基于图论的印刷工程项目优化算法

基于图论的印刷工程项目优化算法
基于图论的印刷工程项目优化算法

收稿日期:2008Ο11Ο25

作者简介:陈梅(1968-),女,浙江嘉兴人,博士生,杭州电子科技大学副教授,主要研究方向为印刷企业数字信息化技术与

管理。

基于图论的印刷工程项目优化算法

陈梅1,2,赵丽欣3

(1.杭州电子科技大学,杭州310037;2.西安理工大学,西安710048;3.科学出版社,北京100086)

摘要:图论在解决运筹学、网络理论、控制论等领域问题中显示出很大的优越性,将图论方法应用于印刷工程项目管理中,特别是印刷工程项目的优化,解决了印刷企业生产工艺的网络绘图及计算问题,采用拓扑排序,求解了最短工期及工程网络的关键路线问题,有效提高了印刷生产效率。较之传统方法,具有明显的优势并有助于加快印刷企业中计算机辅助工程管理的进程。

关键词:图论;工程项目;优化;网络图;关键线路

中图分类号:TS801.4;TS801.9 文献标识码:A 文章编号:1001-3563(2009)03-0068-03

Op timized Arit hmetic of Printing Engineering Project Based on Grap h Theory

C H EN M ei

1,2

,Z H A O L i 2x i n

3

(1.Hangzhou Dianzi University ,Hangzhou 310037,China ;2.Xi ’an University of Technology ,Xi ’an 710048,China ;

3.Science Press ,Beijing 100086,China )

Abstract :Graph theory displays distinct superiority in many fields such as operational research ,net 2

work theory ,and cybernetics.This method was applied to printing engineering project management ,espe 2cially in the optimization of printing engineering project and solving the problems f rom the network plot of printing engineering construction and computation.In addition ,the method applys the topological sort to settle the shortest time limit for a project and the critical path of engineering https://www.360docs.net/doc/2011934349.html,pared with tra 2ditional method ,it has the obvious advantage and can expedite the course of engineering management of computer assistant in printing enterprise.

Key words :graph theory ;printing engineering project ;optimization ;network diagram ;critical path

印刷工程是一高度综合的交叉学科,提高效率又是印刷企业面对的最大挑战。工艺方案的组织是印刷生产加工的灵魂,指导和决定着如何进行作业,确定了彩色印刷复制品的复制质量、生产成本、生产效率,在所有印刷企业都受到高度重视。印刷企业生产工程单是工艺方案设计的具体表现形式,而网络计划技术是一种广泛应用于企业生产作业计划与控制的管理技术,通过将项目(即印刷生产工程单)中,各个工作的先后顺序和相互关系通过网络图的形式进行表达,然后通过计算找出关键项目和关键线路,再经过不断改善网络计划,选择最优方案付诸实践,即在满足既定约束条件下,综合考虑印刷的工期和成本之间的关系,获得时间最短、质量优良、资源消耗少和成本低的效果。最后在工艺实施过程中进行有效的控制与监督,保证合理使用人力、物力和财力物力,通过科学合理的工艺路线安排生产,既能大大提高生产效率,又能降低成本[1]。据统计,应用科学的计划管理技术,一般缩短工期20%左右,节约费用10%左右。

图论可将各种复杂的工程系统和管理问题用“图”来描述,然后用数学方法求得最优结果。图论中所研究的“图”,是由若干个点(称作顶点,Vertex )和若干条连接两顶点的线段(称作边,Edge )组成。通常顶点可用来表示事物,边用来表示这些事物之间的关系。顶点的位置、边的长短是无关紧要的,仅是解决许多工程问题的一种理想数学模型,便于计算机存储和分析计算。

在本文中,引入图论中割集的概念,利用割集在有向图中的定义,提出了印刷工程项目时间———成本优化算法;该算法最明显的优点在于,通过它可以找到该问题所有的最优解,且在原工程网络图改变时,只需将描述文件进行修改即可,应用起来快速简便。

1 概述

1.1 网络计划图[2]

网络较是反映一项工程中各个环节之间的相互关系,是由

包装工程 PAC KA GIN G EN GIN EERIN G Vol.30No.32009.03

箭线和节点组成的有向连通图。完整网络图由活动、事项和线路组成。关键线路指网络图中持续时间最长的线路。正常工期指子项目在正常作业条件下完工的时间。极限工期指子项目工期缩短到一定程度时,即使增加费用,工期也不能缩短。直接费用变化率指减少或增加单位时间引起的该工程直接费用(人、材、机)增加或减少值。间接费用变化率指减少或增加单位时间引起的该工程间接费用(管理费等)减少或增加值。最优工期指父项目最低工程成本所对应的工程总工期。

1.2 图论[3]

