山西省大同一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
山西省大同一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
一．选择题：（每小题3分，共36分）
1．（3分）“a＞0”是“a2＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（3分）双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
3．（3分）已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）
A．3B．4C．6D．8
4．（3分）若双曲线﹣=1上一点P到它的右焦点距离是9，那么点P到它的左焦点的
距离是（）
A．17 B．17或1 C．4+9 D．以上都错
5．（3分）如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）
A．2B．12 C．8D．4
6．（3分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）
7．（3分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是，则点M的横坐标是（）
A．B．C．a+p D．a﹣p
8．（3分）对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或￢q是真命题；
②p且￢q是真命题；
③￢p且￢q是假命题；
④￢p或q是假命题．
其中真命题是（）
A．①②B．③④C．①③D．②④
9．（3分）设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（）
A．=1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D．+=1
10．（3分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为
，则这个球的表面积为（）
A．4πB．16πC．48πD．64π
11．（3分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2015（x）=（）
A．s inx B．﹣sinx C．c osx D．﹣cosx
12．（3分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．（4分）f（x）=ax3﹣2x2﹣3，若f′（1）=5，则a等于．
14．（4分）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是．
15．（4分）双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为．16．（4分）直线3x﹣4y﹣4=0被圆（x﹣3）2+y2=9截得的弦长为．
17．（4分）已知P是椭圆+=1上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，
PB的斜率分别为k1，k2，则k1?k2的值为．
三、解答题
18．（10分）动点P到定点D（1，0）的距离与到直线l：x=﹣1的距离相等，动点P形成曲线记作C．
（1）求动点P的轨迹方程
（2）过点Q（4，1）作曲线C的弦AB，恰被Q平分，求AB所在直线方程．
19．（10分）设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：?x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
（2）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知直线l1为曲线y=f（x）=x2﹣x+2在点（1，2）处的切线，l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2．
求（1）直线l1，l2的方程；
（2）求由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．
21．（12分）已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），离心率e=．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与椭圆交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；（3）若直线l：y=x+m，若l与椭圆交于两个不同的点A和B，且使?=0，问这样的直线存在吗？若存在求m的值，若不存在说明理由．
山西省大同一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题3分，共36分）
1．（3分）“a＞0”是“a2＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：证明题；不等式的解法及应用．
分析：根据不等式的性质，可得一个正数的平方一定是正数，而平方为正数的数不一定是正数，由此即可得到本题答案．
解答：解：当a＞0时，必定有a2＞0成立，故充分性成立；
当a2＞0时，说明a≠0，不一定有a＞0成立，故必要性不成立．
故选：A
点评：本题给出关于正数的不等式性质的条件，判断充分必要条件．着重考查了不等式的基本性质和充要条件的判断等知识，属于基础题．
2．（3分）双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．
解答：解：由题得，a=4，b=3，
且焦点在x轴上；
所以渐近线方程为y=x=．
故选C．
点评：本题考查双曲线的渐近线方程．在求双曲线的渐近线方程时，一定要先判断焦点所在位置，再代入公式，避免出错．
3．（3分）已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）
A．3B．4C．6D．8
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：判断椭圆的焦点坐标所在的轴，然后求解长轴长即可．
解答：解：椭圆的方程为+=1，焦点坐标在x轴．
所以a=4，2a=8．
此椭圆的长轴长为：8．
故选：D．
点评：本题考查椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查．
4．（3分）若双曲线﹣=1上一点P到它的右焦点距离是9，那么点P到它的左焦点的
距离是（）
A．17 B．17或1 C．4+9 D．以上都错
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的a，b，c，判断P位于右支上，再由双曲线的定义，即可得到P到左焦点的距离．
解答：解：双曲线﹣=1的a=4，b=2，c==6，
设左右焦点为M，N，则|PN|=9，
由c﹣a=2，c+a=10，2＜9＜10，
则P在双曲线的右支上，
即有双曲线的定义可得，|PM|﹣|PN|=2a=8，
即有|PM|=8+9=17．
故选A．
点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查运算能力，确定点P位于右支上是解题的关键．
5．（3分）如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）
A．2B．12 C．8D．4
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率就是函数y=f （x）在该点的导数值，因此可求得f′（5），再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得f（5），则f（5）+f′（5）可求．
