3.
故等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋(n －4)·23＝2n ＋1
3.
(2)当n ≥2时，b n ＝
1
9a n －1a n ＝19·2n －13·
2n ＋13＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1
)， 又b 1＝13＝12(1－1
3
)，
所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n
2n ＋1.
即数列{b n }的前n 项和S n ＝
n
2n ＋1
.
1．数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：
(1)a n ＝?
????
S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).
(2)递推关系形如a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项． (3)递推关系形如a n ＋1
a n
＝f (n )，常用累乘法求通项．
(4)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q (p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列． (5)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1
转为用迭加法求解．
2．数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：
(1)错位相减法求和时，将问题转化为等比数列的求和问题求解． (2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和．
(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．
提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n ＋1项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．
3．数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在解题中的主要思路：①首先构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
[配套课时作业] A 组
一、选择题
1．数列{a n }共有5项，其中a 1＝0，a 5＝2，且|a i ＋1－a i |＝1，i ＝1,2,3,4，则满足条件的不同数列的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
答案 B
解析 设b i ＝a i ＋1－a i ，i ＝1,2,3,4，则b i 等于1或－1，由a 5＝(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝b 4＋b 3＋b 2＋b 1，知b i (i ＝1,2,3,4)共有3个1,1个－1. 所以符合条件的{a n }共有4个．
2．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1 080 D ．3 105
答案 B
解析 ∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3.
∴{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列． ∴a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63. 令a n ≤0，得n ≤21. ∴前20项都为负值． ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|
＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30 ＝－2S 20＋S 30.
∵S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，
∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765.
3．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10
＝2，则S 2 013的值等于( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013
答案 D
解析 根据等差数列的性质，得数列{S n
n }也是等差数列，
根据已知可得这个数列的首项S 1
1＝a 1＝－2 013，
公差d ＝1，故S 2 013
2 013＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，
所以S 2 013＝－2 013.
4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－1，S 100＝5 B ．a 100＝－3，S 100＝5 C ．a 100＝－3，S 100＝2 D ．a 100＝－1，S 100＝2 答案 A
解析 由题意知，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，a 7＝1，由此可以得
推理与证明(教案)
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
数列综合教师版
★★★高考在考什么 【考题回放】 1、 （2008福建文）已知（a n ｝是整数组成的数列， a 〔 =1，且点（JO?,a n 书）（n ^ N *）在函数 2 a y=x +1的图像上：（1）求数列｛&｝的通项公式；（2）若数列（bn ｝满足b =1,加书= bn+2 n , 2 求证：b n b n 2 ：：： b n 1 .解：（1）由已知得：an+=an+1, 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即a n =1+（n-1） 1 = n （2）由（1）知 b n 1 — b n =2a n =2n b n =（b n -b n.）（加」一加/）…*2 - 加）b n = 2n 「舟舟. ... 2 仁 =2n _1 1-2 b n b n 2 -b n 12 =(2n -1)(2 n 2 -1)-(2 n 1 -1)2 = -5 2n 4 2n =-2n ：： 0 所以：如灯.2如.12 1 3 2 - 2、(2008福建理)已知函数f(x)=3X +x -2 . (I) 设(a n ｝是正数组成的数列，前 n 项和为S n,其中a 1=3.若点(a n 应书- 2a n Q (n ￡ N*)在函数y=f' (x)的图象上，求证：点(n,S n)也在y=f' (x)的图象上； (口)求函数f(x)亲区间(a-1,a)内的极 值. (I )证明：因为 f (x) = 1 x 3+x 2 - 2,所以 f ，(x )=x 2+2x , 3 由点(an,a ；士 —2a”)(nw N 4)在函数y =f' (x )的图象上, 又 a n 0(n N ),所以(a n 』- a n )(a n 1 - a n - 2) = 0, 所以 S n =3n + ~ K2= n 2 +2n ,又因为 f' (n )=n 2+2n ，所以 S n = f'(n), 2 故点（n, S ）也在函数y=f' （x ）的图象上. (n )解：f (x) =x 2 十2x =x(x + 2), 由 f (x) =0,得 x = 0或x = -2 . (a-1)—a =1 <2,从而 2 _ ① 当a —1<—2高考真题分类汇编——推理与证明 (5)