网络图的生成树是网络图中的连通子图,包含所有节点,但任意2个节点间只有1条路径。网络图的生成树可以有很多个。树枝是某棵生成树的边,连枝是除了树枝外的边。

图1为某个印刷活件的网络图,

箭线上字母表示子项目名

图1 工程网络图

Fig.1Project network

称,括号内数字为直接费用变化率(单位:元);箭线下括号外为正常工期,括号内数字为极限工期。关键线路为A —D —E 。可选A ,B ,C ,E 为一个生成树的所有树枝;边D ,F 为连枝。

一项工程的总费用可以分为直接费用和间接费用。直接费用与各项活动直接有关,如工时、材料费等;间接费用与各项活动无直接关系,而与工期长短有关,如管理费用,设备折旧等。工期与成本关系曲线见图2

图2 工期与成本关系曲线

Fig.2Relationship curves of project time limit and cost

割集是一个或多个边的集合。割集的条件是:对于一张有向连通图,若将其一个割集中所有边删去,则该图就被分成两个连通子图;若只删去该割集中的一个真子集,则有向图仍为一个连通图。也就是说,割集S 是使连通图G 失去连通性的最小边集合。事实上,一张有向图可能有不止一个割集。

割集方向:对于一个割集,将原有向图分为两部分后,预定

从其中一个部分的点集向另一部分的点集引出的边为正向,反之为反向。如此一来,割集中每条边便只有正向或反向两种可能了。

基本割集:T 是有向连通图G 的树,e i 是T 的任一树枝,对应于e i 有一有向割集s i ,s i 不含有除e i 以外别的树枝,而且使得它的方向与e i 一致,这样的一组割集S 1,S 2,…S n -1称为基本割集。

有向图的关联矩阵(以行表示点,以列表示边),其中:

a ij =

0,边与点无关1,边从点发出-1,边指向点

有向图的割集矩阵(以行表示割集,以列表示边):

q ij =

0,割集中不包含该边

1,割集中包含该边,且边的方向与预定参考方向相同-

1,割集中包含该边,且边的方向与预定参考方向相反

基本割集矩阵是由某一棵树所对应的全部割集组成的矩阵。

图3中两条曲线即对应该项目的两个割集。若预定参考

图3 网络图的割集示意图

Fig.3Sketch map of cut set f rom network diagram

方向为包含始节点的节点集指向包含末节点的节点集,列的顺序为按子项目名正序排列,则:

S 1=(1,1,0,0,0,0),S 2=(0,0,1,0,1,0)。

2 问题分析

已知条件:网络图已确定,每个子项目允许正常工期D n 、极限工期D c 、直接费用变化率K 。

输入:间接费用变化率ξ。

输出:最优工期T 优、工程成本降低值C 降。工序如何调整,才能使工程项目费用最少。

如果网络图关键线路只有一条,则直接压缩关键线路上直接费用变化率最小的工序作业时间,且工程总费用降低(直接费用变化小于间接费用变化);如果多于一条,可将网络图中的始、末节点分割在两侧的割集上,找一个直接费用最少的割集

(正方向从始节点所在点集指向末节点所在点集,正方向的边

对应的工序都缩减一个单位时间,负方向则延长一个单位时间),该割集所含元素直接费用变化小于间接费用变化[4]。

陈梅等 基于图论的印刷工程项目优化算法

3 基于图论的印刷工程项目优化算法

该算法是基于项目状态转化图,点代表状态,边代表项目,边的代价代表成本属性,边长代表该项目的工期,边有调整余地指该项目的变化在其悲观和乐观时间范围内,关键路径子图为仅由该图所有关键线路组成的图。

设间接费用变化率为ξ,正常工期为T 。定义ΔT =0,C 降

=0,Opt{ΔT ,ΔC }为一个空数组。项目优化流程图,见图4

图4 项目优化流程图

Fig.4Flow chart of project optimization

第1步:如果关键线路只有1条,转第2步;否则转第3步。

第2步:定义关键线路长度与次长线路差为ΔT 1。在关键线路上找出直接费用变化率最小的工作I (关键线路上所有有调整余地的边的直接费用变化率按升序排列,自左向右在调整余地范围内调整),把所选边名I 和调整的时间ΔT i (ΔT i =

