，对一切m ∈R 成立，∴直线l 与圆C 总有两个 不同交点． 解法二：由已知l ：y －1＝m (x －1)， 故直线恒过定点P (1,1)． ∵12＋(1－1)2 <5，∴P (1,1)在圆C 内． ∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)解法一：圆半径r ＝5， 圆心(0,1)到直线l 的距离为d ， d ＝ r 2－? ????|AB |22＝32 . 由点到直线的距离公式，得 |－m | m 2＋－1 2 ＝3 2 ， 解得m ＝± 3. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋k 2) ? ?????100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3. 练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2 ＋y 2 ＝25相交，截得的弦长为45，求l 的方程． 答案：解法一：设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ? ???? y －5＝k x －5x 2 ＋y 2 ＝25消去y ， 得(k 2 ＋1)x 2 ＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0. ∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2 ＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0. x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2 ＋1，x 1x 2＝25k k －2 k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)． ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 谈五等分圆周的数学原理 摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。 在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的 用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）： 1、作圆O 2、作直径MN 3、过O 作MN 的垂线AO 交圆O 于A 4、作OM 的中点P 5、以P 为圆心，PA 长为半径作圆弧交 直径ＭＮ于Ｑ 6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交 圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ 长为半径作圆弧，交圆O 于C ，D 。 7、边结ABCDE ，多边形ABCDE 是正 五边形 人们不禁要问：这种作法精确吗？是近 似作法？还是精确作法？其数学原理是什 么？ 设图O 的半径为1，根据以上作法，则 OP=12，PQ=PA=2，QO=PQ 12-=12，所以 另外，如图2圆O 的半径为1，ABCDE 为圆O 的内接正五边形，S 是AB 的中点，则 A B O ⊥，3603610AOS BOS ??∠=∠==，故边长22s i A B A S O A ?==。 如果我们能够证明sin36?= 则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。 下面我们推导sin36?= ， 因为 sin36sin1442sin 72cos724sin36cos36cos72???????===， 所以 1cos36cos 724 ??=。 由倍角公式，有()21cos362cos 3614??-= ， 即cos36?是下述三次方程 38410x x --= 的根。因式分解得 ()()2214210x x x +--= 故方程 38410x x --=有下述三个根： ()()1231 110,150,150244x x x =-=-=+，由于cos360,?舍去12,x x ，故方程的唯一正根是cos36?， 所以cos36?=， 进而sin36?== 由于根据作法 AB = 而已证sin 36?=， 所以图1中的2sin362sin36AB AO ??==是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE 是正五边形，此种作法是精确作法。 圆的等分系数也叫等分圆周直径系数！是已知圆的直径，求圆内接正N边形边长时，所利用的参数！ 计算公式：设圆的直径为d圆内接正N边形型，等分系数为k. 则：正N边形边长为a=k*d K根据N值不同取不同对应值！ 圆的等分系数： 1—0.00000 2—1.00000 3—0.86603 4—0.70711 5—0.58779 6—0.50000 7—0.43388 8—0.38268 9—0.34202 10—0.30902 11—0.28173 12—0.25882 13—0.23932 14—0.22252 15—0.20791 16—0.19509 17—0.18375 18—0.17365 19—0.16459 20—0.15643 21—0.14904 22—0.14231 23—0.13617 24—0.13053 25—0.12533 26—0.12054 27—0.11609 28—0.11196 29—0.10812 30—0.10453 31—0.10117 32—0.09802 33—0.09506 34—0.09227 35—0.08964 36—0.08716 37—0.08481 38—0.08258 39—0.08047 40—0.07846 41—0.07655 42—0.07473 43—0.07300 44—0.07134 45—0.06976 46—0.06824 47—0.06679 48—0.06540 49—0.06407 50—0.06279 例：圆的直径500mm，内接正12边形。