14.3.2.1因式分解——公式法平方差公式
课题：14.3.2.1因式分解——平方差公式法课型：新授课时：1 执笔人：孙冉冉审核：授课人：授课时间：
班级：姓名：小组：编号：
流
程
具体内容方法指导
目标导学1．能说出平方差公式的特点．2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．?并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解
重难点重点：应用平方差公式分解因式
难点：灵活运用平方差公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求
自主学习1．同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大
家交流。
2．你能将a2－b2 分解因式吗？你是如何思考的？
3.把多项式a3b-ab3分解因式：得a3b-ab3=ab(a2-b2),还能分解吗？，为
什么?
方法指导：
合作探究
探究：填空：根据左面式子填空：
（1）(x+3)(x-3) = ；（1）x2–9= ；
（2）(4x+y)(4x-y）= ；（2）16x2–y2= ；
（3）(1-2x)(1+2x)= ；（3）1–4x2= ；
观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特
征？
归纳总结：对于形如两数平方差形式的多项式可以用平方差公式进行因式分解的公式：
平方差公式：a2－b2=（）（）
语言叙述：
注：整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是关系；
例1把下列各式分解因式：
（1）36–25x2 (2) 16a2–9b2
解原式=（）2-（）2 解原式=（）2-（）2
= =
（3）（a+b）2-c2（4）（x+2y）2－（x－3y）2；
特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
方法指导：
展示交流例2把下列各式分解因式：
（1）x4–y4 (2)2a3–8a
(3) a3b3–ab（4）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
注意：⑴分解因式时，如果多项式有公因式，应先，再进一步分解；
⑵分解因式时，必须分解到每一个因式都分解为止。
练习：1、判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.
2、判断正误[来源:学科网ZXXK]
（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （）（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （）（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （）（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）（）
3、课本P117 练习1、2。
达标训练1．判断下列各式能不能用平方差公式分解(能的打√不能的打×)
(1) x2+64 ( ) (2) -x2-4y2 ( ) (3) 9m2-25 ( )
(4)-9x2-(-4y2) ( ) (5) -9x2+(-4y2) ( ) (6) -1/4m2+1 ( )
2.下列多项式中，能用平方差分解因式的是( )
A x2–x2y
B x2 +xy2
C x2–y2
D x2 +y 2
3.下列多项式不能直接运用平方差公式分解因式的是( )
A x2+1
B 25m2-9
C 36x2-81y2
D (x+y)2-1
4. 下列运用平方差公式分解因式中，正确的是( )
A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y) B．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
C．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y) D．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y) 5．把多项式分解因式：
(1) 3x3y–12xy(2) 4
2
4
25
5b
m
a
m (3)（x+y）2－49（x-y）2
6. 运用简便方法计算：(1)25×1012－992×25= (2) 20072-49
7. 若n为整数，则（2n＋1)2－(2n－1)2能被8整除吗
8. 把下列各式分解因式结果为( -x+2y）（x+2y）的多项式是（）
A．x2-4y B．x2+4y2 C．-x2+4y2 D．-x2-4y2
9．把多项式分解因式(1)(x+y+z)2 - (x-y-z)2 (2)x m+2-x m
总结反思课堂总结：课后反思：
数学f9§9.6因式分解之平方差公式法
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 §9.6因式分解之平方差公式法（七年级下数学916）————研究课 班级________姓名____________ 学习目标 1. 使学生进一步理解因式分解的意义； 2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征； 3. 会运用平方差公式分解因式. 学习重点 用平方差公式法进行因式分解. 自主学习 一. 创设情境 ★试一试 1. 992－1是100的整数倍吗？ 2. 和老师比一比，看谁算的又快又准确：①572－562 ； ②962－952； ③(1725)2－(825 )2. ★做一做： 整式乘法中我们学习了乘法公式：两数和乘以这两数差：即：（1）(a +b )(a －b )=a 2－b 2 左边是整式的乘积，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是_________________________ (平方差公式)，左边是__________，右边是___________请你判断一下，第二个式子从左到右是不是因式分解？ 