D nI -D cI )记录在数组Opt 中,则ΔT =min{ΔT 1,ΔT i }。如

果ΔC =K I ?ξ>0,转输出;否则T =T -ΔT ,C 降=C 降+ΔC 。如果仍有1条关键线路,则重复第2步;如果关键线路多于1条,则转第3步。

第3步:找出网络图关键线路子图,算出将该网络图分为分别包括始、末节点的割集矩阵,并分别计算割集对应的直接费用变化,将直接费用变化最小且在调整范围之内的边名I 和调整时间记入Opt 中。若I 为1个子项目,则ΔT i =D nI -D cI ;若多于1个,设为J 个,则ΔT i =min{D (1)

nI -D (1)cI ,D (2

)

nI -

D (2)

cI ,…,D (J

)

nI -D (J )

cI }。关键线路长度与次长线路差为ΔT 1,

ΔT =min{ΔT 1,ΔT i }。如果ΔC =K I -ξ>0,转输出;否则

T =T -ΔT ,C 降=C 降+ΔC 。对于新网络图,重复第3步。

输出:最优工期T 优,工程成本降低值C 降,各子项目调整

时间。

割集矩阵在现代信息传输中有重要用途。割集矩阵求法[5]如下:

设关键线路子图节点数为m ,边条数为r ,且n =m -1,则关键线路子图的关联矩阵为m ?r 。设I =0。

第1步:删除关联矩阵任意一行,变为n ?r 矩阵,记为

A 。

第2步:取出该矩阵中任意n 列,组成n ?n 的行列式B ,求其值。如果|B |>0,则求C =B -1,且I =I +1。计算Q =

C ?A ,记为Q I 。如果矩阵中任意n 列已罗列完,则转第3步;

否则重复第2步。

第3步:对所有Q I 的行进行比较,如果Q I 的p 行(Q ip )与Q J 的q 行(Q jq )满足Q ip =±Q jq ,则认为Q I 和Q J 为同一个割集。对所有的Q I 进行运算,求出所有割集的合集。

删去原割集矩阵中将始、末节点分在一侧的割集所对应的行组成的矩阵为割集矩阵。将割集向量中值为1的边缩短一天对应的直接费用求和,记为D;将割集向量中值为-1的边增加一天对应的直接费用变化求和,记为E;则割集对应的总费用为D

E 。

4 案例[6]

现有一印刷厂有一印件为一套书,包括一本平装,一本精

装,需印装完毕,在一起同时发出,已知工艺流程及各项作业天数和费用,见表1。

表1 印装作业工期及费用

Tab.1Ti me li mited and cost of project

代号

工作名称

紧前工作

正常工期(天)极限工期(天)直接费用变

动率(元/d )

A 封面插图印刷(包括印前制作)-63330

B 正文印刷(包括印前制作)-54500

C 封面插图干燥、裁切

A 723000D 制精装封面A 531000E 折页、压页

B 64750F 套帖

C ,E 621500G 精装书芯加工C ,E 941250H 配、订、包、切F 212000I

上精装封面、压书

D ,G

4

3

1000

输入:对于父项目,间接费用变化率ξ=1000元/d ,正常条件下完工时间是26天。

输出:最优工期T 优=20天,工程成本降低值C 降=1510元。封面插图印刷压缩3天,正文印刷压缩1天,上精装封面、压书压缩1天。

(下转第95页)

包装工程 PAC KA GIN G EN GIN EERIN G Vol.30No.32009.03

在印刷行业中,印刷品饱和密度值的确定可以在最大密度值±0.05的范围之间,同时在基本达到饱和密度值时,随着墨层厚度的增加密度值的变化不大[5]。这就是说印刷过程中印刷品达到基本饱和密度值时对应墨层厚度只要能满足印刷要求即可,不一定非要使用达到饱和密度值时所需的墨量。所以生产者可以根据墨层厚度与实地密度曲线得到不同纸张在饱和密度值时对应的墨层厚度,在生产中达到以最少墨量产生最佳印刷效果的目的,不同纸张4种油墨饱和密度值和对应墨层层厚度见表2。

表2 不同纸张4种油墨饱和密度值及对应墨层层厚度

Tab.2Four2color inks of t he sat uration density a nd

t he corresponding of ink t hickness on different papers

纸张

中黄油墨

饱和

密度

墨层厚

度/μm

洋红油墨

饱和

密度

墨层厚

度/μm

天蓝油墨

饱和

密度

墨层厚

度/μm

黑油墨

饱和

密度

墨层厚

度/μm

东帆铜版纸 1.81030 2.73929 2.58424 2.49429

紫兴铜版纸 1.80030 2.71628 2.58224 2.44728胶版纸 1.71235 1.85625 2.34034 2.24030新闻纸 1.77832 2.56035 2.63429 2.36035

从以上的数据和分析可以得出结论:油墨饱和密度值的大小因纸张和油墨颜色的不同而有所差异,这主要和纸张油墨的性质有关[6]。铜版纸中黄油墨饱和密度值最小,洋红油墨饱和密度值最大,而天蓝和黑则居于2者之间;胶版纸和新闻纸中黄油墨饱和密度值最小,天蓝油墨饱和密度值最大,而洋红和黑则居于2者之间。4种油墨达到饱和密度值时对应的墨层厚度基本在24~35μm之间。

