云南省玉溪一中2016届高三上学期期中考试数学(理)试卷

玉溪一中2015——2016学年上学期高三年级期中考 （理科数学）试题 命题人：康皓岚 姚艳萍

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．若集合==+-==B A x x x B A 则},065{},3,2{2

（ ）

A ．{2，3}

B ．φ

C ．2

D ．2，3

2．若复数z 满足1zi i =-,则z 的共轭复数是 ( )

A ．1i --

B ．1i -

C ．1i -+

D ．1i +

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 4.设3cos ,3log ,log 3===c b a ππ，则（ ）

A ．c a b >>

B ．a b c >>

C ．b c a >>

D ．c b a >>

5．已知}{n a 为等差数列，若π5951=++a a a ，则)cos(82a a +的值为( )

A. 21-

B. 23-

C. 2

1

D. 23

6.给出下列命题：

①若直线l 与平面α内的一条直线平行，则//l α；②若平面α⊥平面β，且l αβ= ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β；③()03,x ?∈+∞，()02,x ?+∞；④已知

R a ∈，则“2a <”是“22a a <”的必要不充分条件．其中正确命题有（ ）

A ．②④

B ．①②

C ．④

D ．②③

7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园。为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )

A ．12种

B ．24种

C ．36种

D ．48种

8.设点P 是曲线3

2

3

y x =+上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A ．??

????ππ，32 B ．???

??ππ652， C ．?????????????πππ，，6520 D ．??

???????????πππ，，3220 9．如右图是李大爷晨练时所走的离家距离)(y 与行走时间)(x 之间的函数关系图，若用黑点

表示李大爷家的位置，则李大爷散步行走的路线可能是（ ）

10.若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤??

-≤??+-≥?

，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实

数a 的值是（ ）

A ．2-

B ．0

C ．1

D ．2

11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>与抛物线2

8y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的

一个交点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( )

A

B ．2 C

D ．3 12．设直线l 与曲线3

()21f x x x =++有三个不同的交点A 、B 、C ，且|AB|=|BC|=，则

直线l 的方程为（ ）

A ．51y x =+

B ．31y x =+ C

．1y =+ D ． 41y x =+

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设0

(sin cos )k x x dx π

=

-?

，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，

则1238a a a a +++???+= .

14. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶 点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

15．已知D 为三角形C AB 的边C B 的中点，点P 满足

C 0PA +BP +P = ，

D λAP =P

，则实数λ的值为

16．数列{}n a 的通项22

2(cos sin )33

n n n a n ππ

=-，其前n 项和为n S ，则30S 为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+ （1）求角A 的大小；（2）若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长。

18．（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱111C C AB -A B 的 各条棱长均为a ，D 是侧棱1CC 的中点．

()1求证：平面1D AB ⊥平面11ABB A ；

()2求平面1D AB 与平面C AB 所成二面角（锐角）的大小．

19．（本小题满分12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人。

求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；

（2）选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望。

20.（本小题满分12分）如图，椭圆C :22

221x y a b

+=（0a b >>）经过点()0,1，离心率

e =． ()1求椭圆C 的方程；

()2设直线1x my =+与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为'A （'A 与B 不

重合），则直线'A B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

21. （本小题满分12分）已知函数()2

1

ax b

f x x +=

+在点()()1,1f --处的切线方程为30x y ++=.

（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()[)ln 1,g x x x =∈+∞，当时，求证：()()g x f x ≥； （3）已知0a b <<，求证：

2

2

ln ln 2b a a

b a a b

->-+.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。

22. 选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，曲线2

3

)3

cos(:),0(cos 2:=

->=π

θρθρl a a c ，l c 与有且仅有一个公共点．

（1）求a ；

（2）O 为极点，B A ,为曲线c 上的两点，且3

π

=∠AOB ，求OB OA +的最大值．

23.选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|5||3|f x x x =-+-.

（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b 满足

11a b +=，求证：2212

m a b

+≥.

玉溪一中2015——2016学年上学期高2016届数学

（理科）期中考试题参考答案

13. 0 14. π16 15. -2 16. 470 17．解：(1) ,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=>

2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=

1cos 23

A A π

?=

?=…………6分

(2) 2222222cos 2

a b c bc A a b a c B π

=+-?=

?=+?=

在Rt ABD ?

