河南省信阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)

河南省信阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是（）

A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}

2．（5分）直线y﹣x+5=0的倾斜角是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

3．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ

B．若a，b与α所成的角相等，则a∥b

C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β

D．若a∥b，a?α，则b∥α

4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．2B．1C．D．

5．（5分）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：

①②③

④．其中成立的是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④6．（5分）一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则球的体积为（）

A．4πB．8πC．D．

7．（5分）函数y=kx+b与函数y=在同一坐标系中的大致图象正确的是（）A．B．C．D．

8．（5分）一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）

A．B．C．D．

9．（5分）用二分法求函数f（x）=lgx+x﹣3的一个零点，根据参考数据，可得函数f（x）的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg2.5≈0.398，lg2.75≈0.439，lg2.5625≈0.409）A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56

10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f（﹣），b=f（log3），c=f（），则a、b、c的大小关系是（）

A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 11．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程

为（）

A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25

12．（5分）函数f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围（）A．B．（1，2）C．（1，2]D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知函数f（x）=（a2﹣a﹣1）x为幂函数，则a=．

14．（5分）直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为．

15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为．

16．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；

②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数

f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：

（1）f（x）=

（2）f（x）=x2

（3）f（x）=

（4）f（x）=，

能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}

（1）若?≠A∩B，且A∩C=?，求实数a的值；

（2）A∩B=A∩C≠?，求a的值．

18．（12分）（1）已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，﹣2），C（﹣2，3），线段AB的中点为M，求：AB边上的中线CM所在直线的方程；

（2）已知圆心为E的圆经过点P（0，﹣6），Q（1，﹣5），且圆心E在直线l：x﹣y+1=0上，求圆心为E的圆的标准方程．

19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且BC1⊥A1C．

（Ⅰ）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；

（Ⅱ）若D，E分别为A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．

20．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．

（Ⅰ）若l1与圆相切，求l1的方程；

（Ⅱ）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为

N，求证：?为定值．

21．（12分）如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACD；

（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，求四面体BDEF的体积．

22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

（1）求实数k的值；

（2）设g（x）=log4（a?2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

河南省信阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是（）

A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}

考点：Venn图表达集合的关系及运算．

专题：数形结合法．

分析：先求出集合M，再根据韦恩图得到阴影部分表示的集合为N∩（C U M），借助数轴即可得解

解答：解：M={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}

由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）

又C U M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|1＜x≤3}

∴N∩（C U M）={x|1＜x≤2}

故选C

点评：本题考查韦恩图与集合运算，要求会读韦恩图，会在数轴上进行集合运算．属简单题

2．（5分）直线y﹣x+5=0的倾斜角是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

考点：直线的倾斜角．

专题：直线与圆．

分析：利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．

解答：解：设直线y﹣x+5=0的倾斜角为α．

直线y﹣x+5=0化为，

∴．

∵α∈

分析：结合两平面的位置关系，由面面垂直的性质，以及面面平行的判定即可判断A；由线面角的概念，结合两直线的位置关系即可判断B；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质以及面面垂直的判断即可判断C；由线面平行的判定定理即可判断D．

解答：解：A．若α⊥β，α⊥γ，则β、γ可平行，如图，故A错；

B．若a，b与α所成的角相等，

则a∥b或a，b相交或a，b异面，故B错；

C．若a⊥α，a∥β，则过a的平面γ∩β=c，即有c∥a，

则c⊥α，c?β，则α⊥β，故C正确；

D．若a∥b，a?α，则b?α，或b∥α，由线面平行的判定定理得，

若a∥b，a?α，b?α，则b∥α，故D错．

故选C．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是正确解题的关键．

4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．2B．1C．D．

考点：由三视图求面积、体积．

专题：计算题．

分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，及几何体的形状，求出棱长、高等信息后，代入体积公式，即可得到答案．

解答：解：由图可知该几何体是一个四棱锥

其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=×2×2=2

高为1

则V==

故选C

点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断该物体是一个底面为对角为2的正方形，高为1的四棱锥是解答本题的关键．