2 结语

油墨的实地密度主要由油墨的吸收性所决定,而墨层的吸收性主要取决于色相、墨层厚度、油墨中颜料的特性和浓度。由于印刷中3原色油墨其色相是标准化的,颜料的浓度已由它的结构特性所确定,所以只有墨层厚度是受操作者影响的变量[7]。实地密度值的大小直接关系到印刷品的质量,但是生产者不能因为要求得到鲜亮的色彩而无限制的增加墨量,当墨量增加到一定数值时,实地密度将不再变化,因此要明确各种纸张油墨的饱和密度值,避免成本的浪费,更好的完成色彩再现[8]。

参考文献:

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[7] 周明香.胶印印刷墨层厚度的技术分析和质量控制[J].包装工

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[8] 李永梅.胶版印刷品密度与色度检测关系的研究[J].包装工程,

2007,28(1):70-71.

(上接第70页)

5 结语

要使印件能按时完成,获得时间最短,质量优良,资源消耗少,成本低的效果,必须对网络计划进行优化。我们运用数学上的图论对网络计划项目优化进行了研究,并给出了算法。可以看出,图论理论是印刷工程项目管理的有效工具,它可使计算简便、快速、准确,特别适用于复杂的印刷工程项目管理,同时也为印刷企业信息化管理的实现提供了理论基础。参考文献:

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[6] 王永宁,等.现代印刷企业管理原理[M].武汉:武汉大学出版社,

2005.

王学美等 墨层厚度与实地密度关系的研究

图论最优化算法

非诚勿扰男女最优组合 摘要:本文主要内容为寻求最大权匹配问题,即利用图论的最大权匹配知识,为非诚勿扰节目中的男女嘉宾进行最优组合。本文将其转化为二部图寻找最大权匹配的问题。 关键词:非诚勿扰,最大权匹配 1、问题描述 《非诚勿扰》是中国江苏卫视制作的一档大型生活服务类节目。每期节目大部分都是5位男嘉宾,24位女嘉宾,女生有“爆灯”权利。首先男嘉宾选择心动女生,女嘉宾在“爱之初体验”根据第一印象选择是否留灯;然后在“爱之再判断”了解男嘉宾的一些基本情况,比如爱好、情感经历等;接下来在“爱之终决选”通过男嘉宾亲人或朋友的情况了解男嘉宾,做出最后的决定,如果有女生留灯的话就进入“男生权利”,男生做出最后选择,如果没有女生留灯则只能遗憾离场。 2、模型建立 通过观看20150124期节目,这期节目只有4位男嘉宾,然后在整个节目男女嘉宾交流过程中4号、19号、22号、23号女嘉宾都没有发过言,没有了解到这四位女嘉宾的基本情况以及对男嘉宾的要

求,所以在本次模型建立过程中没有考虑这四位女嘉宾。 经过上述分析,本期产生了4位男嘉宾和20位女嘉宾的可能匹配,我们将这4位男嘉宾和20位女嘉宾划分为X部和Y部,男生为X1,X2,X3,X4,女生为Y1,Y2,Y3,....Y20。X i与Y j之间连线,当且仅当它们所代表的男女双方满足彼此寻找另一半的某些要求,或者女生是男嘉宾选择的心动女生。由以上分析得到如图 2.1所示的二部图。 如何定义该二部图的权值:首先,每位男嘉宾的心动女生基本权值为1,其余女嘉宾的基本权值为0,然后根据男女嘉宾双方对对方的要求,在外貌、工作、性格、爱好、家庭五个方面基本相符就加1,差别很大就不加。得到如图2.2所示的加权图。 显然,为这些男女嘉宾找最优组合就转化为二部图(X,Y)寻找最大权匹配

图论算法及其MATLAB程序代码

图论算法及其MATLAB 程序代码 求赋权图G =(V ,E ,F )中任意两点间的最短路的Warshall-Floyd 算法: 设A =(a ij )n ×n 为赋权图G =(V ,E ,F )的矩阵,当v i v j ∈E 时a ij =F (v i v j ),否则取a ii =0,a ij =+∞(i ≠j ),d ij 表示从v i 到v j 点的距离,r ij 表示从v i 到v j 点的最短路中一个点的编号. ①赋初值.对所有i ,j ,d ij =a ij ,r ij =j .k =1.转向② ②更新d ij ,r ij .对所有i ,j ,若d ik +d k j <d ij ,则令d ij =d ik +d k j ,r ij =k ,转向③. ③终止判断.若d ii <0,则存在一条含有顶点v i 的负回路,终止;或者k =n 终止;否则令k =k +1,转向②. 最短路线可由r ij 得到. 例1求图6-4中任意两点间的最短路. 解:用Warshall-Floyd 算法,MATLAB 程序代码如下: n=8;A=[0281Inf Inf Inf Inf 206Inf 1Inf Inf Inf 8607512Inf 1Inf 70Inf Inf 9Inf Inf 15Inf 03Inf 8 Inf Inf 1Inf 3046 Inf Inf 29Inf 403 Inf Inf Inf Inf 8630];%MATLAB 中,Inf 表示∞ D=A;%赋初值 for (i=1:n)for (j=1:n)R(i,j)=j;end ;end %赋路径初值 for (k=1:n)for (i=1:n)for (j=1:n)if (D(i,k)+D(k,j)

