动点之两定点与一动点构成特殊三角形

两定点A ，B 与一定点P 构成特殊三角形时应考虑：AB=AP ，AB=BP ，AP=BP ，三种情况分类讨论，分别求出定点P 的位置和坐标。

1（上海市）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；

（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．

2．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xO y 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边

与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56

，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与

AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（江苏省）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，

动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、

2

1

t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．

① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t

② 当△P AB 为等腰三角形时，求t 的值．

4．（浙江省金华市）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴上的一个动点，

连结AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是（t ，0）． （1）当t

＝4时，求直线AB 的解析式；

（2）当t ＞0时，用含t 的代数式表示点C 的坐标及△ABC 的面积； （3）是否存在点B ，使△ABD 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B 的坐标；

若不存在，请说明理由．

5．（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）．抛物线y ＝ax

2

＋bx 过A 、C 两点．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD

向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．

① 过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？ ② 连接EQ ，在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的t 值．

6．（江西省、江西省南昌市）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折

线ADC 于点N ，连结PN ，设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

7．（贵州省黔西南州）如图，二次函数y ＝x

2

＋bx ＋c （c ≠0）的图象经过点A (－2，m )(m

F

E A D B C

图1

F

E A

D B C 图2

N P M F E A D B C 图3 M P N F E A D B C 图4(备用) F

E A D B C

图5(备用)

＜0)，与y 轴交于点B ，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），AB ∥x 轴，且AB :

OB ＝2 :

3．

（1）求m 的值；

（2）求二次函数的解析式；

（3）在线段BC 上是否存在点P ，使△POC

若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（内蒙古巴彦淖尔市）如图，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0)、B (7，0)，与y 轴交于点C ，且OC 的长为7． （1）求抛物线的表达式；

（2）若过点C 的直线y ＝kx ＋b 与抛物线相交于点E (5，m )，求直线CE 的表达式； （3）求△CBE 的面积S 的值；

（4）在抛物线上是否存在点P ，使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由． （3）探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（山东省济南市）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，DC ＝5，AB ＝24，∠B ＝45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．

（2）当MN ∥AB 时，求t 的值．

（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．

11．（广东省深圳市）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P ．

（1）连结P A ，若P A ＝PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？

C M

备用图

12．（广西崇左市）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜

靠在两坐标轴上，且点A (0，2)，点C (－1，0)，如图所示；抛物线y ＝ax

2

＋ax －2经过点B ．

（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P

13．（湖南省湘潭市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，OA

＝3，OC ＝4，P 为直线AB 上一动点，将直线OP 绕点P 逆时针方向旋转90°交直线BC 于点Q ； （1）当点P 在线段AB 上运动(不与A 、B 重合)时，求证：OA ·BQ ＝AP ·BP ；

（2）在（1）成立的条件下，设点P 的横坐标为m ，线段CQ 的长度为l ，求出l 关于m 的

函数解析式，并判断l 是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

（3）直线AB 上是否存在点P ，使△POQ 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若

不存在，请说明理由．

14．（湖南省怀化市）如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A (15，0)，B (10，12)，动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向终点C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．

（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t ＝2秒时，求梯形OFBC 的面积；

（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．

15．（湖南省冷水江市）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（0，3），B （－1，0），C （3，0），连结AB ，AC ． （1）求证：AB ⊥AC ；

（2）若⊙P 经过A ，B ，C 三点，求⊙P 的半径和圆心P 的坐标；

（3）在（2）中的⊙P 上是否存在点Q ，使以B ，O ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点Q

16．（湖北省黄冈市）如图，在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝

181x

2－9

4

x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)

（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当0＜t ＜

2

9

时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．

17（湖北省荆门市）一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线的顶点为C ，且AC ⊥BC ．

（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；

（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

18．（湖北省十堰市）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时

19．（湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥

BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段

BC向点C作匀速运

动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC 于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

（3）是否存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

（图①）（图②）

A

B C

20．（四川省德阳市）如图，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交

于点C (0，－2)，顶点为D (1，－3

8)．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若E 是抛物线上一点，且直线CE 将四边形ACDB 分成面积的两部分，求直线CE 的解析式；