像这样将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______. ★议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？ （1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2 （4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2 总结平方差公式的特点： 1.左边特征是： . 2.右边特征是： . 探究新知 例1.依葫芦画瓢：（体验用平方差公式分解因式的过程） （1）x 2－4＝x 2－22＝ (x ＋2)(x －2) （2）x 2－16 ＝( )2－( )2＝ ( )( ) （3）9－y 2＝( )2－( )2＝ ( )( )（4）1－a 2 ＝( )2－( )2＝ ( )( ) 例2.把下列多项式分解因式： （1） 36－25x 2 （2） 16a 2－9b 2 （3）49 m 2－0.01n 2 例3.观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b 不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式 （1）(x ＋p )2－(x ＋q )2 （2）16(m －n )2－9(m ＋n )2 （3）9x 2－(x －2y ) 2
平方差公式在因式分解中的五种表现(1)
平方差公式在因式分解中的五种表现 应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。 公式表述为： a2- b2=（a+b）（a-b）。 应用平方差公式满足的条件： 等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算； 等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。 1直接应用 例1、分解因式：24 x-=．（2008年贵阳市） 分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x2- 22，这样，就和公式一致了。 解:：x2-4=x2- 22=（x+2）（x-2）。 2、提后用公式 例2、分解因式：3x2-27= ．（08茂名） 分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。 解： 3x2-27 =3（x2-9） =3（x2- 32） =3（x+3）（x-3）。
3、变化指数后用公式 例3、248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？ 分析 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。 解： 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2， 所以，248-1=（224）2-（1）2=（224+1）（224-1） =（224+1）（224-1）=（224+1）【（212）2-（1）2】 =（224+1）【（212+1）（212-1）】 =（224+1）（212+1）【（26）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）【（26+1）（26-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23+1）（23-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）×9×7 =（224+1）（212+1）（26+1）×65×63 因为，整除的两个数在60和70之间， 且60＜63＜70，60＜65＜70， 所以，这两个数分别是63、65。 4、先局部用完全平方公式，后整体用平方差公式 例4、若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a2-2ab- c2+b2的值： A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、与零的大小无关
用平方差公式分解因式
教学内容使用平方差公式分解因式 目标知识 技能 1.了解使用公式法分解因式的意义. 2.知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因 式. 3.分解因式要分解到不能再分解为止. 过程 方法 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察水平. 2.训练学生对平方差公式的使用水平． 情感 态度 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了 解换元的思想方法. 教学重点掌握使用平方差公式分解因式. 教学难点灵活使用平方差公式，解决实际问题． 学情分析学生已熟练掌握乘法公式中的平方差公式,为本节课的的教学奠定了良好的基础。学生基本掌握良好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了一定的良好条件。 教学方法启发式教学 教学准备多媒体 教时安排1课时 教学流程学法指导备注一、复习旧知 1．提问：1、（a+b）(a-b)= 用语言叙述为 二、探究新知 1．探索练习 “数学来源于生活，也应用于生活”．双休日，装潢师傅出了这样一道题：要在一个边长为12.75cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm的正方形，剩余部分的面积是多少？不使用计算器，你能计算出来吗？教师引导学生回顾， 学生积极回答. 教师提出问题,学生 认真思考大胆回答。 学生思考回答问题． 弄懂整式乘法中的 平方差公式与因式 通过复习 上节课所 学的平方 差公式内 容,为探索 用平方差公 式分解因式 做准备。 通过情境， 引出新知 识，激发学
4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=2 1，求x －y 的值。 四、小结归纳 1.明确分解因式的顺序是： 先提公因式，再用公式法 分解因式必须到不能再分解为止． 2.使用平方差公式分解因式的步骤： ①先写成平方的形式；②再写成和与差的积． 纠正讲解。 学生总结，教师强调。 让学生准确使用平方差公式法实行分解因式，对所学知识心中有数。 板 书 设 计 15.4.2用平方差公式分解因式 1、平方差公式与因式分解中的平方差公式的联系与区别． 3、例题讲解 2、使用平方差公式分解因式的步骤 4、学生练习 教 学 反 思