最短路算法[1]

最短路算法及其应用 广东北江中学余远铭【摘要】 最短路问题是图论中的核心问题之一,它是许多更深层算法的基础。同时,该问题有着大量的生产实际的背景。不少问题从表面上看与最短路问题没有什么关系,却也可以归结为最短路问题。本文较详尽地介绍了相关的基本概念、常用算法及其适用范围,并对其应用做出了举例说明,侧重于模型的建立、思考和证明的过程,最后作出总结。 【关键字】 最短路 【目录】 一、基本概念 (2) 1.1 定义 (2) 1.2简单变体 (2) 1.3负权边 (3) 1.4重要性质及松弛技术 (4) 二、常用算法 (5) 2.1 Dijkstra算法 (5) 2.2 Bellman-Ford算法 (7) 2.3 SPFA算法 (8) 三、应用举例 (10) 3.1 例题1——货币兑换 (10) 3.2 例题2——双调路径 (11) 3.3 例题3——Layout (13) 3.4 例题4——网络提速 (15) 四、总结 (18)

【正文】 一、基本概念 1.1 定义 乘汽车旅行的人总希望找出到目的地尽可能短的行程。如果有一张地图并 在地图上标出了每对十字路口之间的距离,如何找出这一最短行程? 一种可能的方法是枚举出所有路径,并计算出每条路径的长度,然后选择最短的一条。然而我们很容易看到,即使不考虑含回路的路径,依然存在数以百万计的行车路线,而其中绝大多数是没必要考虑的。 下面我们将阐明如何有效地解决这类问题。在最短路问题中,给出的是一 有向加权图G=(V ,E),在其上定义的加权函数W:E →R 为从边到实型权值的映射。路径P=(v 0, v 1,……, v k )的权是指其组成边的所有权值之和: 11()(,)k i i i w p w v v -==∑ 定义u 到v 间最短路径的权为 {}{}min ():)w p u v u v v δυ→(,=∞ 如果存在由到的通路 如果不存在 从结点u 到结点v 的最短路径定义为权())w p v δυ=(,的任何路径。 在乘车旅行的例子中,我们可以把公路地图模型化为一个图:结点表示路口,边表示连接两个路口的公路,边权表示公路的长度。我们的目标是从起点出发找一条到达目的地的最短路径。 边的权常被解释为一种度量方法,而不仅仅是距离。它们常常被用来表示 时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。 1.2简单变体 单目标最短路径问题: 找出从每一结点v 到某指定结点u 的一条最短路 径。把图中的每条边反向,我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。 单对结点间的最短路径问题:对于某给定结点u 和v ,找出从u 到v 的一 条最短路径。如果我们解决了源结点为u 的单源问题,则这一问题也就获得了解决。对于该问题的最坏情况,从渐进意义上看,目前还未发现比最好的单源算法更快的方法。 每对结点间的最短路径问题:对于每对结点u 和v ,找出从u 到v 的最短 路径。我们可以用单源算法对每个结点作为源点运行一次就可以解决问题。

数学建模10种常用算法

数学建模10种常用算法 1、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具) 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题(建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现) 4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备) 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法(网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法(很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行

编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组 求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库 函数进行调用) 10、图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关, 即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些 图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通 常使用Matlab进行处 参数估计 C.F. 20世纪60年代,随着电子计算机的 。参数估计有多种方法,有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。在一定条件下,后面三个方法都与极大似然法相同。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法. 基本介绍 参数估计(parameter 尽可能接近的参数 误差 平方和  θ,使已知数据Y 最大,这里P(Y│θ)是数据Y P(Y│θ)。在实践中这是困难的,一般可假设P(Y│θ

