哈密顿算符不同坐标下的表示
哈密顿算符不同形式下的表达式
胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。
关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用
1.引言
在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：
V m p V T H
+=+=2/????2 如果我们从波函数)?(r
ψψ=出发，位置算符是空间矢量自身： r r =? 它的分量是 x x
=? ，y y =? ， z z =? 动量算符表示为 ?-= i p
? 它的分量是 x
i p x ??-=
? ，y i p y ??-=
? ，z
i p z ??-= ? 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则?-→ i p 得到
V m
H
+?-=22
2? 在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。
2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式
2.1、极坐标下的哈密顿算符
极坐标中独立变量ρ、?与直角坐标中独立变量
x 、y 之间的关系：
??
?
??=+=x y y x a r c t a n
22?ρ
图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有：
?
ρ?ρ?
??ρρ??
-
??=????+
????=
??s i n c o s x x x
?
ρ?ρ
???ρρ??
+
??=????+????=??cos sin y
y
y
x
y
ρ
?
哈密顿算子?在直角坐标中的表达式为：
y x e y
e x ??+??=
? 据上述坐标之间的微分关系为： 2
2
2
2
2
2
)1(
)(
)cos (sin )sin (cos )(
)(?
ρρ
?
ρ?ρ
?
?
ρ?ρ
?
??
+??=??
+
??+??
-
??=??+??y
x
所以哈密顿算子?在极坐标中的表达式为：
?ρ?
ρρe e ??+??=
?1 据哈密顿算子2?的计算过程有：
)s i n )(c o s s i n (c o s )(2
2?ρ
?ρ
??
ρ
?ρ???-
????-
??=????=
??
x
x
x
222
2
2
2
2
22
s i n c o s s i n 2c o s s i n 2s i n c o s ?ρ
?
?ρρ
?
??ρ
?
?ρρ
?
ρ
θ
??+
???
-
??+
??+
??
= 2
22
2
2
2
2
2
22
2
2cos cos sin 2cos sin 2cos sin
?
ρ
?
?
ρρ?
?θ
ρ
?
?ρ
ρ
?
ρ
?
??
+
???
+
??-
??+
??
=??
y
所以拉普拉斯算子2
?在极坐标中的表达式[5]
为：
2
22
2
22
11?
ρ
ρ
ρρ
??
+
??
+
??
=
? 或 2
2
221)(1?
ρρρρρ??+????=?
所以极坐标下的哈密顿算符H
?可以表示成： V m H
+??
+
????
-=)1)(1(
2?2
22
2
?
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
（1.1）
在极坐标下的动能表达式为：)(21222?ρρ
+=m
T 正则动量为： ρ
ρ
ρ m T p =??=
和 22
?
ρ?
? m T p =??= 得到哈密顿量为： V
m p m
p H
++
=2
22
22?ρ
?
ρ
（1.2）
在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足ij j i i p q
δ =]?,?[的要求，如果仍将相应的算符表示为： ρ
ρ??-= i p
? ， ?
???-= i p
?
得到 V m H
+??
+
??
-=)1
(2?2
22
2
22
?
ρ
ρ
（1.3）
通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是ρ
ρ??-= i p ?并非厄密算符，一个算符F 满足F F
=+
，才是厄密算符。量子力学中表示力学量的算符必
须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。所以ρ
ρ??-= i p
?不能作为动量算符的分量表示。
通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为 ρρ
ρρρ
ρ??
-=+??-=1
)21(
?
i i p （1.4）
现在把（1.4）式，?
???-= i p
?带入（1.2）式得到
V m m H
++??+??+??-=2
22
2
22228)11(2?ρ
?ρρρρ
（1.5）
比较（1.5）与（1.1），发现多了
2
28ρ
m
项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄
密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。
所以我们通过构造动量分量ρp ?的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，
定义为p p
?=ρρρ ?或ρρ
ρ ?=p p ?，过渡到量子力学，由于ρp ?和ρ?不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取
ρ
ρρρρρρ
i i p p p
-??-=?+?=)(21?
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。 所以动量算符在球坐标系中的各分量为ρ
ρ
ρ
i i p -??-=?，?
?
??-=
i p ?
。
2.2、柱坐标下的哈密顿算符
柱坐标中独立变量r 、θ、z 与直角坐标中独立
变量x 、y 、z 之间的关系
??
?
?
?
??==+=z z x y y x r a r c t a n 22θ
图2直角坐标与柱坐标的关系 据上述关系有：
22
2
2
2
2
)(
)cos (sin )sin (cos )(
)(
)(z
r
r
r
r
z
y
x ??+??+
??+??-
??=??+??+??θ
θθ
θ
θθ
222)()1()(z
r r
??+??+??=θ
所以哈密顿算子?在柱坐标中的表达式为：
z r e z
e r e r ??+??+??=
?θθ1 据哈密顿算子2?的计算过程有： 2
22
2
2
2
2
22
2
2s i n c o s s i n 2c o s s i n 2s i n c o s θ
θθθ
θθθθθθ??+???-??
+??+??=??r r r r r r
r
x
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2c o s c o s s i n 2c o s s i n 2c o s s i n θ
θθ
θ
θθ
θθθθ
??
+
???
+
??
-
??+
??
=??
r
r r
r
r
r
r
y
2
22
2z
z
??
=
??
。
所以拉普拉斯算子2?在柱坐标中的表达式为：
2
22
22
2
22
11z
r
r
r r
??
+
??
+
??+
??
=
?θ
或 2
2
22221)(1z
r r r r r ??+??+????=?θ
所以柱坐标下的哈密顿算符H
?可以表示成： V z
r r r r r m H
+??+??+????-=)1)(1(2?2
2
22
22
θ （2.1） 在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量r p
?的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为p r r p r ?= ?或r
r
p p r ?=?，过渡到量子力学，由于r p
?和r
?不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 r
i r i r r p p r r p
r
-??-=?+?=)(21?