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
2018年高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第1讲等差数列与等比数列专题突破讲义文
第讲等差数列与等比数列 .等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现． ．数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一等差数列、等比数列的运算 ．通项公式 等差数列：＝＋(－)； 等比数列：＝·－. ．求和公式 等差数列：＝＝＋； 等比数列：＝＝(≠)． ．性质 若＋＝＋， 在等差数列中＋＝＋； 在等比数列中·＝·. 例()(届江西师大附中、临川一中联考)已知数列，满足＝，∈*，其中是等差数列，且＝，则＋＋＋…＋等于( ) ．． ． ) 答案 解析由题设可得＋＝， 即＋＝， 由等差数列的通项的性质，可得 ＋＝＋＝， 所以＋＋＋…＋＝(＋ ()＝， 故选. ()(届四川省成都市诊断性检测)在等比数列{}中，已知＝, ＋＋＝，则等于( ) ．． ．．
答案 解析由于＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝，得＋－＝，得＝或＝－(舍去)，则＝＝×＝，故选. 思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于和()的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量． 跟踪演练()(·河北省曲周县第一中学模拟)设等差数列{}的前项和为，若＝－，＝，则等于( ) ．．－ ．． 答案 解析由题设可得(\\(＋(×)＝－，＋(×)＝))?(\\(＝－，＝，)) 则＝－×＋×＝，故选. ()(届长沙一模)等比数列的公比为－，则))－))＝. 答案 解析))－)) ＝)))＝＝ . 热点二等差数列、等比数列的判定与证明 数列{}是等差数列或等比数列的证明方法 ()证明数列{}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明＋－(∈*)为一常数； ②利用等差中项，即证明＝－＋＋(≥)． ()证明{}是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明(∈*)为一常数； ②利用等比中项，即证明＝－＋(≥)． 例(届东北三省三校联考)已知数列{}满足＝，＋＝－＋，数列{}满足＝，＋＝＋－. ()证明：{－}为等比数列； ()数列{}满足＝，求数列{}的前项和. ()证明∵＋＝－＋， ∴＋－(＋)＝(－)， 又－＝， ∴{－}是以为首项，为公比的等比数列． ()解由()知－＝(－)·－＝， ∵＋＝＋－，∴＋－＝， (\\(－＝，－＝，,…，－－＝－，))
-数列全国卷高考真题教师版
20１5-2017年全国卷数列真题 1、（２0１5全国1卷17题）n S 为数列{n a ｝的前n 项和.已知n a ＞0,2 n n a a +＝43n S +. (Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ）设1 1 n n n b a a += 错误!未定义书签。 ，求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ)21n +(Ⅱ)11 646 n - + 【解析】 试题分析:（Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a ｝的递推公式,可以判断数列{n a }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ）数列{n b ｝的通项公式,再用拆项消去法求其前n 项和． 试题解析:（Ⅰ)当1n =时，2 11112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a ＝3, 当 2 n ≥时, 2211 n n n n a a a a --+--＝ 14343 n n S S -+--= 4n a ，即 111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --＝2， 所以数列{n a }是首项为3,公差为２的等差数列， 所以n a ＝21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知,n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-++++， 所以数列｛n b }前n 项和为12n b b b +++＝1111111 [()()( )]23557 2123 n n -+-+ +-++ = 11 646 n - +. 2、(2０15全国2卷4题)已知等比数列{}n a 满足ａ1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( ） A ．21 Ｂ.4２ C ．63 D ．84 【解析】设等比数列公比为q ,则24 11121a a q a q ++=,又因为13a =,所以42 60q q +-=，解得2 2q =,所以2 357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B. 考点：等比数列通项公式和性质．
选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
利用放缩法证明数列型不等式压轴题
利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的
【研究院】[北京]二模(理)分类汇编——数列及推理与证明压轴题(教师版)
2018二模分类汇编——数列及推理证明压轴题 １．(2０18昌平二模·理)已知等比数列中,1 43527,a a a a ,则7a = A ． 127 ? B.19 C ．1 3 Ｄ.3 1. Ａ ２．（2018朝阳二模·理)若三个非零且互不相等的实数1x ，2x ,3x 成等差数列且满足123 112 x x x +=,则称1x ，2x ,3x 成一个“β等差数列”.已知集合{}|100M x x x =∈Z ，≤,则由M 中的三个元素组成的所有数列中,“β等差数列”的个数为( ) A.25 Ｂ.50 C ．51 D ．100 2. B 3.(20１８房山二模·理）ABC ?的三个内角分别为A ,B ,C ，则“= B 3 π ”是“A ，B ，C 成等差数列”的 （A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件 (C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3. C 4.(20１８海淀二模·理） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 (A ）求首项为1，公比为２的等比数列的前2017项的和 （B ）求首项为1，公比为2的等比数列的前20１８项的和 （C)求首项为１，公比为4的等比数列的前1００9项的和 (D ）求首项为1，公比为４的等比数列的前10１0项的和 {}n a