关于最短路问题算法的一点思考

关于最短路问题算法的一点思考 最短路问题,实际上是P95。也就是我们用一个算法解决SP问题时,就是在找这个加权图G中从s到t的P(s,t)中边权之和最小的P*(s,t). 由定义就可以看出,实际生活中经常有最短路问题的例子。例如: 实例1.某公司在六个城市s,t,a,b都有分公司,公司成员经常往来于它们之间,已知从Vi到Vj的直达航班票价由下述矩阵的第i行,第j列元素给出(∞表示无直达航班),该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。 图+矩阵 实例2.如图的交通网络,每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间,有向边表示单行道。若有一批货物要从s号顶点运往t号顶点,问运货车应沿哪条线路行驶,才能最快地到达目的地? 图+矩阵 因此怎么样快速又精确的求解一个最短路问题就显得至关重要。下面我们来介绍几种解决SP问题的有效途径。 一、把求最短路问题转化为LP问题 P95 二、最短路问题的原始对偶算法:Dijkstra算法 Pdf最短路+课本P138 综上,即为Dijkstra算法,它的有效实施体现在:P161 对Dijkstra算法的一点思考: 1.关于Dijkstra算法,书中的例子定义了一个使用范围,即寻求有向图中,从一固定顶点到其余各点的最短路径。那么一个简单的推广就是在于,对于无向图或者混合图的情况Dijkstra算法还能否使用?答案应该是肯定的。也就是说,实例2中无论是单行道,双行道的情况都是可以应用Dijkstra算法进行求解的。 2. 作为学习图论的一名学生,Dijkstra算法的本质可以说就是在一个图中,进行标号,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以s为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根s 节点之间的路径皆为最短路径. 3.Dijkstra算法明确要求权(费用)非负,这无疑会限制一些是实际生活中的例子进行求解,若出现的边权为负的情况,Dijkstra算法就要进行修改。并且,如果我们对Dijkstra算法进行编程,即使根据书中拟Algol语言的提示以我现有的水平也根本写不出Matlab的高级程序语言。但是有另外一种算法有效的避免了这个麻烦,它的逻辑更为简单,并允许网络中的弧有负权,能探测网络中负费用圈,与一般的原始对偶算法不同。 三、Floyd-Warshall算法 P164 并且,有一点比较吸引我的地方是在于Floyd-Warshall算法的逻辑较为简单,我可以跟据课本上拟Algol语言,编写出一部分Matlab的程序,但是因为编译程序的水平的限制,每次运行的时候都会出现不同的错误。在与计算数学的同学进行讨论的时候,因为他们偏重绘图而我们偏重优化,导致也为得出有效的解决措施。

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢?随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98 年美国赛A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的

算法学习:图论之二分图的最优匹配(KM算法)

二分图的最优匹配(KM算法) KM算法用来解决最大权匹配问题:在一个二分图内,左顶点为X,右顶点为Y,现对于每组左右连接XiYj有权wij,求一种匹配使得所有wij的和最大。 基本原理 该算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ],顶点Yj的顶标为B[ j ],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。 KM算法的正确性基于以下定理: 若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 首先解释下什么是完备匹配,所谓的完备匹配就是在二部图中,X点集中的所有点都有对应的匹配或者是 Y点集中所有的点都有对应的匹配,则称该匹配为完备匹配。 这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。 初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。 我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现: 1)两端都在交错树中的边(i,j),A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。 2)两端都不在交错树中的边(i,j),A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。 3)X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。 4)X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。(针对之后例子中x1->y4这条边) 现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于: Min{A[i]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。 改进 以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack,每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y 顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改顶标后,要把所有的不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d(因为:d的定义为 min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y? T }

图论算法及matlab程序的三个案例

图论实验三个案例 单源最短路径问题 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是,设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点,记()l v 为顶点 v 到源点v 1的最短距离, ,i j v v V ?∈,若 (,)i j v v E ?,记i v 到j v 的权ij w =∞。 Dijkstra 算法: ① 1{}S v =,1()0l v =;1{}v V v ??-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-; ② S φ=,停止,否则转③; ③ ()min{(),(,)} j l v l v d v v =, j v S ∈,v S ?∈; ④ 存在 1 i v +,使 1()min{()} i l v l v +=,v S ∈; ⑤ 1{} i S S v +=, 1{} i S S v +=-,1i i =+,转②; 实际上,Dijkstra 算法也是最优化原理的应用:如果12 1n n v v v v -是从1v 到 n v 的最短路径,则 12 1 n v v v -也必然是从1v 到 1 n v -的最优路径。 在下面的MATLAB 实现代码中,我们用到了距离矩阵,矩阵第i 行第j 行元 素表示顶点i v 到j v 的权ij w ,若i v 到j v 无边,则realmax ij w =,其中realmax 是 MATLAB 常量,表示最大的实数+308)。 function re=Dijkstra(ma)

图论模型简介

图论模型简介 一、图及其矩阵表示 1、起源:哥尼斯堡七桥问题: 欧拉为了解决这个问题,建立数学模型:陆地——点,桥——边,得到一个有四个“点”,七条“边”的“图”。问题转化为能否从任一点出发一笔画出七条边再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画判定法则:图是连通的,且每个顶点都与偶数条边相关联(这种图称为欧拉图)。由此可以得出结论:七桥问题无解。

