高三数学第一次调研试卷

高三数学第一次调研试卷

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的 四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

（1）与向量(12,5)a =

平行的单位向量为（ ）

A ．125(,)1313-

B ．125

(,)1313--

C ．125(,)1313或125(,)1313--

D ．125(,)1313

±±

（2）函数2223log (2)y x x x =

--++的定义域为（ ）

A.．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(,1][3,)-∞-+∞ C ．(2,1]-- D ．(2,1][3,)--+∞ （3）已知样本:

10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12

那么频率为0.3的范围是（ ）

A ．5.5~7.5

B ．7.5~9.5

C ．9.5~11.5

D ．11.5~13.5 （4）已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的一个必要条件是（ ）

A ．m ∥α，n ∥α Ｂ．m ⊥α，n ⊥α C ．m ∥α，n ?α D ．m 、n 与α成等角 （5）若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（ ）

A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(

（6）设双曲线22

221x y a b -=(0,0)a b >>的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率

为（ ）A ．52 B ．51

2

+ C ．2 D ．3

（7）若函数y =f (x ) (x ∈R )满足f (x +2)=f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )=|x |．则函数y =f (x )的图象与函数y =log 4|x |

的图象的交点的个数为（ ）A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 （8）已知点P 是抛物线2

2y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7(,4)2

A ，

则||||PA PM +的最小值是（ ）A ．112 B ．4 C ．9

2

D ．5

（9）已知函数()y f x =的图象与函数2

1x

y -=-的图象关于

直线y x =对称，则(3)f 的值为 （ ）A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-

（10）能够使得圆2

2

2410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一

个值为（ ） A ．2 Ｂ．5 C ．3 D ．35 （11）关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式

02

>-+x b

ax 的解集是（ ） A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B ．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞)

（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）

A.180

B.196

C.210

D.224

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

（13）如图，已知点E 是棱长为2的正方体1AC 的棱1AA 的中点，则点A 到平面EBD 的距离等于_____________．

14）若123n a n =++++ ，则数列1

{

}n

a 的前n 项和n S =_____________．

（15）已知1

sin

cos

,2

22

θ

θ

+=则cos 2θ= ． （16）有两个向量1(1,0)e = ，2(0,1)e =

，今有动点P ，从

0(1,2)P -开始沿着与向量12e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +

；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +

．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥

时，t = 秒．

三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)

某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质

得分 评卷人

得分 评卷人

得分 评卷人 1

A 1

B 1

C 1

D D

C B

A

E

检办法规定：从每盒10件A 产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A 产品中有2件次品．

（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；

（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

(18)(本小题满分12分) 已知偶函数f (x )=cos θsin x －sin(x －θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ的最小值是0，求f (x )的最大值及此时x 的集合．

(19) (本小题满分12分) 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA ==，90BAC ∠=

，D 为棱1BB 的中点．

（Ⅰ）求异面直线1C D 与1AC 所成的角； （Ⅱ）求证：平面1A DC ⊥平面ADC ．

(20) (本小题满分12分) 已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行．

（I ）求f (x )的解析式；

（II ）求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间．

(21) (本小题满分12分) 等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．

（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由．

(22)(本小题满分14分)如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2

212

x y +=交于不同的两点A 、B ，点M 是弦AB 的中点．（Ⅰ）若OP OA OB =+

，求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）求

||

||

MD MA 的取值范围．

得分 评卷人

得分 评卷人 得分 评卷人

得分 评卷人

D

O

A B

M

P

x

y l

得分 评卷人

A C

B

A 1

C 1

B 1

D

参考解答

一、选择题：每小题5分，满分60分．

(1)C (2)D (3) B (4)D (5) B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C 二、填空题：每小题4分，满分16分．

(13)

63； (14)21n n +； (15)1

8

-； (16)2． 三、解答题

（17）(本小题满分12分)

解: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为4

10C 种，……………………1＇ 其中次品数不超过1件有4

3

1

882C C C +种，…………………………………………………2＇

被检验认为是合格的概率为431882

4

10

C C C C +……………4＇（本步正确，对上两步不作要求） 13

15

=

．……………………………………………………6＇ (2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，…………………………………………7＇ 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为

1315

， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

121313

C (1)1515?

?-…………………………………10＇ 52

225=．…………………………………………11＇ 答：该盒产品被检验认为是合格的概率为1315

；两次检验得出的结果不一致的概率为52

225．

…………………………………………………………………………………………………12＇

说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．

（18）(本小题满分12分)

解：f (x )=cos θsin x －(sin x cos θ－cos x sin θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ

=sin θcos x +(tan θ－2)sin x －sin θ．……………………………………………………1'

因为f (x )是偶函数，

所以对任意x ∈R ，都有f (－x )=f (x )，……………………………………………………2' 即sin θcos(－x )+(tan θ－2)sin(－x )－sin θ=sin θcos x +(tan θ－2)sin x －sin θ, 即(tan θ－2)sin x =0，

所以tan θ=2．……………………………………………………………………………5'

由22sin cos 1,sin 2,cos θθθθ

?+=??=??…………………………………………………………………6'

解得???

????==；，55cos 552sin θθ

或???

