第96-100课时学案统计与概率部分

§96 抽样方法

【考点及要求】

1．通过实际问题情境理解随机抽样的必要性和重要性，并了解从总体中抽取样本的三种基本方法；

2．通过实例了解分布的意义和作用，会用样本的频率分布估计总体。

【基本训练】

1．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适?

(1)从20台彩电中抽取4台进行质量检查；

(2)科学会堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为0l一40)，一次报告会坐满了听众，会后为了听取意见，拟留下32名听众进行座谈；

(3)实验中学有180名教工，其中有专职教师144名，管理人员12名，后勤服务人员24名，今从中抽取一个容量为15的样本．

2．为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽出一容量为100的样本，则每个样本被抽到的概率是

3．一个单位有职工360人，其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人，为了了解职工的住房情况，要从中抽取一个容量为30的样本，若采用分层抽样的抽样方法，则应从后勤人员中抽取人

4．一个总体中有100个个体，随机编号为0，l，2，…，99，依编号顺序平均分成l0个小组，组号依次为l，2，3，…，l0．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第l组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是．

5．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示：

组号 1 2 3 4 5 6 7 8

频数10 13 14 14 15 13 12 9

第3组的频率和累积频率分别为

6．下图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据回答下列问题：

(1)样本数据落在[2，6)内的频率为；

(2)样本数据落在[6，10)内的频数为．

【典型例题】

例1．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计．绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：l，第三组的频数为12，请解答下列问题：

(1)本次活动共有多少件作品参加评比?

(2)哪组上交的作品数最多?有多少件?

(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率最高?

例2．为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面地反映实际问题，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．

①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；

②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成绩；

③把学校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别。从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．

根据上面的叙述，试回答下列问题：

(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少?

(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法?

作业

1．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在抽取20人进行分层抽样，各年龄段人数分别是

2．从存放号码分别为l，2，…，l0的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：

则取到的号码为奇数的频率是

3．将一个总体的100个个体编号为0，1，2，3，…，99，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，…，9，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组(号码为0—9)随机抽取的号码为2，则所抽取的10个号码为

4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如右图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000)(元)月收入段应抽出人．

5．采用简单随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，每个个体被抽到的可能性为

6．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为

7．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员。就这个问题，以下几种说法（1）2000名运动员是总体；（2）每个运动员是个体；（3）所抽取的100名运动员是一个样本；（4）样本容量为100；（5）每个运动员被抽到的概率相等；（6）这个抽样可采用按年龄进行分层抽样。其中正确的序号有：

8．如图所示的是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布直方图，根据图形提供的信息，回答下列问题：

(1)该单位共有职工多少人?

(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的百分比是多少?

(3)如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有多少人?

§97-98用样体估计总体

【考点及要求】

1．会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数字特

征的方法；

2．理解样本数据平均数、方差及标准差的意义和作用，能用样本特征数估计总体的情况。

【基本训练】

1．已知一组数据为20、30、40、50、50、60、70、80，其平均数、中位数和众数分别为

2．已知5个数据3，5，7，4，6，则该样本标准差为

3．如果数据n x x x ,,,21 的平均数为x ，方差为S 2，则32,,32,3221+++n x x x 的平均数和方差分别为

4．某商贩有600千克苹果出售，有以下两个出售方案：

①分成甲级200千克，每千克售价2.40元，乙级400千克，每千克售价1.20元； ②分成甲级400千克，每千克售价2.00元，乙级200千克，每千克售价1.00元。

两种出售方案的平均价格分别为1x 和2x ，则1x 与2x 的关系为

5．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N 那么N

M 为

6．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9，已知这组数据的

平均数为10，方差为2，则||y x -的值为

例题讲解

例1．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下： 甲的得分：12，15，24，25，3l ，31，36，36，37，39，44，49，50； 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59． (1)制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；

(2)计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性； (3)能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么?

例2．为了解某校初中毕业男生的体能状况，从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试，把所得数据(精确到0．1米)进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如下图)已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．

(1)请将频率分布直方图补充完整；

(2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人?