4. C ５.(20１8丰台二模·理)已知等比数列{}n a 中,11a =，2327a a =,则数列{}n a 的前5项和 5=S . 5. １２1 6.(２０18顺义二模·理）已知为等差数列，为其前项和,若35,1101=-=S a ，则20a =＿_____＿. 6. 18 ７.（２０1８朝阳二模·理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >,则数列{} n a 的通项公式可以是＿＿＿_. ７.2n -+(答案不唯一） 8.(2０１8东城二模·理）设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为S n ，则2 4 a S =_＿＿___＿． ８.152 ９.（２０18顺义二模·理）(本小题满分１3分)已知数列12:,, ,n n A a a a ．如果数列 {}n a n S n
数学教案：数列基础教师版
数列基础知识 一、等差数列与等比数列 等差数列等比数列 文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列 就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。 符 号定义 1 n n a a d + -= 11 2 n n n a a a+- + = 1(0) n n a q q a +=≠ 2 11 (0) n n n n a a a a +- =?≠ 分类递增数列：0 d> 递减数列：0 d< 常数数列：0 d= 递增数列： 11 01001 a q a q >><<< ，或， 递减数列： 11 01001 a q a q <<><< ，或， 摆动数列：0 q< 常数数列：1 q= 通项 1 (1)() n m a a n d pn q a n m d =+-=+=+- 其中 1 , p d q a d ==- 1 1 n n m n m a a q a q -- ==（0 q≠） 前n 项和 2 1 1 ()(1) 22 n n n a a n n d S na pn qn +- ==+=+ 其中 1 , 22 d d p q a ==- 1 1 (1) (1) 1 (1) n n a q q S q na q ?- ≠ ? =- ? ?= ? 中项 ,,2 a b c b a c =+ 成等差的充要条件:2 ,, a b c b ac = 成等比的必要不充分条件： 主要性质等和性：等差数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a +=+ 推论：若2 m n p +=则2 m n p a a a += 2 n k n k n a a a +- += 12132 n n n a a a a a a -- +=+=+=??? 即：首尾颠倒相加，则和相等 等积性：等比数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a ?=? 推论：若2 m n p +=则2 () m n p a a a ?= 2 () n k n k n a a a +- ?= 12132 n n n a a a a a a -- ?=?=?=??? 即：首尾颠倒相乘，则积相等 1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是
推理与证明综合测试题
一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++，，∥．若 EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出： ma mb EF m m +=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △， OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之 比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ） Ａ．120mS nS S m n +=+ Ｂ．120nS mS S m n +=+
数列不等式的证明方法
数列型不等式的证明 数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。 1、重要不等式法 若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。 （1）),(222R b a ab b a ∈≥+; （2） ),(2 +∈≥+R b a ab b a （3） ),,,(2121321+∈???????????≥+??????+++R x x x x x x n n x x x x n n n n 2、比较法 比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。 3、放缩法 常用的放缩结论： ①、 ,111)1(11)1(11112k k k k k k k k k --=-<<+=+-其中（2≥k ） ②、 ;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n ) 22(21 )12(12+<+n n n ③、 1 211 2-+< < ++k k k k k 用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。 （1）、先求和再放缩 一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。 例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ?=+，且3 1 )1(=f ， （1）当+∈N n 时，求)(n f 的表达式；（2）设))((+∈=N n n nf a n ，n T 是其前n 项和，试证明4 3 高中数学第二章数列数列复习1导学案教师版苏教版必修Word版
必修5 数列复习小结 第1课时 第 19 课时 一、学习目标 （1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式； （2）提高分析、解决问题能力． 二、知识点总结 （一） 数列的概念 1．数列的概念与简单表示法 （1）从定义角度看： （2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N * 它的有限子集为定义域的函数a n =f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值. 2．数列的表示 （1）列表法； （2）图象法：注意图象是 ，而不是_______； （3）通项公式： （4）递推公式：如果已知数列｛a n ｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 3．数列的分类 1）按数列项数的多少可以分为 和 。 2）按数列中相邻两项的大小可分为 、 、 和 . 4．数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系 对任一数列有a n =?? ?≥-=-2 ,1 ,11n S S n S n n （二）等差数列 1.等差数列的定义： 若数列｛a n ｝为等差数列，则有a n -a n-1=d (其中n ≥2，n ∈N * ). 2.等差中项： 3.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ，其中a 1为首项，d 为公差. 当d >0时，数列｛a n ｝为递增数列；当d <0时，数列｛a n ｝为递减数列；当d =0时，数列｛a n ｝为常数列.
