例析基本不等式在高中阶段的几种解题方法

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例析基本不等式在高中阶段的几种解题方法作者：白宇秀

来源：《读写算·教研版》2015年第15期

基本不等式，是指任两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。在高中必修五第三章有详细介绍基本不等式的内容，但内容仅限于了解和理解基本不等式，在掌握应用基本不等式解题上涉及较少。本文旨在将基本不等式的题型进行分类并提供解决一般的基本不等式问题的方法，适于教师在本章的教学与复习阶段使用，以培养学生解基本不等式的能力。

我们先对基本不等式的题型进行简单的分类：直接利用“积定和最小，和定积最大”，即题设中未给定值，但有隐性的定值条件，再利用基本不等式解答；根据题设条件构造定值，即题设中给出定值条件，再通过构造出合适的定值进行求解。下面本文通过例题让读者有对这两类问题更好的认识。

第一类：直接利用“积定和最小，和定积最大”，即题设中未给定值，但有隐性的定值条件，再利用基本不等式解答

1、已知a>0，b>0，求证（a/2*b）+（b/2*a）≤1.

解：构造定值条件（a/2*b）×（b/2*a）=1/4，再利用基本不等式可直接求得答案。

2、已知0

解：构造定值条件x+（1-x）=1，再利用基本不等式可直接求得答案为1/4。

第二类：根据题设条件构造定值，即题设中给出定值条件，再通过构造出合适的定值进行求解

1、已知a>0，b>0，且（1/a）+（9/b）=1，求a+b的最小值.

解：对所求进行变换再求解，a+b=（a+b）×1=（a+b）×[（1/a）+（9/b）]=10+（b/a）+（9*a/b）由定值条件（b/a）×（9*a/b）=9，再利用基本不等式可得其最小值为16.

2、已知a>0，b>0，且a2+b2=3，求a×√（1+b2）的最大值.

解：由题设中的定值条件可知a2+1+b2=4，又a×√（1+b2）=√[a2×（1+b2）]再利用基本不等式可解得最大值为2.

根据上述两类题目的分析可以发现，解基本不等式题目的关键就是找出合适的定值，下面我们将对如何构造定值的方法进行分类例析。