5．（5分）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：

①②③

④．其中成立的是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．

专题：常规题型．

分析：根据题意，∵0＜a＜1∴＞1∴又∵y=log a x此时在定义域上是减函数，

∴①log a（1+a）＜log a（1+）错误；②log a（1+a）＞log a（1+）正确；又∵y=a x此时在定义域上是减函数，∴③a1+a＜a1错误；④a1+a＞a正确．

解答：解：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+．

∴log a（1+a）＞log a（1+）．

又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a．

故②与④成立．

点评：此题充分考查了不等式的性质，同时结合函数单调性对不等关系进行了综合判断．6．（5分）一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则球的体积为（）

A．4πB．8πC．D．

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题．

分析：由截面面积为π，可得截面圆半径为1，再根据截面与球心的距离为1，可得球的半径，进而结合有关的公式求出球的体积．

解答：解：因为截面面积为π，

所以截面圆半径为1，

又因为截面与球心的距离为1，

所以球的半径R==，

所以根据球的体积公式知，

故选D．

点评：本题主要考查学生对球的性质的认识与球的体积公式，以及学生的空间想象能力，是基础题．

7．（5分）函数y=kx+b与函数y=在同一坐标系中的大致图象正确的是（）

A．B．C．D．

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据一次函数和反比例函数的图象和性质即可判断．

解答：解：当kb＞0时，函数y=的图象过一三象限，当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b

的图象过一二三象限，当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过二三四象限，故排除CD，

当kb＜0时，函数y=的图象过二四象限，当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过一三

四象限，当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象过一二四象限，故排除A，

故选：B

点评：本题一次函数和反比例函数的图象和性质，属于基础题．

8．（5分）一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）

A．B．C．D．

考点：两点间的距离公式．

专题：计算题．

分析：求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．

解答：解：点P（1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（1，1，﹣1），一束光线自点P （1，1，1）发出，

遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，

那么光所走的路程是：=．

故选D．

点评：本题考查点关于平面对称点的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．

9．（5分）用二分法求函数f（x）=lgx+x﹣3的一个零点，根据参考数据，可得函数f（x）的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg2.5≈0.398，lg2.75≈0.439，lg2.5625≈0.409）A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56

考点：二分法求方程的近似解．

专题：计算题．

分析：本题考查的是二分法求方程的近似解的问题．在解答时可以先根据函数的特点和所给的数据计算相关的函数值，再结合零点存在性定理即可获得解答．

解答：解：由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5﹣3=0.398﹣0.5＜0，

f（2.5625）=lg2.5625+2.5625﹣3=0.409﹣0.4375＜0，

f（2.75）=lg2.75+2.75﹣3=0.439﹣0.25＞0

又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．

故选C．

点评：本题考查的是二分法求方程的近似解的问题．在解答的过程当中充分体现了观察分析数据的能力、问题转化的能力以及运算的能力．值得同学们体会反思．

10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f（﹣），b=f（log3），c=f（），则a、b、c的大小关系是（）

A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a

考点：奇偶性与单调性的综合．

专题：函数的性质及应用．

分析：利用f（x）是定义在R上的偶函数，化简a，b，利用函数在（0，+∞）上是增函数，可得a，b，c的大小关系．

解答：解：a=f（﹣）=f（），b=f（log3）=f（log32），c=f（），

∵0＜log32＜1，1＜＜，∴＞＞log32．

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴a＞c＞b，

故选C．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．11．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程

为（）

A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25

考点：圆的切线方程；圆的标准方程．

专题：计算题．

分析：设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．

解答：解：设圆心为，

则，

当且仅当a=1时等号成立．

当r最小时，圆的面积S=πr2最小，

此时圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；

故选A．

点评：本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．

12．（5分）函数f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围（）A．B．（1，2）C．（1，2]D．