)因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)教学内容
)因式分解(公式法之完全平方公式与平方 差公式)
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.29y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222x y z - 7.2240.019m b - 8.2219a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22(32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.229()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.224()a b c -+
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.224ax ay - 3.322ab ab - 4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2(25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--
《公式法因式分解》教学设计
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
用平方差公式分解因式
教学内容运用平方差公式分解因式 教学目标知识 技能 1.了解运用公式法分解因式的意义. 2.知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因 式. 3.分解因式要分解到不能再分解为止. 过程 方法 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力． 情感 态度 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了 解换元的思想方法. 教学重点掌握运用平方差公式分解因式. 教学难点灵活运用平方差公式，解决实际问题． 学情分析学生已熟练掌握乘法公式中的平方差公式,为本节课的的教学奠定了良好的基础。学生基本掌握良好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了一定的良好条件。 教学方法启发式教学 教学准备多媒体 教时安排1课时 教学流程学法指导备注一、复习旧知 1．提问：1、（a+b）(a-b)= 用语言叙述为 二、探究新知 1．探索练习 “数学来源于生活，也应用于生活”．双休日，装潢师傅出了这样一道题：要在一个边长为12.75cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm的正方形，剩余部分的面积是多少？不使用计算器，你能计算出来吗？教师引导学生回顾， 学生积极回答. 教师提出问题,学生 认真思考大胆回答。 学生思考回答问题． 弄懂整式乘法中的 平方差公式与因式 通过复习 上节课所 学的平方 差公式内 容,为探索 用平方差公 式分解因式 做准备。 通过情境， 引出新知 识，激发学
4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=2 1，求x －y 的值。 四、小结归纳 1.明确分解因式的顺序是： 先提公因式，再用公式法 分解因式必须到不能再分解为止． 2.运用平方差公式分解因式的步骤： ①先写成平方的形式；②再写成和与差的积． 纠正讲解。 学生总结，教师强调。 让学生正确运用平方差公式法进行分解因式，对所学知识心中有数。 板 书 设 计 15.4.2用平方差公式分解因式 1、平方差公式与因式分解中的平方差公式的联系与区别． 3、例题讲解 2、运用平方差公式分解因式的步骤 4、学生练习 教 学 反 思
平方差公式法分解因式(1)
平方差公式法分解因式（1） 一 选择题 1.下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．a 2+b 2 B ．-a 2-b 2 C ．a 2-c 2-2ac D ．-4a 2+b 2 2.-4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A ．（0.3x+2）（0.3x-2） B ．（2+0.3x ）（2-0.3x ） C ．（0.03x+2）（0.03x-2） D ．（2+0.03x ）（2-0.03x ） 3.已知多项式x+81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a+3b ）（3b-2a ），则x 的值是（ ） A ．16a 4 B ．-16a 4 C ．4a 2 D ．-4a 2 4.分解因式2x 2-32的结果是（ ） A ．2（x 2-16） B ．2（x+8）（x-8） C ．2（x+4）（x-4） D ．（2x+8（x-8） 5.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.22b a +- B.22b a -- C.22b a + D.33b a - 6.(x ＋1)2－y 2分解因式应是（ ） A. (x ＋1－y)(x ＋1＋y) B. (x ＋1＋y)(x －1＋y) C. (x ＋1－y)(x －1－y) D. (x ＋1＋y)(x －1－y) 7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．－a 2＋b 2 C ．－a 2－b 2 D ．－(－a 2)＋b 2 8.下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、x 2＋4y 2 B 、－4y 2＋x 2 C 、－x 2－4y 2 D 、x －4y 2 9.平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ） A ．