立体几何公理重要定理推论汇总(2008.4.22)
立体几何公理重要定理推论汇总
一、公理及其推论
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个
公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
② 用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
图形语言：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）
图形语言：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）
图形语言：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）
图形语言：
如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5
）
图形语言：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6）
图形语言：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（
7）
图形语言：
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8）
图形语言：
平行于同一个平面的两个平面平行。（9）
图形语言：
三、垂直关系
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（10）
图形语言：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（11）
图形语言：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（12）
图形语言：
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（
13）
图形语言：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（14
）
图形语言：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（
15）
图形语言：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（16
）
图形语言：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（
17）
图形语言：
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有
12
,,
θθθ如图中所示）图形语言：
立体几何公理及定理
立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有： 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ
高中立体几何八大定理
线面位置关系的八大定理 、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： I//： 符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行 、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言： 符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂 作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理： 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行
图形语言： 符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二： 作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 一 a 丄a 〕 任 符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另 个平面 图形语言： 符号语言: a 1 P l AB : AB _丨 作用：面面垂直=线面垂直 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）
高中立体几何常用结论、定理
立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直． 若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
立体几何公理推论
立体几何 平面的基本性质及推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行线有且只有一个平面。 空间中直线与直线的位置关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 空间中直线与平面之间的位置关系 (1)直线在平面内—有无数个公共点； (2)直线与平面相交—有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行—没有公共点。 平面与平面之间的位置关系 (1)两个平面平行—没有公共点； (2)两个平面相交—有一条公共直线。 直线与平面平行的判定 定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 平面与平面平行的判定 定理一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 推论一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个面的两条相交直线，则这两个面平行。直线与平面平行的性质 定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的性质 定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 直线与平面垂直的判定 定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 平面与平面垂直的判定 定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面垂直的性质 定理垂直同一个平面的两条直线平行。
(完整版)高中立体几何八大定理
l m β α α b a 线面位置关系的八大定理 一、直线与平面平行的判定定理： 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： 符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言： //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行
n m A α a α b a B A l β αa β α五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 作用：线线垂直?线面垂直 六、直线与平面垂直的性质定理： 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用：线面垂直?线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 符号表示：a a ααββ⊥? ?⊥??? 注：线面垂直?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一 个平面 图形语言： 符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? I 作用：面面垂直?线面垂直
(完整word版)立体几何常考定理总结(八大定理)
关键点：需要借助一个经过已知直线 的平面，接着找交线。 内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a I b A a// b// 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理：面面平行 线线平行、面面平行 线面平行 文字语言:如果两个平行平面 冋时和第三 个平面相交,那么所得的两条 交线平行? 文字语言:如果两个平面平行，那么其中 符号语言: 亠 一个平面内的 任意一条直线平行于另一个 // 平面. a a//b 符号语言 : // ,a a// b 丨v 关键点：找第三个平面与已知平面都相 关键：只要是其中一个平面内的直线就行 交，则交线平行 立体几何的八大定理 、线面平行的判定定理： 线线平行 线面平行 文字语言：如果平面 外的一条直线与平面 内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 符号语言：b all a//b 关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理： 线面平行 线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行. 1 〃 符号语言: I I l/m 三、面面平行的判定定理: 线面平行 面面平行 文字语言：如果一个平面 //
五、线面垂直的判定定理： 线线垂直 线面垂直 文字语言：如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 符号语言: 六、线面垂直的性质定理： 线面垂直 线线垂直 文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的 任意一条直线. 、亠 l 符号语 言: a 关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理： 线面垂直 面面垂直 文字语言：如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直） 符号表示: 八、平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另 个平面? 符号语言： 1 1 AB AB AB I 关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直 a
高中立体几何公理定理汇编
高中数学立体几何模块公理定理汇编 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． ?．（作用：证明直线在平面内） ∈，Bα ∈?lα ∈，B l A l ∈，且Aα 公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面） 推论①直线与直线外一点确定一个平面． ②两条相交直线确定一个平面． ③两条平行直线确定一个平面． 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∈，且Pβ ∈．（作用：证明三点/多点共线） Pα ＝l，且P l ∈?αβ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性） 空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行． 线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短． 面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行． 面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．
高中立体几何公理及推论及定理总汇表
高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据 （2 ）判定点在平面内的方法 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依 据 （1）判定若干条直线共 面 推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内一一有无数个公共点 （2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点 （3 ）直线和平面平行一一没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直
三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2
立体几何常考定理总结(八大定理)
立体几何常考定理总结(八大定理) 一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行、符号语言：关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、符号语言：关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。 三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行、符号语言：关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键：只要是其中一个平面内的直线就行 五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂
直于这个平面、符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直、（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 一、线线、线面和面面的位置关系两直线位置关系线面位置关系面面的位置关系 二、有关平行的证明线∥线⑴线∥线线∥线（都是直线）⑵线∥面线∥线（相交平面）⑶面∥面线∥线（平行平面）⑷同垂直于一个平面线∥线（线面垂直）线∥面⑴线∥线线∥面⑵面∥面线∥面面∥面线∥面面∥面线⊥线线⊥线线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面 四、三种角的范围异面直线所成角直线与平面所成角二面角
立体几何三大公理-的应用
一、共线问题 例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内； (2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图). 例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR ∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线. 例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。 二、共面问题 例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.