2、基本概念: 图(graph):由顶点和边(又称线,边的两端必须是顶点)组成的一个结构。 邻接:一条边的两个端点称是邻接的;关联:边与其两端的顶点称是关联的。 无向图(graph):边无方向的图;有向图(digraph):边有方向的图。 路(path):由相邻边组成的序列,其中中间顶点互不相同。 圈(cycle):首、尾顶点相同的路,即闭路。 连通图(connected graph):图中任意两顶点间都存在路的图。 树(tree):无圈连通图 完全图(complete graph):任意两个顶点之间都有边相连的无向图,记为K n。 竞赛图(tournament):由完全图给每条边定向而得到的有向图。 二部图(bipartite graph):图的顶点分成两部分,只有不同部分顶点之间才有边相连。图G的子图H(subgraph):H是一个图,H的顶点(边)是图G的顶点(边)。 网络(Network):边上赋了权的有向图。

3、图的矩阵表示 无向图 有向图 0100010 11001011 011000 1 00???????????????? ???? ? ? ? ? ????????0110010100000100100000110

图论之 最短路

图论之最短路 一、求最短路方法(对于一个包含环的图) 1、Dijkstra 2、Bellman-ford 3、SPFA 4、Floyd 二、Dijkstra思想(求单源点最短路,不含负边权) 1、设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径, 就将其加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v 到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2、Dijkstra步骤 (1)初始时,S只包含源点,即S=v,距离为0。U包含除v外的其他顶点,U 中顶点u距离为边上的权; (2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度); (3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值为经过顶点k的值(松弛操作); (4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。 3、Dijkstra两种实现方法 (1)邻接矩阵+找最小边 (2)邻接表+优先队列 关键:松弛操作 if(d[v]>d[u]+e[u][v].w) d[v]=d[u]+e[u][v].w 4、Dijkstra 稠密图的邻接矩阵 for(int i=0;idis[x]+w[x][y]) dis[y]=dis[x]+w[x][y]; } 5、邻接链表+优先队列 memset(dis,127,sizeof(dis)); dis[1]=0; q.push(make_pair(dis[1],1)); while(!q.empty())

数学建模中常见的十大模型讲课稿

数学建模中常见的十 大模型

精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢?随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98 年美国赛A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年A 题逢山开路,山体海拔高度的 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除

maab图论程序算法大全

图论算法m a t l a b实现求最小费用最大流算法的 MATLAB 程序代码如下: n=5;C=[0 15 16 0 0 0 0 0 13 14 0 11 0 17 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0]; %弧容量 b=[0 4 1 0 0 0 0 0 6 1 0 2 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0]; %弧上单位流量的费用 wf=0;wf0=Inf; %wf 表示最大流量, wf0 表示预定的流量值 for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流 while(1)

for(i=1:n)for(j=1:n)if(j~=i)a(i,j)=Inf;end;end;end%构造有向赋权图 for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j); elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j); elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;end for(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford 算法求最短路, 赋初值 for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs 到vt 的最短路 for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0;end;end;e nd if(pd)break;end;end %求最短路的Ford 算法结束 if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs 到vt 的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有 向赋权图中不会含负权回路, 所以不会出现k=n dvt=Inf;t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量 while(1) %计算调整量 if(a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量 elseif(a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t));end %后向弧调整量

数学建模常用算法模型

数学模型的分类 按模型的数学方法分: 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分: 静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分: 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分: 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分: 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分: 国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目(离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策) 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 (该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 (比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具) 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 (建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现) 4、图论算法 (这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备)

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 (这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 (这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法 (当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法 (很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法 (如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用) 10、图象处理算法 (赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理) 算法简介 1、灰色预测模型(必掌握) 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用: ①数据样本点个数少,6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测(高大上、备用) 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但其中的要求,不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系,但可以找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测(必掌握) 求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变化; 样本点的个数有要求: ①自变量之间协方差比较小,最好趋近于0,自变量间的相关性小; ②样本点的个数n>3k+1,k为自变量的个数;