????-=-=.55cos 552sin θθ，……………………………………………………………………8' 此时，f (x )=sin θ(cos x －1). 当sin θ=

552时，f (x )=55

2(cos x －1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；.……9' 当sin θ=552-

时，f (x )=5

5

2-(cos x －1)最小值为0， 当cos x =－1时，f (x )有最大值为

5

5

4,…………………………………………11' 自变量x 的集合为{x |x =2k π+π,k ∈Z }．.…………………………………………………12'

（19）(本小题满分12分) 解法一：

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB a =，

则11(0,0,2),(0,,0),(0,,2),(,0,)A a C a C a a D a a ， 于是11(,,),(0,,2)C D a a a A C a a =--=-

．

111111cos ,||||

C D A C C D A C C D A C ?<>=?

B

A 1

C 1

B 1

D

y

x

z

……4'

…2'

22

021515

35a a

a a

-+=

=

?，

∴异面直线1C D 与1

AC 所成的角为15arccos 15

．

（Ⅱ）1(,0,),(,0,),(0,,0)A D a a AD a a AC a =-==

，

221100,0A D AD a a A D AC ∴?=+-=?=

.

则11,A D AD A D AC ⊥⊥

．

1A D ∴⊥平面ACD ． 又1A D ?平面1

ACD ， ∴ 平面1A DC ⊥平面ADC ．

解法二：

（Ⅰ）连结1AC 交1

AC 于点E ，取AD 中点F ，连结EF ，则EF ∥1C D ． ∴直线EF 与C A 1所成的角就是异面直线1C D 与1AC 所成的角． 设AB a =， 则2211113C D C B B D a =

+= ， 22115A C AC AA a =

+=．

222AD AB BD a =

+=

．

CEF ?中，1152

2

CE A C a =

=

，1132

2

EF C D a =

=

， 直三棱柱中，90BAC ∠=

，则AD AC ⊥．

222226(

)2

2

a CF AC AF a a =

+=+=

．

222

2

2

2

5

3

3

15442cos 21553

222

a a a CE EF CF CEF CE EF a a

+

-+-∠===

??? ， ∴异面直线1C D 与1

AC 所成的角为15arccos 15

．

（Ⅱ）直三棱柱中，90BAC ∠=

，AC ∴⊥平面11ABB A ． 则1AC A D ⊥． 又2AD a =

，12A D a =

，12AA a =，

则2

2

2

11AD A D AA +=，

于是1AD A D ⊥．

1A D ∴⊥平面ACD ． 又1A D ?平面1A CD ，

∴平面1A DC ⊥平面ADC ．

（20）(本小题满分12分)

解：（I ）设f (x )=ax 2+bx +c ，则f '(x )=2ax +b ．………………………………………………1'

由题设可得：?????-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即??

?

??-=-==+.3,2,

02c b b a …………………………………………4'

解得??

?

??-=-==.3,2,

1c b a …………………………………………………………………………5'

所以f (x )=x 2-2x -3．……………………………………………………………………6' （II ）g (x )=f (x 2)=x 4－2x 2－3，g '(x )=4x 3－4x =4x (x －1)(x +1)．………………………8'

列表：

………………………………………………………………………………………11' 由表可得：函数g (x )的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．………………………12'

（21）(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；…………………2＇（任一非负偶数均可）

1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．……………………3＇

（任一正奇数均可） （Ⅱ）4d =时，422(21),n a n n =-=-…………………………………………………4＇

x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)

f '(x ) － 0 + 0 － 0 + f (x ) ↘ ↗ ↘ ↗

A

C

B

A 1

C 1

B 1

D F

E

…………2'

…………4'

…………6'

…………7'

…………8'

…………10'

…………12'

…………11' …………10'

…………7'

123n n b -=?……………………………………………………………5＇

131 2(21)2n m a -+=?-=131

(2

n m -+=为正整数），

{}n b 的项一定都是{}n a 中的项．……………………………………………………………………………7＇

（Ⅲ）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇ ①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-?=+-?

2n >时，11122

112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=?+=++???++，

其中1

122

11C C n n n n n k

k k -----++???+是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ）

， 只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =，即{}n b 的项都是{}n a 中的项；……11＇

②当21,()d k k =+∈N 时，2

3(23)2

k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项．…………12＇

（22）(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)；………………………………………………1＇ ②设直线:2l x my =-，并设点,,,A B M P 的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ，

由22

2,22

x my x y =-??+=?消去x ，得 22(2)420m y my +-+=， ①……………………2＇ 由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得2

2

(4)8(2)0m m ?=--+>，即2

8(2)0m ->，所以

2

2m >．……………………………………………………………4＇

由OP OA OB =+ 及方程①，得12242m y y y m =+=+，

12122

8

(2)(2)2

x x x my my m =+=-+-=-+， 即22

8,24.2x m m y m ?

=-??+??=?+?

…………………………………………………………………………6＇

由于0m ≠（否则，直线l 与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，2y

m x

=-，代入到方程2

82x m =-

+，得282()2x y x

=--+，整理，得22

240x y x ++=（20)x -<<． 综上所述，点P 的轨迹方程为22

240x y x ++=（20)x -<≤．……………………8＇ （Ⅱ）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M 在原点O 处，所以，

||2,||2MD MA ==，所以，

||

2||

MD MA =；……………………………………………9＇ ②由方程①，得12022,22

y y m

y m +=

=+ 所以，2

2

022||

||1||12

D m MD m y y m

m =+-=++，

22

2

2

12012||

22

||1||112

2

y y m MA m y y m m m --=+-=+=++，

所以

22

||2||2

||221MD m MA m m

==--．…………………………………………………12＇

因为2

2m >，所以2

2

(1,0)m

-

∈-，所以221(0,1)m -∈，所以||(2,)||MD MA ∈+∞． 综上所述，||

[2,)||

MD MA ∈+∞．…………………………………………………………14＇