例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点. 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内 例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面. 例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PD CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面. (2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示) 三、共点问题 例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.
立体几何公理定理推论汇总
立体几何公理定理推论 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=? ? ???? 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言： ,,//oo oo ααββ? ??? ⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=? 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7） 符号语言：////a a βααβ? ???? 图形语言：
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
2017立体几何公理、定理推论汇总(修订)
立体几何公理、定理推论汇总 、公理及其推论 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：AI,BI,A , B l 作用：① 用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。 公理21如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P P| P| I且P I 作用：①用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：A, B,C不共线A, B,C确定一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a 有且只有一个平面，使A a, a 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P 有且只有一个平面，使a ，b 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：a//b 有且只有一个平面，使a ，b 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 |平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 a // b 符号语言： a // c 图形语言: c // b 作用：用来证明线线平行。 公理4平行于冋一条直线的两条直线平行（平行公理）。(1) a a // b c//b b 符号语言： a // c图形语言： c 、平行关系
线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2） a 符号语言：b a // a // b 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ?（ 4） （3） 符号语言: a// a//b 图形语言: 图形语言: (a ,b ),ap|b O 符号语言: a// // b 〃 图形语言: 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 (5) 符号语言: oo // oo 图形语言: 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 // n a a // b b 图形语言: 面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 符号语言: // a a// 图形语言: 符号语言: (6) (7)
立体几何公式定理大全
立体几何公式定理大全 一、公理定理 （一）平面基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 （二）空间中两条直线的位置关系 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。范围为(]0,90?? 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面 （三）平行关系 1．线面平行 定义：直线和平面没有公共点 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。 2．面面平行 定义：空间两平面没有公共点 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
立体几何8个定理
立体几何定理 1、直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. a b a a b ααα???????? P P 2、直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。 l l l m m αβαβ???????=? P P 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH . 3、直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥??⊥???=?⊥??????? 4、直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 a a b b αα⊥???⊥? P 证明过程：书本P37
5、两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. a b a b A a b β βαβαα?????=????????P P P 6、两个平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。 a a b b αβαγβγ???=????=? P P 7、平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. l l ααββ⊥??⊥??? 8、平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥? ??=??⊥??? ?⊥? 在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC 求证：BC ⊥AB 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。 公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 定理：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
立体几何定理大全
立体几何公式大全 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行
也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直
立体几何所有的定理大总结绝对全
（二）异面直线所成角 1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。 2.画法：借助辅助平面。 1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线1a和1b，我们把1a和1b所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。 2.范围：(0°，90°】 (★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】) （三）线面角 1.定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。 1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。 2.范围【0°，90°】 （★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】） （三）二面角 1.定义： （1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。 （3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 （4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。 （5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱
的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q 3.范围为【0°，180°】 （五）六种距离 1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。 2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。 3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。 两条平行线的距离 4.线到线的距离： 异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则 线段PQ 的长。 （★两条异面直线有且只有一条公垂线。） 5.线到面的距离（1l //2l ）：过l 上一点P 作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。 面到面的距离（α//β)：过β上一点P 作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。 二．证明（位置关系）
立体几何公理
立体几何公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 （1）判定直线在平面内的依据 （2）判定点在平面内的方法 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线。 （1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （1）确定一个平面的依据 （2）判定若干个点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 （1）判定若干条直线共面的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线和平面平行——没有公共点 直线与平面所成的角 （1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2