4.等差数列的前n 项和公式： 2)(1n n a a n S += ；d n n na S n 2 ) 1(1-+=. 5.等差数列的性质： （1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m =(n -m )d ； （2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N * )，则a m +a n =a p +a q ；若 m+n=2p ，则a m +a n =2a p ，也称a p 为a m ，a n 的等差中项. （3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即 K K K K K S S S S S 232--、、成等差数列，其公差为k q 。 6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列，可设为_____________________________. 7.等差数列的判定方法： 1）定义法：d a a n n =-+1?{}n a 是等差数列。 2）中项公式法：212+++=n n n a a a （n * N ∈）?{}n a 是等差数列 3) 通项公式法：q pn a n +=?{}n a 是等差数列 4）前n 项和公式法：Bn An S n +=2 （A,B,为常数）?{}n a 是等差数列 （三）等比数列 1.等比数列的定义： 若数列｛a n ｝为等比数列，则有q a a n n =-1 (n ≥2, n ∈N *, q ≠0). 2.等比中项： 3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其通项公式为a n =a 1q n-1 . 4.等比数列的前n 项和公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其前n 项和 ?? ???≠--==)1(,1) 1() 1(,11q q q a q na S n n . 5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则有： （1）a n =a m q n-m ；
高中数学-推理与证明单元测试卷
绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-
5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133
数列型不等式的证明.docx
数列型不等式证明的常用方法 一． 放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多 省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从 下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧， 例如 归一技巧、 抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参 考 . 1 归一技巧 归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或 若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 （或数值），既达到放缩的目的，使新的和 式容易求和 . 归一技巧有 整体归一、分段归一。 例如 1 1 1 1 设 n 是正整数，求证 n 1 n 2 1． 2 2n 1 1 1 【证明】 n 1 n 2 L 2n 1 1 1 1 1 . 2n 2n 2n 2n 2 14444244443 个 1 n 2n 1 1 L 1 另外： n 1 n 2 2n 1 1 1 1 n n n n 1 . 144424443 n 个 1 n 1 1 【说明】在这个证明中，第一次我们把 n 1 、 n 2 、
1 1 L 2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ，此时式子同时变小， 1 1 L 1 1 顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和， 这就是 “归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似 . 1.1 整体归一 放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” . 例 1. 数列 a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于任 意 n N * ，总有 a n , S n ,a n 2 成等差数列 . ( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式； ( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n ，且 b n ln n x ，求证:对 2 a n 任意实数 x 1, e （ e 是常数， e ＝ ）和任意正整数 n ， 总有 T n 2 ； （Ⅰ）解：由已知：对于 n N * ，总有 2S n a n a n 2 ①成立 ∴ 2S n 1 a n 1 a n 1 2 （n ≥ 2 ）② ① -- ②得 2a n a n a n 2 a n 1 a n 1 2 ∴ a n a n 1 a n a n 1 a n a n 1 ∵ a n , a n 1 均为正数， ∴ a n a n 1 1 （n ≥ 2） ∴数列 a n 是公差为 1 的等差数列
二项式与数列-教师版
1.求证：)12(1 1 C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ． 【答案】 )!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边1 12111C 11C 11C 11++++++++++= n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(1 1)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边． 2.证明下列各式 (1)1+21 n C +42 n C + … +1 12 n n n C --+2n n n C =3n ； (2)(0 n C )2+(1n C )2+ … +(n n C )2=2n n C ； (3)1 n C +22 n C +33 n C + … +n n n C =1 2 n n -. 【答案】(1)在二项展开式(a +b )n =0 n C a n +1 n C a n -1b +2 n C a n-2b 2+ … +1 n n C -ab n -1+n n C b n 中， 令a =1，b =2，得(1+2)n =1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C ，即 1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C =3n . (2)(1+x )n (1+x )n =(1+x )2n ， ∴(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )=(1+x )2n . 而2n n C 是(1+x )2n 的展开式中x n 的系数，由多项式的恒等定理，得 0n C n n C +1n C 1n n C -+ … +1n C 1n n C -+C n n 0n C =2n n C . ∵m n C =n m n C -，0≤m ≤n ， ∴(0 n C )2+(1 n C )2+ … +(n n C )2=2n n C . (3)证法一：令S =1 n C +22 n C +3C 3n + … +n n n C . ① 令S =1 n C +22 n C + … +(n －1)1 n n C -+n n n C =n n n C +(n －1)1 n n C -+ … +22 n C +1 n C =n n n C +(n －1)1 n C + … +22 n n C -+1 n n C -. ② 由①+②得2S =n 1 n C +n 2 n C +n 3 n C + … +n n n C =n (n n C +1 n C +2 n C +3 n C + … +n n C )
推理与证明练习题汇编
合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23