其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在Z 上的分量z p
?。 所以动量算符在球坐标系中的各分量为r
i r
i p r
-
??-=?，θ
θ
??-=
i p ?，z
i p z ??-=
?。
2.3、球坐标下的哈密顿算符
球坐标中独立变量r 、θ、?与直角坐标中独立变量x 、y 、z 之间的关系
??
?
?
?
????=+=++=x y z y x z y x r a r c t a n a r c t a n
2
22
22?θ
图3直角坐标与球坐标的关系 根据上述关系有：
?
θ?
θ
?θ?
θ??
-??
+
??-=??sin sin cos cos cos sin r r
r x
?
θ?θ
?θ?
θ??
-
??
+
??=??sin cos sin cos sin sin r r
r
y
?
?θ
??
-
??=??r
r z
sin cos
利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子?在球坐标中的表达式
?θ?
θθe r e r e r r ??+??+??=
?sin 11 根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为：
2
22
2
2
22
2
2
22
sin 1
1sin cos 2?θθ
θθθ
??
+
??
+
??
+
??+
??
=
?r r
r r
r r
或 2
22
2
22
2s i n 1
)(s i n s i n 1
1?
θθ
θ
θ
θ??
+
????
+
????=?r r r
r r
r
所以球坐标下的哈密顿算符H
?可以表示成： V r r r r r r m H +??+????+????-=]sin 1)(sin sin 11[2?2
2
22222
?
θθθθθ 然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到
V p r p r p m H r +++=)?sin 1?1?(21?22
2222?θθ
在球坐标下，动量整体的算符[6]表示
)?sin 1
?1?(??θ?
θθ
e
r e
r e
r i i p
r ??
+??+??-=?-= 但是r i ??
-
和θ
??
-r i 1
都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。
为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取
r
i r i r r p p r r p
r
-??-=?+?=)(21?
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。 同理，可以构造θ
θ
θθθtan 211)??(2
1?r i r i e p p e
p
-??-=?+?=
，?
θ???
-=sin 1?r i p
是厄
密算符，可以作为?p
?的算符表示。 2.4、哈密顿算符的矩阵形式
量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。现在，
我们对哈密顿算符H
?的矩阵表示作一简略的数学推导。在量子力学中，所研究的重要问题就是求解薛定谔方程： ψψE H
=? （4.1） 如果将波函数ψ看出是n 个线性无关的波函数),...2,1(n i i =ψ的线性组合，即：
∑==
+++=n
i i
i
n n c c c c 1
2211...ψ
ψψψψ （4.2）
如果我们选取一组正交向量1ψ，2ψ，···，n ψ作为n 维空间的一个基底， 从而ψ可以用向量形式表示出来，即： ),...,,(21n c c c =ψ （4.3）
再将哈密顿算符H ?看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。不妨令：
?
???
??
???
?
?
?=nn n n n n a a a a a a a a a H
...
.......................?2
122221
11211
（4.4） 矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。因此，ψ经H ?变换后，可得一新的向量。现令该新的向量为B ：∑==
=n
i i
i
n b b b b B 1
21),...,,(ψ
也就是：
∑===??
??
??? ??=??????? ???
???????
?
?
?
?=n
i i
i
n n nn n n n n b B b b b c c c a a a a a a a a a H
1
21212
122221
11211...
.......................?ψ
ψ （4.5）
又因H
?是线性算符，故有： ∑==
+++=+++=n
i i
i
n
n n n H
c H c H c H c c c c H H 1
2
2112211??...??)...(??ψ
ψψψψψψψ （4.6）
根据矩阵代数可知，任一单位矢量i ψ经H ?变换后所得的新矢量i H ψ?一定可写成1
ψ，2ψ，···，n ψ的迭加形式，因此，可令：
i
n
i ij
n
nj
j j d d d d H ψ
ψψψψ∑==
+++=1
2211? ),...2,1(n j = （4.7）
那么式（4.6）便成为： ∑∑===n
i i ij
n
j j
d
c H
1
1
?ψψ （4.8）
对式（4.8）施以必要的代数运算： ∑∑∑∑=====
=n i n
j i j ij
n j n
i i ij j
c d
d c
H
1
1
11
?ψψψ
与式（4.5）进行比较，立即看出：∑==n
j j ij
i c d
b 1
),...,2,1(n i =
写成矩阵形式，即为： ??
????? ???
?????
??
?
?
?
?=??????? ??n nn n n n n n c c c d d d d d d d d d b b b
212
122221
1121121...
....................... 再与式（4.5）进行比较，就得：
?
???
??
???
?
?
?=?????????? ?
?nn n n n n nn n n n n d d d d d d d d d a a a a a a a a a ...
.................
.........
(2)
1
22221
11211
2
12222111211 或： ij ij d a = 若将式（4.6）两边左乘*i ψ并在整个空间积分，即得：
τψψτψψτψψτψψd d d d d d d H n nj i j i j i j i ????****+++=...?2211
τψψ
τψψ
d d d d r n
r i rj
r n r rj i
∑?∑?=*=*
=
=
1
1
（4.9）
注意到i ψ，r ψ的正交、归一条件，即
??
???≠===?*时
当时
当r i r i d ir
r i
01δτψψ
那么式就变成： ij
ij i i a d d H ==?*τψψ? 若积分τψψd H i i ?*?用符号ij H 来代替，便有： ij ij a H = 根据式（4.9），即得出哈密顿算符H
?的矩阵形式为：
?
???