只能是数 B ．只能是单项式 C ．只能是多项式 D ．以上都可以 10.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13 a ） D ．（a 2－ b ）（b 2+a ） 二 填空题 1.已知一个长方形的面积是a 2-b 2（a>b ），其中长边为a+b ，则短边长是_______ 2.代数式-9m 2+4n 2分解因式的结果是_________ 3.25a 2-__________=（5a+3b ）（5a-3b ） 4.已知a+b=8，且a 2-b 2=48，则式子a-3b 的值是__________ 5.分解因式：①29a -= ；②3x x -= ③22 49a b -= ； ④2422516a y b -+= ；⑤3375a a -= ；⑥39a b ab -= ⑦44x y -= ；⑧2224m m n -= ；⑨42(53)x x -+= ； ⑩225(21)n -+= ；○114481x y -= ；○122199 a -+= 6.若1004,2a b a b +=-=，则代数式22 a b -的值是 7.式子851-能被20～30之间的整数 整除 8.已知x 2－y 2=-1， x+y=0.5，则x －y= 9.两个连续偶数的平方差能可以被偶数 整除 10.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 三 解答题 1.分解因式 (1)24x - (2)29y - (3)21a - (4)224x y - (5)2125b - (6)222 x y z - (7) 2240.019m b - (8)2219 a x - (9)2236m n - (10)2249x y - (11)220.8116a b -
平方差公式法因式分解
平方差公式法因式分解教学设计 【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解 第三节公式法第一课时内容。 【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒 等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！ 【学情分析】 学生已有七年级学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出 a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式 分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等 能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。 【指导思想】
以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为 指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。结合八年级学生年龄特点及认知规律，采用学生讲解习题的方法培养学生准确应用数学符号、文字语言表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。 【教学目标】 知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，设计检测试卷落实“堂堂清”的课堂教学效果。 【教学重点】 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分 解因式。
利用平方差公式分解因式
利用平方差公式分解因式
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章节与课题 利用平方差公式分解因式 课时安排 1 课时 主备人 王 丹 审核人 使用人 使用日期或周次 学习目标: 1. 使学生进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式分解因式的方法。. 2. 掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 学习重点: 学习难点: 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 学习过程 学习要求 或学法指导 教师 二次备课栏 自学准备与知识导学： 1、情景设置： 问题1：你能很快知道1992-是100的倍数吗？你是怎么想出来的？ 问题2：从上面()()199199+- =1992-容易看出,这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式? 2、计算下列各式: ⑴ ()()22-+a a =___________________ ⑵ ()()b a b a +- =___________________ ⑶ ()()b a b a 2323-+ =___________________ 下面请你根据上面的等式填空: ⑴ 42-a =___________________ ⑵ 22b a - =___________________ ⑶ 2249b a - =___________________ 问题：对比以上两题，你有什么发现？ 3、把乘法公式()()b a b a -+=2 2b a -反过来就得到__________________，这个等式就是因式分解中的平方差公式.它有什么特征？ 二、引导自学 初步达标 (约5分钟，独立完成) 自学课本116页——117页思考下面问题：(读书思考：) 1.因式分解中的平方差公式与乘法公式中的平方差公式有什么区别和联系？ 2.能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点？分解后的结果是什么？ 3.应用平方差公式分解因式应注意什么问题 三.预习检测： 下列多项式可以用平方差公式分解吗？若能分解，请分解因式： （1）x 2－y 2 ；（2）x 2+y 2 ；（3）－x 2－y 2 ；（4）－x 2+y 2；（5）64－a 2 ； 等式的左边 是两数的平方差，右边是这两个数的 和与这两个数的差的积， 利用它可以 把形式是平方差的多项式分解因式.