考点：对数函数的单调性与特殊点．

专题：计算题．

分析：由对数函数的性质可得，a＞0，令g（x）=2﹣ax2，g（x）为减函数，由复合函数的性质可知a＞1，又2﹣a≥0，从而可得答案．

解答：解：由题意得：a＞0，令g（x）=2﹣ax2，则g（x）为减函数，

又f（x）=在（0，1）上为减函数，

∴a＞1．①

又当x∈（0，1）时，g（x）=2﹣ax2＞0，

∴当x=1时，g（1）=2﹣a≥0，

∴a≤2②

由①②得：1＜a≤2．

故选C．

点评：本题考查复合函数的性质与应用，由题意得到a＞1，2﹣a≥0是关键，也是难点，考查综合分析与理解应用的能力，属于难题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知函数f（x）=（a2﹣a﹣1）x为幂函数，则a=﹣1．

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据幂函数的定义和解析式列出方程组，求出a的值．

解答：解：因为函数f（x）=（a2﹣a﹣1）x为幂函数，

所以，解得a=﹣1，

故答案为：﹣1．

点评：本题考查幂函数的解析式、定义，注意分母不为零，属于基础题．

14．（5分）直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为﹣1．

考点：两条直线平行的判定．

专题：计算题．

分析：利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．

解答：解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，

∴，∴m=﹣1，

故答案为﹣1．

点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．

15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．

考点：异面直线及其所成的角．

专题：空间角．

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角．

解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，

建立空间直角坐标系，

A1（1，0，2），E（0，0，1），

G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），

设异面直线A1E与GF所成角为θ，

cosθ=|cos＜＞|==0，

∴异面直线A1E与GF所成角为90°．

故答案为：90°．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．

16．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；

②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数

f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：

（1）f（x）=

（2）f（x）=x2

（3）f（x）=

（4）f（x）=，

能被称为“理想函数”的有（4）（填相应的序号）．

考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

专题：证明题；新定义．

分析：先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可

解答：解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，

（1）f（x）=为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，

0），（0，+∞），故排除（1）；

（2）f（x）=x2为定义域上的偶函数，排除（2）；

（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；

（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，

故（4）为理想函数

故答案为（4）

点评：本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}

（1）若?≠A∩B，且A∩C=?，求实数a的值；

（2）A∩B=A∩C≠?，求a的值．

考点：交集及其运算．

专题：集合．

分析：（1）由已知得B={2，3}，C={﹣4，2}，?≠A∩B，且A∩C=?，从而A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}={3}，由此能求出a=﹣2．

（Ⅱ）由A∩B=A∩C≠?，得A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}={2}，由此能求出a=﹣3．

解答：解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，C={x|x2+2x﹣8=0}={﹣4，2}，

?≠A∩B，且A∩C=?，

∴A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}={3}，

∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2或a=5，

经检验，得a=﹣2成立，a=5不成立，

∴a=﹣2．

（Ⅱ）∵A∩B=A∩C≠?，∴A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}={2}，

∴4﹣2a+a2﹣19=0，

解得a=﹣3或a=5，

经检验，得a=﹣3成立，a=5不成立，

∴a=﹣3．

点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．

18．（12分）（1）已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，﹣2），C（﹣2，3），线段AB的中点为M，求：AB边上的中线CM所在直线的方程；

（2）已知圆心为E的圆经过点P（0，﹣6），Q（1，﹣5），且圆心E在直线l：x﹣y+1=0上，求圆心为E的圆的标准方程．

考点：直线和圆的方程的应用．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）由题意AB中点M的坐标是M（1，1），运用直线的两点式求解即可．（2）运用中点公式，斜率公式判断得出线段PQ的垂直平分线l′的方程为：y=﹣（x﹣