中，AD ===

…………12分 18．(l)证明：取1AB 的中点E ，AB 的中点F ．连结DE EF CF 、、． 故11//

2EF BB ．又11

//.2

CD BB ∴四边形CDEF 为平行四边形，∴DE ∥CF ．又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱．△ABC 为正三角形．CF ?平面ABC ，

1,CF BB CF AB ∴⊥⊥，而1AB BB B = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又DE ∥CF ，DE ∴⊥平面11ABB A ．

又DE ?平面1AB D ．所以平面1AB D ⊥平面11ABB A ．…………………………6分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则

1,0),(0,,0),(0,,),(0,0,),(0,0,0)22a a

A C a D a

B a B

得1(,),(,)222

a a a AB a AD =-=

设(1,,)n x y =为平面1AB D 的一个法向量．

由1(1,,)(,)0,2(1,,)(,)0,22a

n AB x y a a a n AD x y ??=?-=???

??=?=??

得，x y ?=

???

?=??

即n = 显然平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m ．

则cos ,m n ==，故,4m n π=． 即所求二面角的大小为4

π

………………12分

（此题用射影面积公式也可；传统方法做出二面角的棱，可得AB B 1∠即为所求） 19.解（Ⅰ）解：设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件A ，“恰好

选出1名语文教师和2名英语教师”为事件A 1“恰好选出2名语文教师“为事件A 2，”恰好取出3名语文教师”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3而

,403)(310

23

131=C C C A P P(A 2)=P(X=2)= 407,P(A3)=P(X=3)=

1201,…………3分

所以选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为 P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=

403+407+1201=120

31…………5分 （Ⅱ）解：由于从10名教师中任选3人的结果为3

10C ，从10名教师中任取3人，其中恰有k 名语文教师的结果数为337k k

C C -，

那么从10人任选3人，其中恰有k 名语文教师的概率为P(X=k)= C C C k

k

3

10

373-,k=0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列是

…………10分 X 的数学期望EX=10

9120134072402112470=?+?+?+?…………12分

20．解：(1)依题意可得2221,,b c

a

a b c =??

?=???=+?，解得2,1a b ==． 所以，椭圆C 的方程是2

214

x y +=……………………4分

(2)由22

141x y x my ?+=???=+?

得22(1)44my y ++=，即22

(4)230m y my ++-= ……………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y

则11'(,)A x y -．且121222

23

,44

m y y y y m m +=-=-++．…………………7分 经过点11'(,)A x y -，22(,)B x y 的直线方程为11

2121

y y x x y y x x +-=

+-． 令0y =，则212111122112

11211212

()()x x x x y x y y x y x y x y x y y y y y y --+++=+==

+++………………9分 又11221,1x my x my =+=+ ．

∴当0

y =时，

22211212121212

2

62(1)(1)2()

44424

m m

my y my y my y y y m m x m y y y y m -

-

+++++++=

==

=++-+

这说明，直线'A B 与x 轴交于定点(4,0)………………………………………12分 21、解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ， ∴21

1)1(-=+-=

-a

b f ，………1分 化简得4-=-a b . 2

22)

1(2)()1()(x x

b ax x a x f +?+-+='，……………2分12

424)(22)1(-===-+=

-'b

b a b a f ，

解得：2,2-==b a .∴1

2

2)(2+-=x x x f . …………4分

（Ⅱ）由已知得12

2ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立，

化简22ln )1(2

-≥+x x x ，即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立.…………5分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21

ln 2)(-++='x

x x x x h ， …………6分 ∵1≥x ∴21

,

0ln 2≥+

≥x

x x x ，即0)(≥'x h ， ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ……8分

（Ⅲ）∵b a <<0， ∴1b

a

>，由（Ⅱ）知有222ln ()1b b a b a a

->+， ……10分

整理得222ln ln b a a a b a b +>--，∴当b a <<0时，2

22ln ln b

a a

a b a b +>--. …………12分 22.解答： 解：（Ⅰ）曲线C ：ρ=2acos θ（a ＞0），变形ρ2

=2ρacos θ，化为x 2

+y 2

=2ax ，即（x ﹣a ）2+y 2=a 2

．

∴曲线C 是以（a ，0）为圆心，以a 为半径的圆； 由l ：ρcos （θ﹣

）=，展开为

，

∴l 的直角坐标方程为x+y ﹣3=0．

由直线l 与圆C 相切可得

=a ，解得a=1．…………5分

（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ+，

则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos （θ+

）

=3cos θ﹣sin θ=2cos （θ+），

当θ=﹣

时，|OA|+|OB|取得最大值2

．…………10分

23、解：（Ⅰ）∵()|5||3|532f x x x x x =-+-≥-+-=，………………………………2分 当且仅当[3,5]x ∈时取最小值2， 2m ∴=．………………………………………………5分

（Ⅱ）222

22121(

)[1](13a b a ++≥?+= ，……………………………………7分

222123

()2a b ∴+?≥，………………………………………………………………………8分 ∴22

122a b +≥………………………………………………………………10分