平方差公式因式分解练习题)
因式分解练习题 （平方差公式） 姓名班级 1. x2－16 （2）－x2+y2 > （3）64－a2 （4）4x2－9y2 （5）36－25x2 } （6）16a2－9b2 （7）4 9m2－ " （8）(x＋p)2－(x＋q)2（9）16(m－n)2－9(m＋n)2（10）9x2－(x－2y) 2 [ （11）4a2－16 （12）a5－a3 （13）x4－y4 ） （14）32a3－50ab2 (15)36 492- c （ 16） 256 9 4 2n m - (17)9 25 .02 2+ -m a \ (18) n x2 4-
(19)1)(2 -+b a 22 94)20(y x - — 2 2 1681.0)21(b a - 22 01.09 4)22(-m (4) 2 3)1(28+-a a a … (5) ()2 2 4a c b +-- （6）44161b a - （ （7）()()2 2 23n m n m --+ (8)()2 24y x z +- (9) ()()2 2 254y x y x +-- ~ (10)()()2 2c b a c b a -+-++ (11)()()b a b a +-+43 36－25x 2 16a 2－9b 2 （ 29a - 3x x - 2249a b - 2422516a y b -+ — 3375a a -
39a b ab - 44x y - （1） 36－x 2 ： （2） a 2－91 b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 ] （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） (x+y)2－(x －y)2 ) （9）22 ()()a b c a b c ++-+- （10）2 2(2)16(1)a a -++- （1）a 2-144b 2 （2）πR 2-πr 2 （3）-x 4+x 2y 2 。 （4） 16x 2-25y 2 （5） (a+m)2-(a+n)2 （6） 75a 3b 5-25a 2b 4 （7）3（a+b ）2-27c 2
因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)
因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+
因式分解的平方差公式
14.3.2公式法-运用平方差公式分解因式 教学目标 知识与技能 1. 能进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式分解因式的方法。. 2. 掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 过程与方法 通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观 在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验整体思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 教学重点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。 教学难点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式 教学过程 一、复习引入 A、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1）(2x-1)2=4x2-4x 2） 3x2+9xy-3x＝3x(x+3y-1) 3）4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 设计意图：通过判断这几个变形是不是因式分解，进一步了解因式分解的定义，也为这节课要学习的a2 -- b2的多项式应该分解为整式的积的形式做一铺垫 B、把下列各式进行因式分解: 1）a2 --ab 2）a2 -- b2 设计意图：有2个，1、复习提公因式分解因式2、由多线式a2 –ab变为 a2 -- b2没有公因式时又怎么分解呢，即用旧知识解决不了的问题引出学习新知识的必要性 C、 a2 -- b2 教师引导由整式乘法与因式分解的关系，你能想到a2 -- b2应分解为什么吗？说出你是怎么想的 这一问题的提出给了学生思考的方向，同时也是用旧知解决新知 二、合作交流，探索新知 学生相互讨论下列问题： （1）用语言怎样叙述公式？ （2）当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？ （4）、根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b？ 【设计意图】引导学生观察平方差公式的结构特征，学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。） 三指导运用，巩固知识。 1、填空： (1)a6=( )2; (2) 9x2=( )2; (3) m8n10=( )2;
平方差公式法因式分解练习题
课 题： 9.14公式法 [教学目标] 1 掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 2 通过知识的迁移经历逆用乘法公式，运用平方差公式分解因式的过程； 3 在应用平方差公式分解因式的过程中体验换元思想，增强观察能力和归纳总结的能力。 [教学重点] 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式 [教学难点] 能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。 [教学过程] 1 复习： A 因式分解的概念是什么？ B 平方差公式用字母怎样表示？ 计算： （1）（a+3）(a-3) （2）(4x-3y)(4x+3y) 2 导入新课： （a+3）(a-3)=a 2-9 (4x —3y)(4x+3y)=16x 2-9y 2 这是我们学习的整式的乘法运算。如果上述等式左右两边互换位置，又经历了什么样的过程呢？ a 2-9=（a+3）(a-3) 16x 2-9y 2 =(4a-3y)(4x+3y) 经历了因式分解的过程。 3 新课讲解： 我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法， 像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。 今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。板书：公式法。 平方差公式反过来可得：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 这个公式叫做因式分解的平方差公式。 当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式分解因式？结果等于什么？ 如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式分解因式。它等于这两个数的和与这两个数的差的积。 例题1 分解因式： (1) 1-25a 2; (2) -9x 2+y 2; (3) a 2b 2-c 2; (4) 94a 2-25 4b 2. 练习：分解因式：242q n m +-.
