【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案:第4章 复数复数的乘法与除法 参考教案1
Z 2 Z 1 Z O x
y 复数的乘法与除法
教学目的:
1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律;理解复数加、减法的几何意义。
2、培养类比思想和逆向思维。
3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。
教学重点:复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。
教学难点:运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。
教学方法:类比法。
教学过程:
一、复习引入
复数的加法:设z 1=a +bi ,z 2=c +di(a,b,c,d ∈R)是任意两个复数,则它们和为z 1+z 2=(a +bi)+(c +di)=(a +c)+(b +d)i
复数的和仍然为一个复数,其实部为z 1、z 2的实部和,虚部为z 1、z 2的虚部和。
复数加法满足(1)交换律:z 1+z 2=z 2+z 1;(2)结合律(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数的减法:(加法的逆运算)复数a +bi 减去复数c +di 的差是指满足(c +di)+(x +yi)=a +bi 的复数x +yi ,记作(a +bi)-(c +di)
根据复数相等的定义:(a +bi)-(c +di)=(a -c)+(b -d)i
复数的差仍然是一个复数,其实部为两个复数实部的差,虚部为两个复数虚部的差。
显然,减法不满足交换律和结合律。
复数加法的几何意义:
复数可以用向量表示,复数加法的几何意义即为平行四边形法
则。
证明思路1:设z 1=a +bi 、z 2=c +di 分别对应复平面上的点
Z 1(a ,b)和Z 2(c ,d),z =(a +c)+(b +d) i 对应复平面上Z (a +c ,b +d),证明OZ 1ZZ 2为平行四边形。 证明思路2:根据平行四边形法则求得点Z ,证明其坐标为(a +c ,b +d)。
1OZ +2OZ = <=> z 1+z 2=z
复数减法的几何意义:复数减法的几何意义即为三角形法则。
1OZ -2OZ =12Z Z <=> z 1-z 2=z
二、新课讲解
1.复数的乘法:设z 1=a +bi ,z 2=c +di(a ,b ,c ,d ∈R)是任意两个复数,则它们积为z 1?z 2=(a +bi) (c +di)=(ac -bd)+(bc +ad)i
复数的积仍然为一个复数,复数的乘法与多项式的乘法相似。
复数乘法满足(1)交换律:z 1?z 2=z 2?z 1;(2)结合律(z 1?z 2)?z 3=z 1?(z 2?z 3);
(3)分配律z 1 (z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3 (可让学生自行选择一个进行证明。) 例3:计算:(-2-i)(3+i)
解:i i i i i i i i i 55563232)3)(2(2--=---=?---?-=+--
例4:计算 ()()())6)(22()2(31321i i i i +--+---
()()()i
i i i i i i i i i i i )622(322262212)6)(22()2(31193623132122+--=----=+---=-+-=+---解:
2.共扼复数:实部相等而虚部互为相反数的两个复数。复数z 的共轭复数用z 表示。
若z =a +bi ,则z =a -bi (a ,b ∈R) —— z z =a 2+b 2
共轭复数有很多有趣的性质,我们将在下节课作专门研究。
例5:计算 224
)2()2()2()1()1(i i i +-+ ()
[]()()[]25)14(22)2()2()2(4)2()21(1)1()1(2222222224=+=+-=+--==++=+=+i i i i i i i i i 解:
3.复数的除法:(乘法的逆运算)复数a +bi 除去复数c +di 的商是指满足(c +di) (x +yi)=a +bi 的复数x +yi ,记作
di +c bi +a (c +di≠0) 根据复数相等的定义:
di
+c bi +a =22d +c bd +ac +22d +c ad bc i 利用共轭复数性质:
di +c bi +a =)di c )(di +c ()di c )(bi +a (=22d +c )ad bc ()bd +ac (=22d +c bd +ac +22d +c ad bc i
例6计算: i i i
3221)2(21)1(-+- i i i i i i i i i i i i i i 1371341374)32)(32()32)(21(3221)2(2142)2(22121)
1(+-=+-=+-++=-+==-?-?-=-)(解: 课堂练习:课本107练习1、2、3、4
课堂小结:1.复数乘法 2.共轭复数 3.复数除法 作业布置:习题5-2A 组2、3、4