??
???
?
?
?=nn n n n n H H H H H H H H H H
...
.........................?2
122221
11211 3、哈密顿算符不同表达式的应用
3.1、球坐标解法在中心力场中的应用
自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题，如地球在太阳系中的运动，电子在原子核周围的运动等等。在量子力学中求解中心立场的问题时，通常选),,(2
∧
∧∧
z l l H 作
恒量完全集，用它们的共同本征态来对定态进行分类。 对于能量本征方程 ψψμ
E r V =+?-
)](2[2
2
（1.1）
考虑到中心力场的球对称特点，选用球坐标较为方便。已知球坐标下有：
2
22
2
2
2
2
sin 1
)(sin sin 1
1?θθ
θ
θθ??
+
????
+
????=
?r r r
r
r
r
又因为 ]s i n 1
)(s i n s i n 1
[2
22
2?
θθ
θ
θ
θ??
+
????
-= l
两式带入（5.1）可得 ψψμμE r V r
l
r
r
r
r =++
????
-
)](212[2
22
2
2
或 ψψμμE r V r
l
r r
r =++
??
-
)](212[2
22
22
上式左边第二项称为“离心势能”，角动量越大则离心势能越大；第一项可表示为
2
21r p μ
，
称为径向动能，其中+
=+
??-=r r p r
r
i p )1(
，是径向动量。
取ψ为),,(2
∧
∧
∧
z l l H 的共同本征函数，可得
),()(,,?θ?θψm
l l Y r R r =）（ 其中??
?--==l
l l m l ,...,1,...2,1,0
方程中)(r R l 为径向函数，),(?θm
l Y 为角度方向函数，则本征方程变为
ψμψμm
l l m
l l Y ER Y R r
l l r V r dr
d r
2
2
2
2
2
2])1()(21[
=
+-
-
由此先不考虑角度方向的函数),(?θm
l Y ，则得到径向方程为
0])1())((21[
2
2
2
2
=+-
-+
l R r
l l r V E r dr
d r
μ
或
0])1())((2[
22
2
2
22
=+-
-++
l l l R r
l l r V E dr
dR r dr
R d
μ 其中...2,1,0=l （1.2）
不同的中心力场)(r V 就觉定了不同的径向波函数，及其本征值。径向方程（1.2）不含磁量子数m 。因此能量本征值与m 无关。可以这样理解：由于中心力场的球对称性，粒子的能量显然与z 轴的取向无关。但是其能量与角量子数l 有关，在给定l 的情况下，
l l l l m ,1,...1,-+--=，共有)12(+l 个可能取值，因此，一般来说，中心力场中粒子的能级
是)12(+l 简并的。 为了求解方程，可令
r r r R l l )()(χ=
代人方程（1.2），得
0])1())((2[
2
2
=+-
-+"
l l r
l l r V E χμχ
（1.3）
在一定条件下即可求解径向方程（1.2）或（1.3），即可得出能量本征值。一般在束缚态条件下求解径向方程时，将出现径向量子数...2,1,0=r n ，它们代表径向波函数的节点数（其中∞=,0r 着两个奇点不包括在内）。
另一方面，角度部分满足球谐函数),(?θm l Y ，则只要根据条件求出径向函数)(r R l 和球
谐函数),(?θm l Y ，即可解得中心力场中的波函数),()(,,?θ?θψm l l Y r R r =）（及其能量本征
值。
下面以氢原子为例，具体求解。 已知氢原子中r e
r V 2
)(-=，则具有一定角动量的氢原子的径向方程为
0])1()(2[
2
2
2
=+-
+
+"
l l r
l l r
e
E χμχ
在原子物理中，对于上式，可采用自然坐标（在计算过程中令1===e μ ，然后在计算所得最后结果中按个物理量的量纲添上相应的自然单位），则上述方程可表示为 0])1()22[2
=+-
++"
l l r
l l r E χχ （1.4）
其中∞=,0r 是方程的两个奇点。
首先考虑当0→r 时，方程（1.4）可渐进地表示为
0)1(2
=+-
"
l l r
l l χχ
可解得 l l l r r r -+∝，1)(χ
物理学上的渐进行为满足0)(0
??→?→r l r χ，所以得到
1
)()(+∝=l l l r
r rR r χ )0(→r
其次考虑当∞→r 时，我们限于讨论束缚态（0 02=+" l l E χχ 则)2exp()(r E r l -±∝χ，再考虑束缚态边界条件下渐进行为满足0)(??→?∞ →r l r χ，则 )2exp()()(r E r rR r l l --∝=χ )(∞→r 由此，可令 )()(1 r u e r r l r l l βχ-+= 其中E 2--=β 重新代入方程（1.4）可得： 0]1)1(2[]2)1(2[=-+-'-++" l l l u l u r l ru ββ 再令r βξ2=，则 0]1 )1[(] )1(2[22 =- +--++l l l u l d du l d u d β ξ ξξ ξ 这方程属于合流超几何方程，进行数学上的求解，最后可得波函数为 ),()(?θψ m l nl nlm Y r R = 其中，归一化的径向波函数 ),22,1()2 1exp()(ξξξ+++-- =l l n F N r R l nl nl 其中 )! 1()!1()! 12(2 2 3 2--+= +l n n N l n a nl 而球谐函数为 ? θπ ?θim m l m m l e P l m l m l Y )(cos 412)!()!() 1(),(++--= 其中)(cos θm l P 为连带勒让德函数 同时，求得能量本征值 2 2 2 121n E -=-=β 添上能量的自然单位，得2 2 2 2 41 21 2n a e n e E E n - =-== μ 其中22e a μ =，是波尔半径。 n 为主量子数，...3,2,1=n l 为轨道量子数， )1...(2,1,0-=n l ，分别对应s 、p 、d 等轨道， m 为磁量子数，l l l m ,...1,+--= 共2212n l =+个取值。 3.2极坐标解法在二维中心力场中的应用 现实生活中的粒子一般是在三维势场中运动的，但是近年来，由于技术上的进步，有效的低维（如二维）体系的制备已在实验上逐步实现（如分子束外延技术制备半导体纳米结构等），低维量子物理的研究已引起人们广泛关注，下面我们讨论二维中心力场中的问题。 我们已经求得了三维库伦力场中氢原子的波函数及其能级，那么与三维中心力场相似，二维库伦力场的求解可采用极坐标解法，其中，二维力场中的库伦势能可表示为 ρ κρ- =)(V 其中...3,2,1,2==Z Ze κ 则薛定谔方程可表示为 ψψρ κ? ρρ ρ ρ ρμE l =-?? + ???? -])1( 2[2 2 2 22 （0 显然，? ?? -= i l z 是守恒量，取ψ为守恒量完全集),(z l H 的共同本征态，令 )(),(ρ?ρψ? R e im = 其中，...2,1,0±±=m 则取自然坐标单位（1===κμ ）时，径向方程可表示为 0)()]2 2(1[ 2 222 =+ +- + ρρ ρ ρ ρρ R E m d d d d （2.1） 其中，∞=，0ρ是方程的奇点。 