(3)若成绩在8．0米以上(含8．0米)的为合格，试求这次铅球测试的成绩的合格率；

(4)在这次测试中，你能确定该校参加测试的男生铅球成绩的众数和中位数各落在哪个小组内吗?

作业

1．如果两组数n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 的样本平均数分别是x 和y ，那么一组数

n n y x y x y x +++,,,2211 的平均数是

2．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是S ，后来发现记录有误，某甲得70分误记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为S 1，则S 与S 1之间的关系是

3．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数是

，方差是

．

4．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地西瓜约600个，在西瓜上市时随机摘了10个成熟的西瓜，称得如下：

西瓜质量（单位：千克） 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜数量（单位：个） 1 2

3

2

1

1 则这10个西瓜的平均质量是

千克，这亩地西瓜产量约是

千克。

5．已知一个样本1，3，2，5，x ，若它的平均数是3，则这个样本的标准差为

6．一教练员出了一份含有3个问题的测验卷，每个问题1分。班级中30%的学生得了3分；50%的学生得了2分；10%的同学得1分；另外还有10%的学生没得分。

（1）如果班级中有10人，平均分是多少？

（2）不告诉你班级中有多少人，你能算出平均得分吗？

7．下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数。试分析一下这个班级学习情况。

男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94 女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97。

8．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一次从网中取出40条，称得平均每条鱼重2.5kg；第二次网出25条，称得平均每条鱼重2.2kg；第三次网出35条，称得平均每条鱼重2.8kg，请你根据这些数据，估计鱼塘中的鱼的总重量约是多少？

§99．古典概型

【考点及要求】

1．了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义；了解概率的统计定义以及频

率与概率的区别。

2．理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式。

【基本训练】

1．在10件同类产品中有8件正品和2件次品，现从中任意抽出3件，则以下几个事件：①3件都是正品②至少有1件是正品③3件都是次品④至少有1件是次品。其

中为随机事件的有__________________.（填序号）

2．书架上有6本语文书，9本数学书，从中任取一本，则取出的书是语文书的概率为

________________.

3．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大

于40的概率是_______________.

4．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率为_______________.

5．一个三位数字的密码锁，每位上的数字都可在0到9这十个数字中任选，某人忘

记了密码的最后一个号码，开锁时在对好前两位数码后，随意拨动最后一个数字恰好能开

锁的概率为_______________.

6．在9张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，将它们混和后，再任意

排成一排，则得到的九位数能被2或5整除的概率是_______________.

7．从鱼塘中打一网鱼共m条，做上记号后放回塘中，又打了一网鱼共n条，其中k

条有记号，估计鱼塘中鱼的条数为_________________.

【典型例题】

例1、某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示：

抽取球数50 100 200 500 1000 2000 5000 优等品数45 92 194 470 954 1902 4740 优等品频率

（1）计算表中乒乓球优等品的频率；

（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率约是多少？

例2、每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）.

（1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；

（2）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率.

例3、将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，求下列事件的概率：

（1）三面涂有颜色；（2）恰有两面涂有颜色；（3）恰有一面涂有颜色；（4）至少有一面涂有颜色.

例4、盒中有10个晶体管，其中2个是次品，每次随机地抽取1只，做不放回抽样，连续抽两次，求下列事件的概率.

（1）2个都是正品；（2）1个正品，1个次品；（3）第二次抽取的是次品.

作业

1．某厂产品的合格率约为98%，该厂生产的8000件产品中不合格产品约有_________件。

2．盒中有3只螺丝钉，其中有1只是坏的，现从盒中随机地抽取2只螺丝灯，则两只都是好的概率为______________.

3．把两封不同的信投入A、B两个邮箱，A、B两邮箱中各有1封的概率为____________.

4．甲、乙、丙三人随意坐在一排座位上，乙正好坐在中间的概率为____________.

5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，向上的点数分别为x、y，则log2x y = 1的概率为_______________.

6．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为_____________.

7．袋中有红、黄、白、黑颜色不同大小相同的四个小球.