平方差公式分解因式
第2课时用完全平方公式分解因式 教学目标 （一）知识目标：理解用平方差公式因式分解的概念； （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。 （三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 重点与难点 重点因式分解的概念 难点认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 教法与学法及教学手段 教法为让学生体验因式分解概念产生的过程；以及概念的形成和同化相结合，促进学生对用用平方差公式因式分解的理解。我采用对比、类比、尝试教学。 学法针对教法，让学生“动手实践、自主探索、合作交流”。
教学手段利用黑板辅助教学，让学生体验用用平方差公式因式分解的过程，提高学生的学习兴趣，可以很好地体现教师在教学过程中的思路和策略。 一、以旧探新，引出课题 复习：提公因式法因式分解 1.（回顾旧知） a2 + a= a (a + 1) 2.请学生观察、比较以上2题两种代数式变形的例子，它们之间有什么区别和联系？ 整式的乘法多项式转化为几个整式的积(a+b)(a-b)= a2-b2a2-b2 =(a+b)(a-b) 给学生一定的时间思考，在小组中讨论后，得出第（1）小题是整式乘法，第（2）小题是把一个多项式化成几个整式的积的形式，左边是一个多项式，右边是几个整式的积，两者的过变形刚好相反，是因式分解。 马上点题：用平方差公式因式分解 二、初步应用，巩固新知 趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习：（1）x2-y2（2）a3b-ab （3）x4-y4 通过此练习，引导学生归纳自己对用平方差公式因式分解
因式分解之平方差公式法练习题
1、分解因式 （1）x2－y2（2）－x2+y2（3）64－a2（4）4x2－9y2 （5）36－25x2（6）16a2－9b2 （7）4 9 m2－ （8）(x＋p)2－(x＋q)2（9）16(m－n)2－9(m＋n)2（10）9x2－(x－2y) 2 （9）4a2－16 （10）a5－a3 （11）x4－y4 （12）32a3－50ab2 2、判断正误 （1）－x2－y2=(x＋y)(x－y) （2）9－25a2=(9+25a)(9－25a) （3）－4a2+9b2=(－2a＋3b)(－2a－3b) 3、分解因式 （1）4a2－(b＋c)2（2）(3m＋2n)2－(m－n)2
（ 3 ） (4x － 3y )2 － 16y 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2 4、判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”) （1）x 2＋64 （ ）； （2）－x 2－4y 2 （ ） （3）9x 2－16y 4 （ ）； （4）－14x 6＋9n 2 （ ） （5）－9x 2－(－y )2 （ ）； （6）－9x 2＋(－y )2 （ ） （7）(－9x )2－y 2 （ ）； （8）(－9x )2－(－y )2 ( ) 5、 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （ ） A .22b a +- B .22b a -- C .22b a + D .33b a - 6、 (x ＋1)2 －y 2 分解因式应是 （ ） A . (x ＋1－y )(x ＋1＋y ) B . (x ＋1＋y )(x －1＋y ) C . (x ＋1－y )(x －1－y ) D . (x ＋1＋y )(x －1－y ) 7.填空（把下列各式因式分解）
公式法(利用平方差公式分解因式)
第四章因分解式 3．公式法（一） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础． 学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验． 二、教学任务分析 学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。 本节课的具体教学目标为： 1．知识与技能： （1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。 三、教学过程分析 本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础—
—能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结． 第一环节 复习回顾 活动内容：填空： （1）（x+5）（x –5） = ； （2）（3x+y ）（3x –y ）= ； （3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 它们的结果有什么共同特征？ 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： 活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力． 注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系． 第二环节 探究新知 活动内容：谈谈你的感受。 结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。 活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。 注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。 .____________________49_;____________________9__;____________________ 2522222=-=-=-n m y x x
因式分解之平方差公式法练习题
一．判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”) （1）x 2＋64 （ ）； （2）－x 2－4y 2 （ ） （3）9x 2－16y 4 （ ）； （4）－14 x 6＋9n 2 （ ） （5）－9x 2－(－y )2 （ ）； （6）－9x 2＋(－y )2 （ ） （7）(－9x )2－y 2 （ ）； （8）(－9x )2－(－y )2 ( ) 二. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （ ） A .22b a +- B .22b a -- C .22b a + D .33b a - 三．填空（把下列各式因式分解） (1)21p -=____________ (2)=-36492c ________________ (3)=-256 942n m ___________ (4)925.022+-m a =______________ (5)n x 24-=______________ (6)1)(2-+b a =__________________ 四.把下列各式分解因式 2294)1(y x - 221681.0)2(b a - 2201.09 4)3(-m (4) 23)1(28+-a a a (5) ()224a c b +-- （6）44161b a - （7）()()2223n m n m --+ (8)()224y x z +- (9) ()()22254y x y x +-- (10)()()22c b a c b a -+-++ (11)()()b a b a +-+43 五.运用简便方法计算 （1）4920072- （2）433.1922.122?-? （3）已知x ＝1175，y ＝2522 ，求(x ＋y )2－(x －y )2的值.