（3）若直线y ＝m (－2＜

m

＜0)与线段AC ，BC 分别相交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在

点Q ，使△DNQ 为等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

21．（福建省三明市）如图，在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝－

2

1x

2

＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)、B (5，0)两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，将∠DCB 绕点C 按顺时针方向旋转，角的两边

CD 和CB 与x 轴分别交于点P 、Q ，设旋转角为α(0°＜α≤90°)． ①当α等于多少度时，△CPQ 是等腰三角形？ ②设BP ＝t ，AQ ＝s ，求s 与t 之间的函数关系式．

22．（福建省三明市初中毕业班质量检查）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(3，1)，在BC 边上选取适当的点D ，将△OCD 沿OD 翻折，点C 落在点E 处，得到△OED ． （1）若点E 在一次函数y ＝2x －1的图象上（如图1），求点D 、点E 的坐标；

（2）若点E 在抛物线y ＝ax

2

的图象上，且△EAB 是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）当线段OD 与直线EA 垂直时，在直线EA 上是否存在点P ，使得PB ＋PD 最小？若存

在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

23．（福建省宁德市初中毕业班质量检查）如图，已知直线l ：y ＝－

4

3x －3与x 轴交于点A ，

与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 经过A 、B 两点，且对称轴为直线x ＝－

2

3

． （1）求抛物线的解析式；

（2）设P 是抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交直线l 于点Q ．

①若以AB 为直径的圆恰好与直线PQ 相切，求此时点Q 的坐标； ②若点P 在y 轴右侧的抛物线上，在点P 的运动过程中，△APQ 能否为等腰三角形？若能，求出Q 点坐标；若不能，请说明理由．

(备用图)

24．（辽宁省朝阳市）如图①，点A ′ ，B ′ 的坐标分别为（2，0）和（0，－4），将△A ′

B ′

O 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得△ABO ，点A ′

的对应点是点A ，点B ′

的对应点是点B ．

（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将△ABO 沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不

与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（x ，0），△CDE 与△ABO 重叠部分的面积为S ．

ⅰ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）； ⅱ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？ ⅲ）是否存在这样的点C ，使得△ADE 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；

若不存在，请说明理由．

25．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△P AD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．

（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD

为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

26．（广东省梅州市）如图，已知直线L 过点A (0，1)和B (1，0)，P 是x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交L 于点Q ，交x 轴于点M ． （1）直接写出直线L 的解析式；

（2）设OP ＝t ，△OPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；

并求出当0＜t ＜2时，S 的最大值；

（3）直线L 1过点A 且与x 轴平行，问在L 1上是否存在点C ，

使得△CPQ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由

27．（广西玉林市、防城港市）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－3

4

(x －6)与x 轴、y 轴分别相交于A 、D 两点，点B 在y 轴上，现将△AOB 沿AB 翻折180°，使点O 刚好落在直线AD 的点C 处． （1）求BD 的长．

（2）设点N 是线段AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），S △NBD ＝S 1，S △NOA ＝S 2，当点N 运动到什么位置时，S 1·S 2的值最大，并求出此时点N 的坐标．

（3）在y 轴上是否存在点M ，使△MAC 为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M

L 1

28．（四川省眉山市）如图，已知直线y ＝2

1

x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝

2

1x

2

＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．

29．（福建省三明市初中毕业班质量检查）如图，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋2与x 轴的交点是A (3，0)、B (6，0)，与y 轴的交点是C ． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P (x ，y )(0＜

x

＜6)是抛物线上的动点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于点Q ．

①当x 取何值时，线段PQ 的长度取得最大值？其最大值是多少？

②是否存在这样的点P ，使△OAQ 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

30．（福建省宁德市）如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

图（1）

图（2）

例（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ,O 为坐标原点，点

A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点

B 坐标为（2，23），∠BCO = 60°，

BC OH ⊥于点H .动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿

线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P 运动的时间为t 秒.

