单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动

单自由度有阻尼系统的受迫振动实验

5□ 5-1 单自由度系统有阻尼受迫振动 图5-1 单自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图

单自由度系统有阻尼受迫振动□ 5-2 图5-2 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 :将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 :激活本实验的实验指导文本。 退 出 :退出本操作界面,回到主界面(图2) 虚拟仪器 量程:指示灯为“绿色”表示信号达到半量程,为“黄色”表示信号

过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 :选择“显示选择”中的显示内容,可使其单独显示“加速度信号”或“激励信号”的时间历程。也可同时显示“加速度/激励信号”的时间历程。 电压表 :显示加速度信号的电压值。 频率计 :显示加速度响应信号的频率。 李萨玉图 :观察加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 :输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭信号发生器。 测试数据: 拾取数据 : 拾取电压表和频率计当前的读数到测试数据表格内。若重复拾取某一频率的数据,则当前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据,重新拾取电压表和频率计当前的读数。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线(图5-3)。 图5-3

一、实验目的 ? 了解和掌握单自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现象。 ? 掌握根据李萨育图获得结构固有频率的方法(即相位共振法)。 ? 了解和掌握机械结构加速度幅频特性曲线的测量方法以及如何由幅频特性曲线得到结构的固有频率。 二、实验仪器 ? 单自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器(ICP式) 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中:信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图5-1将综合实验台装配成单自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图5-1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小,“信号选择”置“外接”!打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框(图2),进入“单自由度系统有 阻尼受迫振动”实验操作界面(图5-2)。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz,输出电压约为1V。调节功率放

第1章--单自由度系统的自由振动题解

习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型,房顶质量为m ,视为一刚性杆;柱子高h ,视为无质量的弹性杆,其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解:由于两根杆都是弹性的,可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量,由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向,则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆,长为 l ,重量为W ,用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。 解:给杆一个微转角θ 2 a θ=h α 2F cos α=mg 由动量矩定理: a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 θ F sin α 2 θα h mg θ

其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2=== 1-3求题1-3图中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3,悬臂梁的质量忽略不计。 解:悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧,因此,k 1与k 2串联,设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联,设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联,设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += ',212132k k k k k k ++=',4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩,I 是圆盘的转动惯量,各个轴段的转动惯量不计,材料剪切弹性模量为G 。 解: 111/l GJ k = (1) 222/l GJ k = (2) 333/l GJ k = (3) )/(23323223l J l J J GJ k += (4) ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 )由( 题1-3图 题1-4图

实验一 单自由度系统强迫振动实验

单自由度系统强迫振动实验 一、实验目的 1、 了解学习振动系统和测振系统的组成及原理,掌握测振的一般方法。 2、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后以及快速通过共振区的振幅变化情况。 3、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后干扰力与系统位移的相位关系。 4、 测定简支梁振动系统的固有频率及幅频特性曲线。 二、实验装置 1、 实验装置简图 测振仪(11) 示波器(12) 闪光测速仪(9) 闪光灯(8)电动机(3) 变压器(2) 传感器(10) 简支梁(1) 偏心轮(4) 振标(7) 标记线(5) 图一 2、实验装置上各附件的作用 (1) 简支梁 简支梁是由一块截面为矩形的弹性钢板通过轴承支撑在两个刚性很强的固定支架上,它在系统中主要起弹簧作用。 (2) 固定架 固定架是用来固定偏心轮、标记盘等部件的,其质量同简支梁质量的一半组成系统的质量(根据能量原理而得)。故此系统可简化为(图二)所示的弹簧质量系统。 图二

图中:M ------系统的质量 m -------偏心质量 0F -------离心惯性力 k --------简支梁的弹簧刚度 r --------阻尼系数 (3) 自耦变压器 自耦变压器用来启动电机和调节电机转速的设备。当通过变压器手轮改变变压器输出电压时,即可改变电机的转速,借以达到调速之目的。 (4) 电动机 电动机是用来驱动偏心轮旋转的动力源。在本实验中借助改变电机的转速来实现干扰力频率的变化。 (5) 偏心轮 偏心轮在系统中是产生干扰力的元件。当转轴带动偏心轮以转速N 旋转时,偏心质量m 就以2(1/)60 N s πω= 作等速圆周运动,同时产生了一个离心惯性力20F me ω=。该力通过轴和轴承座传给梁。这个旋转的离心惯性力在铅直方向的分量就构成了对梁沿铅直方向的简谐干扰力,即20sin sin F F t me t ωωω==。此干扰力使系统产生强迫振动。以坐标x 表示偏心轮轴心离开静平衡位置的铅垂位移,如图二,则系统振动的微分方程为: 2sin Mx rx kx me t ωω++= (1) 设 2r n M = , 2 k p M =,2me q M ω= 上式可以写成 22sin x nx p x q t ω++= (2) 这个微分方程的全解为 12()()()x t x t x t =+ 其中 22 1()sin()nt x t Ae p n t ?-=-+是个衰减振动,在振动开始的一定时间后就完全 消失了。所以: 2()sin()x x t B t ω?==- (3) 此式所表示的就是系统的稳态强迫振动。 式中: B →振幅=0 2 22 2 2 222 ()4(1)(2) q q p n p ωω λζλ= -+-+ (4) ψ→相位差 222 22tan 1n p ωζλ ?ωλ ==-- (5) 式中:

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ,作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ,相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ,若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用,求系统的稳态响应。 解:由题意,可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x =1.103 cos(3t -51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用,当激振频率ω1 =6rad/s 时,系统发生共振;给