在0→ρ时，方程（2.1）可渐进得表示为 0)(]1[ 2 222 =- + ρρ ρ ρρ R m d d d d 令s R ρ∝，带入上式，得02 2=-m s ，所以m s ±=，由于00?? →?→ρR ，所以m R -∝ρ是没有物理意义的，应舍弃。 当∞→ρ时，方程（2.1）可变为 0)()]21[ 2 2 =++ ρρ ρρ R E d d d d （0 可以解得)2exp()(ρρE R -±∝但是，满足束缚态边界条件的解只有 )2exp()(ρρE R --∝ 因此，我们令 )()(ρρρβρu e R m -= 其中E 2-=β （0 重新代入方程（2.1），可得 0])12(2[) 212(2 2 =+-+-++u m d du m d u d βρ βρρ ρ 再令βρξ2=，可得 0]1 )21[() 12(22 =- +--++u m d du m d u d β ξ ξξ ξ 这是合流超几何方程，它在0≈ξ的邻域的解析解表示为),,(ξγαF 相应参数为 β α1 2 1- +=m ， 12+=m γ 其束缚态边界条件要求 ραn = ， ...210，， =ρn 由此有 2 11++=m n ρβ 则可得能量本征值（自然单位） 2 2 21n E - = 其中 ?? ? ??=++==... 25,23,2121... 2102m n n m n ρρ，，， 即可证明能级简并度 ...5,3,1222 ==n f n 则相应的波函数（未经归一化）可表示为 )2,12,(),(2 2 n m n F e e m n m im m n ρρ ρψρρ ? ρ+-∝- 其中 ??? ? ????? =++==±±= (25) ,23,2121...2102,1,02m n n n m ρρ，， 可以看到，二维库伦力场和三维库伦力场的问题有一定的相似性，事实上，只要把三维 库伦力场中2 1- →m l ，即可求得二维库伦力场中的能级公式。但是，从径向分布来看， 二维和三维的氢原子也存在较大差异。例如圆轨道（径向量子数r n 和ρn 为0的径向波函数）的最概然半径（自然单位）为 ) (... 2 5 ,23,21, ) (...3,2,1,2222 2二维氢原子三维氢原子====n n r n n r n n 例如三维氢原子最低的三条圆轨道0s 、0p 、0d 的最概然半径分别为1：4：9，而二维氢原子最低的三条圆轨道的最概然半径为25:9:1)2 5 (:)2 3(:)2 1 (222=，即这些相邻的圆轨道的 最概然半径的差别，对于二维氢原子要比三维氢原子明显得多。 3.3哈密顿算符矩阵形式的应用 在量子力学的计算中, 通常需要采用各种数值解法来求解体系能量算符的本征值方程，如特殊函数法，变分法、狄拉克符号法、矩阵法等等，在分子轨道理论中，用矩阵法求解本征值方程则有着它独自的优势。下面我们以处理丁二烯的化学键为例说明。 丁二烯是一个典型的共扼分子, 其结构式为22 CH CH CH CH =-=,设其分子轨道 波函数可由各碳原子的P 轨道波函数i ?线性组合而成, 即44332211????ψc c c c +++=,暂且将4321????，，， 看成是相互正交的单位矢量（ 实际上并不完全正交，但是由于其轨道重叠度较大，因此如此假设的误差非常小）, 那么ψ可以写成向量形式),,,(4321c c c c =ψ在四维空间, 哈密顿算符为： ? ??? ?? ??? ? ? ?=4443 42 413433323124232221 14131211 ?H H H H H H H H H H H H H H H H H (3.1) 根据休克尔假定[5] 42413124141343322134231244332211================H H H H H H H H H H H H H H H H βα 式(3.1)可简化为 ????????? ? ? ?=αβ βαβ βαββα0 00000 ?H 根据矩阵与特征方程的时应关系, 可直接得出H ?的久期方程为: 00 00 00?=----=-ε αβ β εαββ εαββε αεE H (3.2) 上式亦为丁二烯分子轨道的久期方程。而这个久期方程的求得, 是不需要通过变分法的。解 久期方程（3.2）可得H ?的本征值为： β αεβαεβαεβ αε62.162.062.062.14321-=-=+=+= (3.3) 此即为丁二烯离域二键四个分子轨道相对应的能量值。将所得的能量值代回薛定愕方程所对 应的齐次线性方程组 ? ???? ?? ??=??????? ??? ??????? ? ? ??----00000000004321c c c c εαββεαββεαββεα 可解出四组c 值。这样, 便可求得丁二烯离域二键的四个分子轨道波函数为： 4 3214 432134 3212 4 3211372.0602.0602.0372.0602.0372.0372.0602.0602.0372.0372.0602.0372.0602.0602.0372.0????ψ ????ψ????ψ ????ψ-+-=+--=--+=+++= (3.4) 式（3.3）和（3.4）就是丁二烯体系中薛定愕方程ψεψ=∧ H 的近似解。 从上面的处理丁二烯共价二键的过程可以看出, 使用的方法与休克尔分子轨道法大致 相同。但是我们又看到, 用复杂的变分法求久期方程的过程在这里大大简化了。用矩阵法一步即求得久期方程。 4、结论与讨论 以上是我们推导哈密顿算符不同形式的表达式的过程及具体的例子应用，事实上，对于相关的动量直接量子化，得到的结果则会比正确结果多一些含有2 的项或少一些含有2 的项，量子力学中称这些项为含糊项。这些项虽然并不产生任何物理影响，却带来了H形式上的不确定性。本来通过计算给出了动量分量的算符表述。 从前面的一些推导过程可以看出，最好在笛卡尔坐标系中建立正确的结果与两种坐标之间的相互关系，来得到非笛卡尔坐标系中H?的正确表达式。 对于休克尔假定能够成立的分子轨道体系，可以采用哈密顿算符的矩阵表示法一步求得久期方程，而不需要采用复杂的变分法。 文中的不足之处，敬希老师指正。 参考文献: [1]瓦尔特·顾莱纳量子力学导论[M] 北京大学出版社2001年5月 [2]周世勋量子力学教程[M] 北京高等教育出版社1995 [3]曾谨言量子力学（卷1）第四版[M] 北京科学教育出版社2007年1月 [4]黄庆达不同坐标系下哈密顿算子换算天津理工学院学报V ol.16.No.4 Dec.2000 [5]毛希安哈密顿算符的矩阵表示法在分子轨道理论中的应用[j]江西师范学报1981第二期 [6]尹世忠球面坐标系下的动量算符[J] 南昌教育学院学报2010第25卷第1期 [7]胡昆明李彦敏相对论性动量算符在球面坐标系中的分量不会出现 z项[J] 商丘师范学院学报2204.4第20卷第2期 [8]李宁强磁场中氢原子的能级和波函数的研究（J）中国石油大学2008年4月 [9]黄永平陶才德不同坐标系中的正则量子化要求[J] 西华师范大学学报2004.12第25卷 [10]高等数学第四册（第二版）数学物理方法[M] 高等教育出版社1985年6月 [11]李海陶才德于文华经典哈密顿函数H向量子力学算符H?