解答：解：根据图象知，函数y=f（x）的图象与在点P处的切线切于点P，
∴f（5）=﹣5+8=3，
又f′（5）为函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率，
∴f′（5）=﹣1，
则f（5）+f′（5）=3﹣1=2．
故选：A．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
6．（3分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）
考点：椭圆的定义．
专题：计算题．
分析：先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．
解答：解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
点评：本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
7．（3分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是，则点M的横坐标是（）
A．B．C．a+p D．a﹣p
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|MF|=a，则M到准线的距离也为a，即点M的横坐标x+=a，进而求出x．
解答：解：∵抛物线y2=2px，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=a=x+=a，
∴x=a﹣，
故选B．
点评：活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
8．（3分）对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或￢q是真命题；
②p且￢q是真命题；
③￢p且￢q是假命题；
④￢p或q是假命题．
其中真命题是（）
A．①②B．③④C．①③D．②④
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：先判断命题p，q的真假，然后判断￢p，￢q的真假，并判断由逻辑连接词“或“，“且“，连接的复合命题的真假．
解答：解：∵p且q为真命题；
∴p，q都为真命题；
①p或￢q是真命题，正确，∵p和￢q中，p是真命题；
②p且￢q是真命题，错误，∵p和￢q中，￢q是假命题，∴p且￢q是假命题；
③￢p且￢q是假命题，正确，∵￢p和￢q都为假命题；
④￢p或q是假命题，错误，∵￢p和q中q是真命题，∴￢p或q是真命题．
∴其中真命题是：①③．
故选：C．
点评：考查由“且“，“或“连接的复合命题p且q，p或q的真假和命题p，q真假的关系，p和￢p真假的关系．
9．（3分）设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（）
A．=1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D．
+=1
考点：轨迹方程．
专题：直线与圆．
分析：可以取AB的中点M，根据三角形ABO是直角三角形，可知OM=2是定值，故M 的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆．问题获解．
解答：解：设M（x，y），因为△ABC是直角三角形，所以||OM|=定值．
故M的轨迹为：以O为圆心，2为半径的圆．
故x2+y2=4即为所求．
故选B
点评：本题考查了圆的轨迹定义，一般的要先找到动点满足的几何条件，然后结合曲线的轨迹定义去判断即可．然后确定方程的参数，写出方程．
10．（3分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为
，则这个球的表面积为（）
A．4πB．16πC．48πD．64π
考点：球内接多面体；球的体积和表面积．
专题：计算题．
分析：求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．
解答：解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，
所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．
所以这个球的表面积：4π×22=16π．
故选B．
点评：本题考查球内接多面体，球的体积和表面积的求法，考查计算能力．
11．（3分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2015（x）=（）
A．s inx B．﹣sinx C．c osx D．﹣cosx
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，即可得到结论．
解答：解：由题意f0（x）=sinx，
f1（x）=f0′（x）=cosx，
f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，
f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，
f4（x）=f3′（x）=sinx，
由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx
故选：D．
点评：本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．
12．（3分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
考点：椭圆的标准方程．
专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
解答：解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC=2，AB+AC=6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，b=2，
所以椭圆的标准方程是．
故选A．
点评：本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．（4分）f（x）=ax3﹣2x2﹣3，若f′（1）=5，则a等于3．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：求函数的导数，让x=1，建立关于a的方程，即可求解．
解答：解：∵f（x）=ax3﹣2x2﹣3，
∴f'（x）=3ax2﹣4x，
∴f′（1）=3a﹣4=5，
∴a=3．
故答案为：3
点评：本题主要考查导数的计算和求值，属于基础题．
14．（4分）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题．
分析：根据题中的抛物线方程并且结合抛物线的有关定义可得：焦点坐标为（，0），
准线方程为x=，进而得到答案．
解答：解：由题意可得：抛物线的方程为y2=10x，
所以根据抛物线的定义可得：焦点坐标为（，0），准线方程为x=，
所以抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5，．
故答案为：5．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的有关定义以及抛物线的方程．
15．（4分）双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由双曲线可得渐近线方程为．由于两条渐近线互相垂直，可得，解得a=b．即可得到该双曲线的离心率e=．