（1） 求OH 的长；

（2） 若OPQ ?的面积为S （平方单位）. 求S 与t 之间的函数关系式.并求t 为何

值时，OPQ ?的面积最大，最大值是多少？

（3） 设PQ 与OB 交于点M .①当△OPM 为等腰三角形时，求（2）中S 的值. ②探究线段OM 长度的最大值是多少，直接写出结论.

解：（1）∵AB ∥OC

∴ 0

90=∠=∠AOC OAB 在OAB Rt ?中，2=AB ,32=AO

∴4=OB ， 0

60=∠ABO

∴060=∠BOC 而0

60=∠BCO

∴BOC ?为等边三角形 ∴322

3

430cos 0

=?

==OB OH …（3分） （2）∵t PH OH OP -=-=32

∴t OP x p 2

3

330cos 0

-

== 2330sin 0t OP y p -==

∴)23

3(2121t t x OQ S p -

??=??= =t t 2

3

432+- （320<

33)3(432+--=t S ∴当3=t 时，=最大S 4

3

3

（3）①若OPM ?为等腰三角形，则： （i ）若PM OM =，POC MOP MPO ∠=∠=∠

∴PQ ∥OC

∴p y OQ = 即2

3t t -

= 解得：3

3

2=

t 此时3

3

233223)332(432=

?+?-=S

（ii ）若OM OP =，0

75=∠=∠OMP OPM

∴045=∠OQP

过P 点作OA PE ⊥，垂足为E ，则有： EP EQ = 即t t t 2

3

3)213(-=-

- 解得：2=t 此时3322

3

2432-=?+?-

=S ……………………………………（9分） （iii ）若PM OP =，AOB PMO POM ∠=∠=∠

∴PQ ∥OA

此时Q 在AB 上，不满足题意.……………………………………………（10分）

②线段OM 长的最大值为2

3

……………………………………………………(12分)

例（08宁夏区卷26题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q ．

（1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ； （2）当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的

6

1； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P

运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．

（1）证明：在正方形ABCD 中，

无论点P 运动到AB 上何处时，都有

AD =AB ∠DAQ =∠BAQ AQ =AQ

∴△ADQ ≌△ABQ ············ 2分

(2)解法一：△ADQ 的面积恰好是正方形ABCD 面积的

6

1

时， 过点Q 作Q E ⊥AD 于E ,QF ⊥AB 于F ，则QE = QF

21QE AD ?=ABCD 正方形S 61=3

8 ∴QE =3

4

····························· 4分

由△DEQ ∽△DAP 得 DA

DE

AP QE = 解得2=AP ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6

1

········ 6分

解法二：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴

于点F ．

21QE AD ?=ABCD 正方形S 61=38 ∴QE =3

4

∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为44

()33

，

∴ 过点D （0，4），Q (

)3

4

,34两点的函数关系式为：42+-=x y 当0=y 时，2=x ∴P 点的坐标为（2，0） ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的

6

1

． ········ 6分

（3）若△ADQ 是等腰三角形，则有 QD =QA 或DA =DQ 或AQ =AD ①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知 QD =QA 此时△ADQ 是等腰三角形

②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，

此时DA =DQ , △ADQ 是等腰三角形 ········ 8分 ③解法一：如图，设点P 在BC 边上运动到x CP =时，有AD =AQ

∵ AD ∥BC ∴∠ADQ =∠CPQ

又∵∠AQD =∠CQP ∠ADQ =∠AQD ∴∠CQP =∠CPQ ∴ CQ =CP =x

∵AC =24 AQ = AD =4 ∴424-=-==AQ AC CQ x

即当424-=CP 时，△ADQ 是等腰三角形 ·········· 10分

解法二：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，设点P 在BC 上运动到y BP =时，有AD =AQ ．

过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ,则QF QE = 在Rt △AQF 中，4=AQ ，∠QAF =45° ∴QF =45sin ?AQ °=22

∴Q 点的坐标为（22，22）

∴过D 、Q 两点的函数关系式：x y )21(-=+4

当x =4时，248-=y ∴P 点的坐标为（4，8-42）．

∴当点P 在BC 上运动到248-=BP 时，△ADQ 是等腰三角形． ······· 10分