平方差公式因式分解试题集锦
试卷第1页，总7页 1．下列各式中能用平方差公式因式分解的是（ ） A. x 2+y 2 B.x 2+y 2 C.–x 2-y 2 D. x 2-3y 答案：B 解析： 试题分析：根据能用平方差公式分解的多项式的特点是：（1）有两项；（2）是“两数”或“两项”的平方差，依次分析各项即可． A 、x 2+y 2，两平方项符号相同，故此选项错误； B 、-x 2+y 2=（x+y ）（y-x ），故此选项正确； C 、-x 2-y 2-=-[m 2+n 2]，两平方项符号相同，故此选项错误； D 、x 2-3y 两平方项符号相反，但是次数不同，故此选项错误； 故选：B ． 考点：本题考查的是因式分解-运用公式法 点评：解答本题的关键是掌握平方差公式分解的多项式的特点：（1）有两项；（2）是“两数”或“两项”的平方差． 2．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 （ ） A.x 2-xy 2 B.－1+y 2 C.2y 2+2 D.x 3－y 3 答案：B 解析： 试题分析：平方差公式：))((2 2 b a b a b a -+=-. A 、2 2 xy x -，C 、222 +y ，D 、3 3 y x -，均不能用平方差公式进行因式分解； B 、=+-2 1y )1)(1(12 -+=-y y y ，本选项正确. 考点：平方差公式 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方差公式，即可完成. 3．下列哪个选项可以利用平方差公式进行因式分解（ ） A ．a 2+b 2 B ．-a 2-b 2 C ．-a 2+b 2 D ．-（a 2+b 2） 答案：C 解：A 、a 2+b 2，两平方项符号相同，故此选项错误； B 、-x 2-y 2，两平方项符号相同，故此选项错误； C 、-a 2+b 2=（b+a ）（b-a ），故此选项正确； D 、-（a 2+b 2），两平方项符号相同，故此选项错误．
因式分解公式法---平方差公式
因式分解公式法---平 方差公式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
因式分解公式法--课前学习单 主备：初三数学组 课型：新授 上课时间：第2周第3课时 审核： 【预习目标】：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解 【预习问题一】复习回顾 一、填空：（观察式子的左右两边，你发现什么） ①;____________________)3)(3(=-+x x ②______;__________)4)(4(=-+y x y x ③_________;__________)21)(21(=-+x x ④______;__________)23)(23(=-+n m n m 二、指导自学，整体感悟： 1、观察多项式x 2-25，9x 2-y 2,它们有什么共同特征 将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。 2、默写乘法公式中的平方差公式，并写出其逆过来的公式 例1 把下列各式分解因式： ⑴ 21625x - ； ⑵ 2 4192b a - (1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式） ★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。 (2) 公式右边:（是分解因式的结果） ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
因式分解公式法--课上训练单 【学习目标】1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. 【探究活动一】: 1、判断正误： （1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （2）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （3）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( ) （4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( ) 2、把下列各式因式分解： 【探究活动二】能力提升 把下列各式因式分解： 想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么 【探究活动三】、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形．用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =，b =时的面积． 249)1(x +-2 2241 )2(z y x -2212125.0)3(p q -1 )4(4-p 2)2(254)1(n m --22)()(9)2(n m n m --+2 394)3(xy x -