过渡的研究[J] 淮北煤炭师范学院学报V ol.26 No.3 Sep.2005 牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来使用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性和对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动和波模型。（科学计算技术和研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i q dt dq i /是广义速度；广义坐标和通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标和广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标和广义坐标的数目才是一样的,和坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能和势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能和势能之和 ),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ） 其中)(/i i q L p ??=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和 ?：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算 子。Strictly speaking, ?del is not a specific operator, but rather a convenient mathematical notation for those three operators, that makes many equations easier to write and remember. The del symbol can be interpreted as a vector of partial derivative operators, and its three possible meanings—gradient, divergence, and curl—can be formally viewed as the product of scalars, dot product, and cross product, respectively, of the del "operator" with the field. Δ、?2 or ?·?：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。 , grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。▽f= div F=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。 rot F 或curl F=? ×F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋 度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。 基本关系： 一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零： 波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得 （2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色 平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。 在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而， 粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法 根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展 开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分， 得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函 数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1） 第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程 组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数 哈密顿算符的运算规则 厦门大学物理系李明哲 【摘要］本文从哈密顿算符的定义出发，根据哈密顿算符的性质．给｜＿｝｛哈离顿算符完整、统…的运算规划，以克服现有物理教剩书中该算符运算规则升；…‘致的缺点，进而帮助学习者更好地掌握该算符。 【关键词】晗密顿算符运算规则场论 物理学中处理“场”的问题时，熟练掌握哈鬻顿算符非常关键。例如。本科《电动力学》整门谋程在菜种程度上可以说就是利用哈密顿算符的性质处理壹克斯市方程组的。该课程被物理系的本科生视为最难的谋私之。，实质原幽在于对晗密顿算符的运算掌握ａｉ好。所以，在正式学习该课程之前，总是需要先温习这部分知识。 然而，～些常用教科书（例如《电动力学》…）在舟绍哈密顿算符的运算规则时并没有给出宠籀、统一、清晰的规则，导致读肴不耪理解和掌握；而另外一然教科书（例如《经典电动力学》“）则直接将其列为公式，并未给山证明，读者遇到列出的公式之外的运算就无法进行，当然也就无法真正掌握。 本文希望能克服这一不足之处，从哈密顿算符豹定义出发，分析暗密顿算符的两个报本性质，并由此给出一套哈密顿算符的完整、统…的运算规则。 一、哈密顿算符的定义 哈密顿算符定义为： 甲＝磋＋瑶＋礓 ∞Ｗ∞ 由上图可以看出算符同时具有失罱性和微分性两个根本性质，所以在其运算过程中要同时ｊ主意这两方面的性质。由该定义，场的梯度、教度和旋度可以分别理解为算符Ｖ直接作用、点乘和义乘该场。 二、哈密顿算符的运算规则 根姑前商晗密顿算符的定义和性质的分析，哈密顿算符的运算规则为： 步骤１．根据口的微分性写成几项，在Ｖ的下标标明算符Ｖ作用于哪个函数上。 步骤２．将甲看成…．个矢量，利用失?９０?量和标量的性质重新排列，使得甲叫纠。【即舻＋∥ｌ纠（４１）墨繁慕嚣翌霈善ｖ㈤：嗽７＋四回㈣面。排列时注意汛注意各符号７够』２Ｖ掣；歹＋掣Ｖｊｑ纠荽嚣差耋篁嚣兰嚣置。和，。㈤书曲。刊ｖ。刁㈤Ｘ的位置；ｂ．注意正负号。…惮，一ｔ’…，“，１…～’“ｏ，…叫：≤凳耋耋耋０等萝二墓ｖ西司：ｉ婶ｘ７卜７ｐ函＂）三个运算步骤充分体现了哈密…叫。、 叫。㈩’’ 篓苎篓竺翌０警烹性质?以下举Ｆ×西裔：善形．（Ｖ疆＋ｐ裔再旷ｖ蓐（４５）例示范这三个步骤： …“”’…、……。。 步骤１．类似于做微分运算。例如： Ｖ啦曲＝口，缸¨＋已∞∽（２１） ｖ∞却，㈤＋ｖ㈤（２．２） ｖｘ∞＝Ｆ，ｘ∞＋Ｌ×∞ｏ．３） Ｖ晒＝Ｖ，嘲＋ｖ，黼儡４） ９ｘＢ西＝Ｄｘ｜７硝＋Ｖ。×∞西让５） 步骤２．常用的矢量性质有： 于将看成个矢量，然后还需注意正在 处理的是矢量和标量的点乘（标秘）和叉 乘（矢积）等逛算。它是有别于数乘的。掌 握了．