1999年第四十届IMO试题(不含答案)

第四十届（1999年）

罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest ，Romania ）

1. 找出所有满足下列要求的由平面上至少三点组成的有限集合S ：

对于任意两个在S 中的不同的点A 和B ，线段AB 的垂直平分线是S 的一条对称轴。（爱沙尼亚）

2. 设n 为一个给定的整数，n ≥2。

(a) 判断使得以下不等式对于所有实数x 1，…，x n ≥0都成立的最小常数C ：

42211()i j i j i i j n i n x x x x C x ≤<≤≤≤??+≤ ???

∑∑。

(b) 对于这个常数C ，判断何时等号成立。（波兰）

3. 给定一个n ×n 的棋盘，n 是给定的偶数。这个棋盘被分成n 2个小方格。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说它们是相邻的。N 个棋盘上的小方格按某种方式被标记，使得棋盘上的每个方格（标记的和未标记的）至少与一个被标记的方格相邻。找出N 的最小的可能值。（白俄罗斯）

4. 找出满足条件的正整数对(n ,p )：p 是质数；n 不超过2p ；(p -1)n 能被n p -1整除。（中国台湾）

5. 两个圆G 1和G 2在圆G 内，且分别与G 相切于不同的点M 和N 。G 1通过G 2的圆心。通过G 1和G 2的交点的直线交G 于点A 和B 。（俄罗斯）

6. 找出所有函数f ：R→R ，使对于所有实数x 、y 都有f (x -f (y ))=f (f (y ))+xf (y )+f (x )-1。（日本）