则等分系数为0.25882 则正12边形边长a=0.25882*500=129.41 圆周的任意尺规等分 长沙市芙蓉区德政园醉心苑8-205黄正洪 这是一篇题目很大的文章，但我在这篇文章里实际要写的内容却不是很多，这是因为【任意角的尺规等分】一文已发表在国际国内有名期刊《数学学习与研究》2018第3期上，该文的问世意味着尺规作图领域又有了新的进展，在这个新进展武器的支撑下，要解决以上课题就成了非常容易的事： 一、作一个行将被n等分的已知圆，及其半径大于（或小于）已知圆的同心圆，并选定该圆周的1/6(或其它可分圆弧)作为辅助弧。 二、将此辅助弧的圆心角，按【任意角的尺规等分】中的步骤分成n等分，并标明此弧上连续两个等分点的位置。 三、分别作圆心与这两个等分点的连接线，则此两线在已知圆周上产生了两个交点，以此两交点的距离为长，在已知圆周上取6n等分点，则每隔六个点所确定的点的总成即为此圆周的n等分点。 无须证明，我们知道上述画作过程正确无误，从此以后，有关角度等分的作图天下已无难题可言。现在我要说的是，为什么这么一个做了几千年也没能做得出来的题目，而本文仅用以上几行字就解决了呢？这情形还真是叫人啼笑皆非。我的好奇心是在撰写【圆周及弧的实用精确等分】时开启的，我在这篇已发表在《数学学习与研究》2017第19期上的论文中说；“究竟有没有切实可行的手段能突破数学王国里遗留下来的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不 能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和圆弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。众所周知圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和圆弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘分里开始探索吧，精诚所至必能金石为开”。有意思的是：上述题目中的精确之说其实并不是真正意义的精确，因为它不是用尺规作图画出的结果，将精确二字放在标题中是为了吸引眼球和推介实践出真知的需要，没有想到的是这一写作过程使我的思绪从二维的平面上进入到了三维的空间里，继而我想到在二维的平面上解决不了的问题可以放到三维的空间里去进行。于是我的【整数度角的尺规作图】就应运而生，我在这篇刊登在《数学学习与研究》2017第23期上的论文中说：“有了眼前这个01的角的尺规作图，尺规作图的领域就有了新的机会，此前很多无法攻克的难题，在01角的推出之下已是不成问题。譬如：就尺规九等分圆周来说吧，我们只须将特殊角中的0 40 39角加上本文这个01的角就得到0角，由于有00 存在，这意味着尺规九等分圆周得到解决。由 940 = 360 此而知，凡与01角有关的圆周的等分都可从此范例中获得灵感”。说真的，我的灵感现在还在持续发酵，我的思绪随之而起伏波澜，我想既然【整数度角的尺规作图】问题能在三维的空间里能得到解决，那么【任意角的尺规等分】是不是也有这缘分呢？可喜的是在这同一原理下，这个课题终于也在《数学学习与研究》2018年第3期上获得了认可。而这认可的资格现在又为本文的问世立下了汗马功劳，故而我喜悦得将思绪写在了南山客的新浪博文之中，这意思是说我想将经 小专题 弦长法 什么叫弦长法？ 当带电粒子入射位置、入射速度大小确定，入射速度方向未确定时，粒子的运动时间与弦长成正相关，弦长越长，圆心角就越大，带电粒子在磁场中做圆周运动的时间就越长，因此在比较时间长短时，就可以只比较弦长的长短，这种方法称之为“弦长法”，利用这种方法结合“旋转圆法”能快速有效的解决带电粒子在磁场中运动时间的最值、偏转角的最值、磁场区域面积最小值的问题。 1、（2010年全国新课标）如图所示，在0≤x≤a 、o≤y≤2 a 范围内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～090 范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a ／2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时，求： (1)速度的大小： (2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。 2、在真空中，半径为r=3×10-2m 的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T ，方向如图3-6-5所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s 的速度从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg ，不计粒子重力，则（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa 的夹角θ表示）？最大偏转角多大？ 3、如图所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，方向垂直于圆平面（未画出）。一群相同的 带电粒子以相同速率V 0，由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场。当磁感应强度大小为B 1时，所有粒子出磁场的区域占整个圆周长的1/3；当磁感应强度大小为B 2时，这些粒子在磁场中运动时间最长的是0 23R v 。则磁感应强度B 1、B 2的比值（不计重力）是（ ） A ． B ．2 C ． D ．4圆的弦长的计算公式
谈等分圆周的数学原理
圆的等分系数
圆周的任意尺规等分
小专题 弦长法(学生版)