匕述哈密顿算符的运葬规则，对物 理学中场的问题的处理就能够得心应手 了。 于喜＝ｇ，，／ｘｇ＝一ｇｘ， ７Ｅｘ茅）＝；Ｆ×动＝≯Ｆ×动，Ａ管×习：矿疆一萨蕊例如：Ｖ，扣囝十Ｖ，（￡ｆ计＝妒∥≯＋“０∽ｏ１） 甲，翰＋ｏ㈤＝帆∞丸妒，回（３２） ｏｘ㈤＋巧ｘ∞＝盹办丸毋，×另 ０ｘ够ｊ＋巧ｘ㈣＝Ｒ咖，十心，×力（３筇 ＬＶｘ鲫＋可ｌｐ×ｇ）＝ｇＰ，ｘ，Ｊ一，甲ｌｘ酣（３４）÷÷＿—｝｛，■～●—＊÷，．ｈ●＿＿ Ｖ，ｘ扩。ｇ）＋Ｖｊｘ矿。ｇｊ＝培，Ｖ，弦一ｐ，ｊ，）ｇ＋审，ｇ驴一ＶＶ，量（３５） 步骤３壤简单，抹玉的下标即可－所参考文献 以，由（２．１）～（２．５）和（３．１）一（３．５）得【１］郭硕鸿．电动力学【Ｍ】．北京：高总结；由以Ｌ哈密顿Ｖ算符的运算等教育出版社．１９９７ 规则的三个步骤可以看出，第二二步垠容【２］蘩圣善，束耘经典电动力学【Ｍ】，崭出错。在做这一步运算时茸先要习惯ｔ海：复旦夫学出版社，１９８５※ 万方数据 §7-4 哈密顿原理 人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律. 牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架. 哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架. 哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义. 一、变分法简介 1. 函数的变分. 自变量为x 的函数表示为)(x y y =. 函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化. 函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起 的. 这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ. 与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下: )()0,(),(* x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()x x y x y y εηε=?=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动. q t d d →函数的微分. 在曲线I 附近, 存在 着许多相邻曲线, 这些曲 线都满足力学系统的约束 条件, 称为可能运动曲线, 它们的方程表示为 ()()()t t q t q εηε+=0,,* 在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ, ()()()t t q t q q εηεδ=?=0,,* 哈密顿算符不同形式下的表达式 胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。 关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用 1.引言 在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符： V m p V T H +=+=2/????2 如果我们从波函数)?(r ψψ=出发，位置算符是空间矢量自身： r r =? 它的分量是 x x =? ，y y =? ， z z =? 动量算符表示为 ?-= i p ? 它的分量是 x i p x ??-= ? ，y i p y ??-= ? ，z i p z ??-= ? 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则?-→ i p 得到 V m H +?-=22 2? 在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。 2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式 2.1、极坐标下的哈密顿算符 极坐标中独立变量ρ、?与直角坐标中独立变量 x 、y 之间的关系： ?? ? ??=+=x y y x a r c t a n 22?ρ 图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有： ? ρ?ρ? ??ρρ?? - ??=????+ ????= ??s i n c o s x x x ? ρ?ρ ???ρρ?? + ??=????+????=??cos sin y y y x y ρ ? 算符函数及其应用 物理与能源学院物理学专业 106012011017 吴敬圣指导教师：林秀敏 【摘要】由于微观粒子具有波粒二象性，导致在量子力学中力学量必须用算符表示，因此研究算符函数具有重要意义。本文首先系统地阐述了算符、算符函数的定义及其在量子力学中的相关应用；接着基于算符代数的非对易特性，介绍算符和算符函数的几个常用公式；然后以受外场驱动的N个二能级原子与单膜腔场相互作用系统为例，说明如何利用算符函数对一个难以求出本征解的哈密顿量进行变换和简化，从而得到能求出本征解的有效哈密顿量，以此说明算符函数在处理量子系统问题时的重要作用。 【关键词】算符；算符函数；哈密顿量 1引言 量子力学是描述微观粒子运动规律的一门学科。由于微观粒子具有波粒二象性，所以在量子力学中，微观粒子的状态不能再采用与描述经典粒子相同的方式去描述[1]，而必须用波函数描述。如果已知波函数的具体形式，那么粒子在空间各点出现的概率即可求出。同样地，微观粒子的波粒二象性也决定了量子力学中各力学量（如坐标、动量、角动量等）的性质不同于经典物理中的力学量[2]。经典物理中各力学量在一切状态下都具有确定值，但在量子力学中力学量可能有多种可能值，且力学量之间可能存在相互制约关系，如坐标和动量就不可能同时具有确定值。因此，量子力学中力学量的描述方式与经典方式不同，必须采用算符方式描述[3-5]。 算符代数与普通代数之间的最大区别在于：算符的顺序是有意义的，而普通代数的顺序无关紧要，这一点使算符代数有着许多不同的运算性质[6-8]。力学量在量子力学中是用算符表示的，往往是算符函数。因此，量子理论必须采用非对易代数来处理有关问题。众所周知，无论在量子光学还是在量子力学、量子场论、量子信息学中，往往需要求解哈密顿量的本征解，其体系的哈密顿量往往比较复杂，很难用解析的方法求出其本征解。但如果利用算符函数对其进行简化，那么就可以求解简化形式的近似解。如对大多数实际量子体系，其哈密顿算符本征值往往难以求解，我们必须借助算符函数对该哈密顿算符进行变换和化简，得到可以求解出本征值的有效哈密顿量。前人对于算符已经进行了许多讨论，例如算符的运算[9]、量子态的叠加性质[10]、力学量与算符的关系[11]等等。同时，已有许多文献在具体求解时使用了算符函数[12-14]。因此，系统探讨算符函数及其应用对处理量子系统实际问题具有重要的意义。为了更好地体现算符函数在处理实际量子问题的重要作用，本文就利用一个具体的例子，详细阐述如何利用算符函数求解量子系统问题。 2算符 2.1 算符 所谓算符，就是使问题从一种状态变化为另一种状态的手段[15-16]。从数学上看, 算符被定义为由一个函数集向另一个函数集的映射，即指作用在一个函数上得到另一函数的运算符号，其单独存在时并没 有什么意义。