），运用方程组得出圆心E的坐标是方程组圆心坐标，半径，即可求解出圆．

解答：解：（1）由题意AB中点M的坐标是M（1，1），

中线CM所在直线的方程是=，

即2x+3y﹣5=0．

（2）∵p（0，﹣6），Q（1，﹣5），

∴线段PQ的中点D的坐标为（，﹣），

∵直线PQ的斜率为k AB==1，

∴线段PQ的垂直平分线l′的方程为：y=﹣（x﹣），

即x+y+5=0，

圆心E的坐标是方程组的解，解此方程组得出

∴圆心E的坐标（﹣3，﹣2），

即以E为圆心的圆的半径r=|PE|==5，

∴圆心为E的圆的标准方程：（x+3）2+（y+2）2=25

点评：本题考查直线与圆的方程，运用直线，圆的性质，位置关系判断求解，关键是确定圆心，半径，难度不大，属于中档题．

19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且BC1⊥A1C．

（Ⅰ）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；

（Ⅱ）若D，E分别为A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

专题：证明题；空间位置关系与距离．

分析：（Ⅰ）证明平面ABC1⊥平面A1C，只需证明A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）取AA1中点F，连EF，FD，证明平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1．解答：证明：（I）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC．

∴AA1⊥AC，又AA1=AC，∴A1C⊥AC1．…（2分）

又BC1⊥A1C，且AC1∩BC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，

而A1C?面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1…（6分）

（II）取A1A中点F，连EF，FD，EF∥AB，DF∥AC1…（9分）

即平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1…（12分）

点评：本小题主要考查利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，考查线面平行的判定定理，并且考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．

20．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．

（Ⅰ）若l1与圆相切，求l1的方程；

（Ⅱ）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为

N，求证：?为定值．

考点：直线和圆的方程的应用；圆的切线方程．

专题：证明题；综合题；数形结合．

分析：（I）由直线l1与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；

（II）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求?．

解答：解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）

②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，

即解之得．

所求直线方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．（5分）

（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx﹣y﹣k=0

由得又直线CM与l1垂直，

得．

∴?=为定值．（10分）

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线与直线的交点和两点间的距离公式．

21．（12分）如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACD；

（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，求四面体BDEF的体积．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：空间位置关系与距离．

分析：对第（Ⅰ）问，由于BF⊥AD，要证BF⊥平面ACD，只需证BF⊥CD，故只需CD⊥平面ABD，由于CD⊥BD，只需CD⊥AB，由AB⊥平面BDC；

对第（Ⅱ）问，四面体BDEF即三棱锥E﹣BDF，由CD⊥平面ABD及E为AC的中点知，三棱锥E﹣BDF的高等于，在Rt△ABD中，根据BF⊥AD，设法求出S△BDF，即得四

面体BDEF的体积．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵BC为圆O的直径，∴CD⊥BD，

∵AB⊥圆0所在的平面BCD，且CD?平面BCD，∴AB⊥CD，

又AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD，

∵BF?平面ABD，∴CD⊥BF，

又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，

∴BF⊥平面ACD．

（Ⅱ）∵AB=BC=2，∠CBD=45°，∴BD=CD=，

∵BE⊥AC，∴E为AC的中点，

又由（Ⅰ）知，CD⊥平面ABD，

∴E到平面BDF的距离d==．

在Rt△ABD中，有AD=，

∵BF⊥AD，由射影定理得BD2=DF?AD，

则DF=，从而，

∴，

∴四面体BDEF的体积==．

点评：1．本题考查了线面垂直的定义与性质与判定，关键是掌握线面垂直与线线垂直的相互转化：“线线垂直”可由定义来实现，“线面垂直”可由判定定理来实现．

2．考查了三棱锥体积的计算，求解时，应寻找适当的底面与高，使面积和高便于求解，面积可根据三角形形状求解，高可转化为距离的计算．

22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

（1）求实数k的值；

（2）设g（x）=log4（a?2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程

有且只有一个实根，且a?2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．

解答：解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），

∴，化简得，

即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．

（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，

即方程有且只有一个实根，

化简得：方程有且只有一个实根，且a?2x+a＞0成立，则a＞0．

令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，

设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，

所以①当a=1时，有t=1，合题意；

②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，

此时有；（舍去）．

③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．

综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．