（1）从中任取一球，求取出白球的概率；

（2）从中任取两球，求取出的是白球、红球的概率；

（3）从中先后各取一球，求先后取出的分别是红球、白球的概率.

8．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表：

射击次数n 10 50 100 200 500 800 击中靶心次数m 8 20 48 90 220 360 m

击中靶心频率

n

（1）计算表中各个击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

（3）这个射手射击1600次，估计击中靶心的次数约是多少？

9．某班数学兴趣小组有男生和女生各2名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：

（1）恰好有一名参赛学生是男生的概率；

（2）至少有一名参赛学生是男生的概率；

（3）至多有一名参赛学生是男生的概率.

§100．几何概型

【考点及要求】

1．了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基

本概念、特点和意义，理解并能运用几何概型的概率计算公式。

2．了解互斥事件、对立事件的概念，了解两个互斥事件概率的加法公式并会用相关

公式进行简单的概率计算。

【基本训练】

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，则下列各组的两个事件中①至

少有1个白球；都是白球；②至少有1个白球；至少有1个红球；③恰有1个白球；恰有

2个白球；④至少有1个白球；都是红球. 其中互斥而不对立的两个事件是

____________________.

2．某厂的三个车间的职工代表在会议室开会，第一、二、三车间的参会人数分别是10、12、9，一个门外经过的工人听到代表在发言，则发言人是第二或第三车间职工代表

的概率为__________.

3．某工厂的产品中，任取一件是二级品的概率是7%，是三级品的概率是3%，除二

级品、三级品外其余都是一级品和次品，并且一级品数是次品数的9倍，则出现一级品的

概率是_____________.

4．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，则至少有1

名女生当选的概率为___________.

5．在1×104km2的海域中有40km2的大陆架储藏着石油，假如在海域中任意一点钻

探，钻到油层面的概率是_____________.

6．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，

那么剪得两段的长都不小于1m的概率是__________.

7．在长方体ABCD-A1B1C1D1内任意取点，

则该点落在四棱锥B1-ABCD内部的概率是

_______________.

【典型例题】

例1．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：

排队人数0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 （1）至多2人排队等候的概率是多少？

（2）至少3人排队等候的概率是多少？

例2．如右图，设M为线段AB的中点，在线段AB上任取一点C，求AC，CB，AM 三条线段能构成三角形的概率.

例3．将两颗骰子投掷一次，求：（1）向上的点数之和是8的概率；（2）向上的点数之和不小于8的概率；（3）向上的点数之和不超过10的概率.

例4．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. 如果甲船停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

作业

1．同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率为_____________.

2．某人睡午觉醒来，发觉手表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为____________.

3．长为4、宽为3的矩形ABCD 的外接圆为圆O ，在圆O 内任意取点M ，则点M 在

△ABC 内的概率是___________.

4．如图，甲、乙、丙三人玩转盘游戏，规定指针指向 A 区域甲胜，指针指向B 区域乙胜，指针指向C 区域丙胜． 甲或乙取胜的概率是____________.

5．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内有—个内切球D ，则在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内任取点M ， 点M 在球O 内的概率是____________．

6．从数字1，2，3，4，5中随机抽取3个数字（不允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为______________.

7．某单位36人中A 型血12人，B 型血10人，AB 型血8人，O 型血6人，如果从这个单位随机地找出两人，那么这两人具有不同血型的概率为______________.

8．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组??

?=+=+2

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y x by ax 解答下列问题：

（1）求方程组只有一个解的概率；（2）求方程组只有正整数解的概率.

9．某班数学兴趣小组有男生和女生各2名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：

（1）恰好有一名参赛学生是男生的概率； （2）至少有一名参赛学生是男生的概率； （3）至多有一名参赛学生是男生的概率.

10．正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 内部的一点.

（1）设“V P-ABC ≥41

V ”的事件为X ，求概率P （X ）； （2）设“V P-ABC ≥41V 且V P-BCD ≥4

1

V ”的事件为Y ，求概率P （Y ）.