如微分算符d dx 作用在函数() u x上就代表对() u x的求微分运算，其数学表达式为 () du x dx 。 2.2 量子力学中的力学量算符及其运算规则 由于微观粒子具有波粒二象性，导致在量子力学中引入算符来表示微观粒子的力学量。众所周知， １ 哈哈密密顿顿原原理理作作业业 1.如图示，质量为m 的复摆绕通过某点O 的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为0I ，质心C 到悬点O 的距离为 ，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振 动周期。 1.解:取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为： θ+θ=-=cos mg I 21 V T L 2 0 其中取悬点O 为零势能点。 于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ?可得：0dt cos mg I 2 121t t 20=??? ??θ+θδ? 即：()0dt sin mg I 2 1t t 0=θδθ-θδθ ? 而δθθ-δθθ=δθθ=θδθ 0 000I )I (dt d )(dt d I I 则：()0dt sin mg I )I (dt d dt sin mg I 212 1t t 00t t 0=??? ??θδθ-δθθ-δθθ=θδθ-θδθ ?? 即：()0dt sin mg I I 212 1t t 0t t 0=δθθ+θ-δθθ ? 而0I 21t t 0=δθθ ，δθ取任意值 所以：0sin mg I 0=θ+θ 即：0sin I mg 0=θ+θ 而θ≈θsin ，则:0I mg 0 =θ+θ ，此即为所求的运动方程。 其中角频率0I /mg =ω 所以振动周期)mg /(I 2/2T 0 π=ωπ=。 2.试用哈密顿原理求质量为m 的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。 2.解:取x,y,z 为广义坐标，则： 体系的动能)z y x (m 2 1 T 222 ++= 势能mgz V =（以地面为零势能点） 拉氏函数mgz )z y x (m 21 V T L 222-++=-= 第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到 1哈密顿原理 牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和 牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中， 真实运动的主函数具有 稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时） ； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数 L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量 ),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，i q dt dq i /是广义速 度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上 运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有 ,两 个，其中cos sin R x ，cos ,sin sin R z b R y ；一 般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐 标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势 能之差；U T L 哈密顿量H 第八章 经典力学的哈密顿理论 教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。 教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。 教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。 §8.1 正则共轭坐标 坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。 一：坐标的发展历史. 1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用 z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变， 用k j i ,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。 2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变 矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v ,等物理量。从直角坐标到极坐 标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。 下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。 简单的论述哈密顿原理 摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。 关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程 1.引言 哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间至 之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为 什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。 2.理论 2.1变分运算与积分运算次序的可交换性 假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称 为函数的泛函，记作［］。泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即 显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发生变化，则曲线的形状随 之变化，曲线的长度也随之变化。长度就是的 泛函。 下面证明变分运算与积分运算顺序的可交 换性，该泛函只依赖一个函数，即 自变量为的函数表示为。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由自变量的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。与函数临近但形 式与不同的函数有许多。 