解答：解：由双曲线可得渐近线方程为．
∵两条渐近线互相垂直，
∴，解得a=b．
该双曲线的离心率e==．
故答案为：．
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．
16．（4分）直线3x﹣4y﹣4=0被圆（x﹣3）2+y2=9截得的弦长为4．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求．
解答：解：根据圆的方程可得圆心为（3，0），半径为3
则圆心到直线的距离为=1，
∴弦长为2×=4，
故答案为：4．
点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，利用勾股定理求得答案．
17．（4分）已知P是椭圆+=1上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1?k2的值为﹣．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设P（x0，y0），利用斜率公式及P在椭圆上求得k1和k2的解析式，从而计算出k1?k2的值．
解答：解：由题意得，b=2，a=2，
设P（x0，y0）（y0≠0），A（﹣2，0），B（2，0），
则=1，即y02=4（1﹣），
则k1=，k2=，
即k1?k2===﹣，
∴k1?k2为定值﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，解答关键是利用直线的斜率求出表达式后化简得到定值．
三、解答题
18．（10分）动点P到定点D（1，0）的距离与到直线l：x=﹣1的距离相等，动点P形成曲线记作C．
（1）求动点P的轨迹方程
（2）过点Q（4，1）作曲线C的弦A B，恰被Q平分，求AB所在直线方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）先设P（x，y），由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，写出其标准方程即可；
（2）设出A（x1，y1），B（x2，y2），将两点坐标代入抛物线方程，两个等式相减得到中点的坐标与斜率的关系，求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．
解答：解：（1）设P（x，y），
由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，
其方程为：y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，
两式相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）
∵过点Q（4，1）作曲线C的弦AB，恰被Q平分，
∴8（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
∴K AB=
直线AB方程：y﹣1=（x﹣4），即x﹣2y﹣2=0．
点评：本题主要考查了抛物线的定义，考查直线方程，解决直线与圆锥曲线相交得到的弦中点或中点弦问题，常规方法是：将直线与圆锥曲线的方程联立利用韦达定理解决；也可以用点差法来解决．
19．（10分）设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：?x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
（2）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
考点：复合命题的真假；双曲线的标准方程．
专题：简易逻辑．
分析：（1）解不等式求出m的范围即可；（2）求出q为真时的m的范围，从而得到p∧q 为真时的m的范围．
解答：解：（1）若命题p为真命题，
则m+1＜0，解得：m＜﹣1①，
（2）若命题p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，
∴方程x2+2mx+2﹣m=0有实数根，
∴△=4m2﹣8+4m≥0，解得：m≥﹣2+2或m≤﹣2﹣2②，
由①②得：m≤﹣2﹣2．
点评：本题考查了复合命题的真假的判断，考查了双曲线以及二次函数的性质，是一道基础题．
20．（12分）已知直线l1为曲线y=f（x）=x2﹣x+2在点（1，2）处的切线，l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2．
求（1）直线l1，l2的方程；
（2）求由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．
考点：直线的截距式方程；二次函数的性质．
专题：导数的概念及应用；直线与圆．
分析：（1）由y=f（x），求出f′（x），得出直线l1的斜率k1，求出直线l1的方程，再求出直线l2的方程；
（2）画出直线l1、l2及x轴所围成的三角形图形，结合图形，求出三角形的面积．
解答：解：（1）∵y=f（x）=x2﹣x+2，
∴f′（x）=2x﹣1，
当x=1时，直线l1的斜率为
k1=f′（1）=2×1﹣1=1；
∴直线l1的方程为y﹣2=1×（x﹣1），
即x﹣y+1=0；
又∵l1⊥l2，
∴k2=2x﹣1=﹣1，
解得x=0，
∴y=f（0）=2，
直线l2的方程为y﹣2=﹣1×（x﹣0），
即x+y﹣2=0；
（2）由直线l1、l2及x轴所围成的三角形如图所示；
由得A（，），
由得B（﹣1，0），
由得C（2，0）；
∴S△ABC=|BC|?y A=×|2﹣（﹣1）|×=．
点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了利用导数求曲线的切线问题，是综合性题目．
21．（12分）已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），离心率e=．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与椭圆交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；
（3）若直线l：y=x+m，若l与椭圆交于两个不同的点A和B，且使?=0，问这样的直线存在吗？若存在求m的值，若不存在说明理由．
考点：椭圆的简单性质．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得m；
（3）直线y=x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB??=0，即可求m值．解答：解：（1）由题意可得c=，e==，
又b2=a2﹣c2=4﹣3=1，
即有椭圆方程为+y2=1；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由题意得?x2+4（m+x）2﹣4=0?5x2+8mx+4m2﹣4=0（*）
所以x1+x2=﹣，x1x2=，
由题意可得|PQ|=?==2，
解得m=±；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由题意得?x2+4（m+x）2﹣4=0?5x2+8mx+4m2﹣4=0（*）
所以x1+x2=﹣，x1x2=，
y1y2=（m+x1）（m+x2）=m2+m（x1+x2）+x1x2=m2﹣m2+=，
由OA⊥OB??=0，得x1x2+y1y2=0，
即为+=0，解得m=±，
又方程（*）要有两个不等实根，△=（﹣8m）2﹣4×5（4m2﹣4）＞0，
﹣＜m＜，m的值符合上面条件．
所以m=±．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，以及弦长公式，和直线垂直的条件，化简整理，属于中档题．