最优化理论

最优化理论 一、最优化理论概述 优化是从处理各种事物的一切可能的方案中,寻求最优的方案。优化的原理与方法,在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用,便是优化问题。优化一语来自英文Optimization,其本意是寻优的过程;优化过程:是寻找约束空间下给定函数取极大值(以max表示)或极小(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划,是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学。在生产过程、科学实验以及日常生活中,人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事,获得最大的效益,在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化,如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。在最优化的研究生教学中我们所说的最优化问题一般是在某些特定的“约束条件”下寻找某个“目标函数”的最大(或最小)值,其解法称为最优化方法。 最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。实践表明,随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展,最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法,被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域,发挥着越来越重要的作用。从数学意义上说,最优化方法是一种求极值的方法,即在一组约束为等式或不等式的条件下,使系统的目标函数达到极值,即最大值或最小值。从经济意义上说,是在一定的人力、物力和财力资源条件下,使经济效果达到最大(如产值、利润),或者在完成规定的生产或经济任务下,使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优化理论与方法作为一个重要的数学分支,它所研究的就是在众多的方案中怎么能找到最优、最好的方案。由于科学技术与生产技术的迅速发展,尤其是计算机应用的不断扩大,使最优化问题的研究不仅成为了一种迫切的需要,而且有了求解的有力工具,因此,发展成了一种新的科学。最优化理论与方法,狭义的主要指非线性规划的相关内容,而广义的则涵盖:连续优化:包括线性规划、非线性规划、全局优化、锥优化等;离散优化:网络优化、组合优化等;和近年来发展迅速的智能优化等。 一般而言,最优化问题的求解方法大致可分为4类:1)解析法:对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学表达式的最优化问题,一般都可采用解析法。在解决实际问题时,由于描述实际问题的解析形式的数学表达式很难找到,因此,这种表达式则缺

图论及其算法

《图论及其算法》 --最短路问题 学院:通信学院 姓名:周旋 学号: S110131133 指导老师:陈六新

摘要 图论是数学的一个分支,它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形,这些图形通常用来描述某些事物之间的特定关系,用点代表事物,用连接两点的线表示相应两个事物间具有的关系。通过对《图论及其应用》中最短路问题的深入学习,本文利用Dijkstra算法来解决日常生活中寻找最短路的问题。同时也是对本学期学习知识的巩固。 关键词:最短路径 Dijkstra算法迭代

Abstract Graph theory is a branch of mathematics, it studies the object of picture. Graph theory graph is given by the number of points and lines connecting the two points of the graphic form. These graphics are often used to describe a specific relationship between certain things. And with the point on behalf of things, with the line connecting the two points that have a corresponding relationship between two things. Through the "Graph Theory and Its Applications," in-depth study of the shortest path problem. In this paper, we use The Dijkstra's algorithm not only to solve everyday life to find the shortest path problem, but also for the consolidation of the semester to learn the knowledge. Keyword: shortest path Dijkstra's algorithm Iteration

数学建模常用算法模型

按模型的数学方法分: 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分: 静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分: 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分: 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分: 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分: 国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目(离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策) 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 (该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 (比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具)

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 (建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现) 4、图论算法 (这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备) 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 (这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 (这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法 (当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法 (很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法 (如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用)10、图象处理算法 (赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理) 算法简介 1、灰色预测模型(必掌握)

图论 模型

251 图论模型 图论是运筹学的一个经典和重要分支,专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。许多优化问题,可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决,比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。 图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。1936年,匈牙利数学家柯尼希(D. K?nig )出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》,树立了图论发展的第一座里程碑。近几十年来,计算机科学和技术的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。 9.1 图的基础理论 9.1.1 图的基本概念 所谓图,概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。定义为(,)G V E =,V 是顶点的非空有限集合,称为顶点集。E 是边的集合,称为边集。边一般用(,)i j v v 表示,其中 ,i j v v 属于顶点集V 。 以下用V 表示图(,)G V E =中顶点的个数,E 表示边的条数。 如图9.1是几个图的示例,其中图9.1 (a)共有3个顶点、2条边,将其表示为 (,)G V E =,123{,,}V v v v =,1213{(,),(,)}E v v v v =. 2 3 v 45 v 3 4 (a) (c) 图9.1 图的示意图 1.无向图和有向图 如果图的边是没有方向的,则称此图为无向图(简称为图),无向图的边称为无向边(简称边)。如图9.1 (a)和(b)都是无向图。连接两顶点i v 和j v 的无向边记为(,)i j v v 或(,)j i v v 。 如果图的边是有方向(带箭头)的,则称此图为有向图,有向图的边称为弧(或有向边),如图9.1 (c)是一个有向图。连接两顶点i v 和j v 的弧记为,i j v v ??,其中i v 称为起点,j v 称为终点。显然此时弧,i j v v ??与弧,j i v v ??是不同的两条有向边。有向图的弧的起点称为弧头,弧的终点称为弧尾。有向图一般记为(,)D V A =,其中V 为顶点集,A 为弧集。 例如图9.1 (C)可以表示为(,)D V A =,顶点集1234{,,,}V v v v v =,弧集为1223{,,,, A v v v v =????243441,,,,,}v v v v v v ??????。 对于图除非指明是有向图,一般地,所谓的图都是指无向图。有向图也可以用G 表示。 例9.1 设12345{,,,,}V v v v v v =,12345{,,,,}E e e e e e =,其中

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