假设这些函数可以表示为如下的形式： 其中是非常小的参数，是任意给定的可微函数，因时，函 数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成 引入（2）式的记法（1）可记为 被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数 的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分，记作。现将被积函数 第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 22 1??,2Q F Q F i σσ????≥ ????? 2. 广义统计诠释 设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 *()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 5.3 量子力学算符 1.算符及其运算 算符(operator)是代表进行某种运算规则的一种符号。例如，数学算符ln 、x d d 等，其所进行的运算规则大家是熟悉的。算符的作用是：算符作用在一个函数上，得到一个新函数。如函数f ＝x ２则算符x d d 作用其上即x f x f 2'd d ==。令A ?表示一个任意的算符(即用“∧”来标记算符)，如果A ?将函数f (x )变成新函数g (x )，就可写成)()(A ?x g x f =。 算符的运算是：若两个算符相加，即)(B ?)(A ?def )()B ?A ?(x f x f x f ++；两个算符相乘，即)](B ?[A ?def )()B ?A ?(x f x f ；一个算符的平方，则是)](A ?[A ?def )(A ?2x f x f ；算符的乘法 是结合的，即)C ?B ?(A ?C ?)B ?A ?(=；算符的乘法和加法是分配的，即C ?A ?B ?A ?)C ?B ?(A ?+=+；若算符A ?与B ?不是对易的，必有A ?B ?B ?A ?≠；若算符A ?和B ?是对易的必有A ?B ?B ?A ?=。 2.量子力学算符 在量子力学中，系统的每一个力学量都有一个相应的算符。如坐标x 的算符X ?，动量Ｐx 的算符x P ?，势能Ｖ的算符V ?。不同的力学量算符对波函数的作用方式不同。如ψψx =X ?，x i x ??=ψψ P ?。 利用算符可非常方便地表示量子力学公式。如???? ????+??+???2222222 def z y x 叫拉普拉斯算 符（laplace operator), ?? ????+?-V ?2def H ?22m 叫哈密顿算符(Hamilton operator)，利用这些算符则定态薛定谔方程式(5-１１）可简化地表示成 ψψE m =?? ????+?-V ?222 （5-１５） 或ψψE =H ? （5-１６） 3.本征方程 若一个算符作用在一个函数上的结果是一个与该函数成比例的函数，则此函数就称为该算符的一个本征函数（eigen function)，而比例常数为本征值(eigenvalu)，该方程式则叫 本征方程（eigen equation)。如方程(5-１６）就是一个本征方程，ψ则为算符H ?的本征函数，而E 为算符的本征值。 梯度算子（Gradient Operator ，?）、Hamiltonian 与偶极子 p ? 是p 的梯度，是一位梯度 dy dx 的一般形式。它与dy dx 类似，但遵循矢量运算法则（如矢量的加，减，乘积）和操作符法则（如微商，微分）。梯度算子的基本属性如下： 1. p p p p i j k x y z ????= ++??? 2. 1 2 2 2 2 p p p p x y z ??????????????=++ ? ? ?????????????? 3. p i p x ???= ? （给出了p 在i 方向的变化速率） 4. cos a p a p θ??=? （是p 在a 方向的变化速率，即 p a ??，也叫方向微分） 从以上性质可以看到：p ? 是一个矢量，它的模和方向给出了p 的最大变化速率及最大梯度的方向。例如： 对于气压p ，如果我们做出等高线： p ? 从低压指向高压，而气压力p -? 则由高压指向低压 p ?的最后两个性质： 5. p ?指向更大的p 值 6.? 是一个常量，它与坐标轴位置和方向无关。在笛卡尔坐标系和圆柱坐标系的p ?是相同的矢量，只是它们的分量不同。例如： 考虑气压2p x = ，则2dp F p i xi dx =-?=- =- ? 与?的点积是拉普拉斯算子2? ，在三维笛卡尔坐标系中拉普拉 斯算子为： 222 2 222x y z ????=++??? 在量子力学中，Hamiltonian 是对映于系统总能量的算符，用H 、 H ∨ 或H ∧ 表示。因为 Hamiltonian 与系统的时间演化相关，故 Hamiltonian 在量子理论中极其重要。 薛定谔哈密顿量： 对一个粒子，类似于经典力学，Hamiltonian 表示为几个操作符的和，对应于系统的动能与势能： H T V =+ 其中，()V V r t =+是势能操作符，2 2 2222p p p T m m m ?= ==-? 是动能操作符，动量p i =-? 是动量操作符，? 是梯度算子，2? 是拉普拉斯算子。因此，波函数(,)r t ψ 描述的系统的薛定谔方程为： 2 2(,)2(,) 2H T V p p V r t m V r t m =+?= +=- ?+ 对N 个粒子组成的体系，薛定谔哈密顿算符为： 2212121111 (,,...,,)(,,...,,)22n n n n n n n n n i i i n n p p H T V V r r r t V r r r t m m ===?=+=+=-?+∑∑∑ 对于粒子间存在相互作用的多粒子体系，动能会存在交叉项 2 2i j M - ??? 对于没有粒子间相互作用的多粒子体系，哈密顿算符的一般形式为： 2 222 11111()22n n n n i i i i i i i i i i i H V V H m m =====-?+=-?+=∑∑∑∑ 薛定谔方程： Hamiltonian 产生量子态的时间演化，用()t ψ 来描述t 时刻系统的状 自主学习01 教材内容 第三章力学量与算符 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测 重点难点 通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定 的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3) 48 第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2 k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数1哈密顿原理
算子总结;哈密尔顿算子;拉普拉斯算子
波函数和薛定谔方程-力学量算符
7第5章哈密顿原理
哈密顿算符的运算规则
哈密顿原理
哈密顿算符不同坐标下的表示
算符函数及其应用..
5.7哈密顿原理作业
量子力学 第二章 算符理论
1哈密顿原理
1哈密顿原理-新版.pdf
经典力学的哈密顿理论.
简单的论述哈密顿原理
量子力知识学知识题解答-第3章
量子力学算符
梯度算子 哈密顿算符 偶极子
自主学习01 教材内容 第三章 力学量与算符
7第5章哈密顿原理