质量块增加1 kg 的质量后重新试验,测得共振频率ω2 =5.86rad/s ,试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解:设原系统的质量为m ,弹簧常数为k 由 m k p n = ,共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m =20.69 kg ,k =744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上,使梁产生静挠度st δ,转子重Q ,重心偏离轴线e ,梁重及阻尼可以不计,求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解:列出平衡方程可得: 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以:2n kg P W Q h w e W ==, 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示,作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=,弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =,写出系统的运动微分方程,并求稳态振动。 题2-4图

0727第三章 两自由度系统振动(讲)

第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中,还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题,因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统,振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如,车床刀架系统(a)、车床两顶尖间的工件系统(b)、磨床主轴及砂轮架系统(c)。只要将这些系统中的主要结合面(或芯轴)视为弹簧(即只计弹性,忽略质量),将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量,再忽略存在于系统中的阻尼,就可以把这些系统近似简化成图(d)所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1(c)所示的磨床磨头系统为例分析,因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上,可以近似地认为是刚性很好的,具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上,因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外,砂轮架安装在砂轮进刀

拖板上,如果把进刀拖板看成是静止不动的,而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧,把砂轮架看成是集中的质量,则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样,磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中,m1是砂轮架的质量,k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度,m2是砂轮及其主轴系统的质量,k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点,取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由

第三章两自由度系统振动

1α,小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=, ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3.确定图2-3系统的固有频率。

() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中,还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题,因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统,振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如,车床刀架系统(a )、车床两顶尖间的工件系统(b )、磨床主轴及砂轮架系统(c )。只要将这些系统中的主要结合面(或芯轴)视为弹簧(即只计弹性,忽略质量),将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量,再忽略存在

于系统中的阻尼,就可以把这些系统近似简化成图(d)所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1(c)所示的磨床磨头系统为例分析,因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上,可以近似地认为是刚性很好的,具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上,因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外,砂轮架安装在砂轮进刀拖板上,如果把进刀拖板看成是静止不动的,而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧,把砂轮架看成是集中的质量,则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样,磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

4-单自由度系统的受迫振动

1-2单自由度体系的受迫振动 主要问题1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应1-2-2周期激励作用的受迫振动响应1-3-3任意激励作用的受迫振动响应 1-3-5 隔振 1-3-4 等效阻尼 激励 响应 系统

1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应 单自由度系统振动方程 t F kx x c x m ωsin 0=++ 非自治系统 t f x x x n n ωω?ωsin 202=++

t k F t k F t x t x x n n n n ωλ ωλλωωωsin 11 sin 1sin cos 2 02000-+--+= 无阻尼系统 ???? ?====+0002 )0(,)0(,0sin x x x x t t f x x n ωω方程之解 无阻尼自由振动 无阻尼受迫振动 自由伴随振动 瞬态过程 稳态过程

实际系统中,阻尼的客观存在,随着时间的推移,瞬态响应逐渐衰减,系统进入稳态振动过程 系统的瞬态振动过程是复杂的运动形式?ε λ21+=?0 →εt t f x n n ωεωε cos sin 20 -≈t t f x n n ωωcos 2 1 0-≈“拍”

无阻尼系统的稳态响应 t k F x ωλ sin 112 0-=k F st 0 = δ静变形 2 11λβ-= 动力放大因子 1<<λ?1 >>λ?1 =λ?1 →β系统表现为静态特征0 →β系统表现为动态特征∞ →β系统出现“共振”现象

θ βi e k -=1θβ 阻尼系统的稳态响应 t f x x x n n ωω?ωsin 202 =++ t i n n e f x x x ωω?ω02 2=++ 设系统的稳态响应为 t i Be x ω=B 为复振幅 )(F H B ω=H (ω)称为复频响应函数 2 2 2) 2()1(1?λλ+-= 2 12arctan λ?λ -=动力放大因子响应与激励的相位差!系统的幅频特性 !系统的相频特性 ??????+---=2222 )2()1(211)(?λλ?λλωi k H

[整理]matlab二自由度系统振动.

利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件,本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析,再和理论公式对比,并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比,观察两者的差异,分析软件仿真产生差异的原因,加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质,而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动,这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时,称为主振动。系统作 主振动时,任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值,即整个系统具有确定的振动形态,称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下,其所发生的振动称 为强迫振动,这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1)创建底座:先生成一个尺寸合适的长方体基体,再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2)使用new part 指令分别创建两个滑块,创建滑块时应注意滑

块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3)弹簧连接:分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后,依次选中弹簧,在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping,即弹簧无阻尼。 添加约束:底座和地面固定,滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后,滑块1、2 运动状态如图所示:

单自由度受迫振动

单自由度受迫振动 一、运动方程的建立 在简谐荷载t P θsin )t (P =作用在质点m 上,其作用线与运动方向一致。此时的运动方程为: t m P t y t y θωsin )()(2=+?? 经积分可求得运动方程的解。由初始条件t=0时,0,0v y 可得到方程为 t m p t m P t v t y t y θθωωωθθωωω ωsin )(sin )(sin cos )(222200-+?--+= 1.1 当θ=0时或P=0时,体系为自由振动,图像如下图: 考虑阻尼的情况下 不考虑阻尼的情况下

当P不为0,且θ不为零的情况下,体系发生受迫振动。 二、无阻尼振动 单自由度体系受迫振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。在模型建立过程当中,可以直接进行建立。在运行时,只需将c=0即可。如下图,结构在受迫振动的同时会有初位移,初速度引起的自由振动,以及动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,即伴随自由振动。

三、有阻尼受迫振动 由于有阻尼的作用,自由振动会很快的衰减掉。在振动计算过程中,通常不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉的过渡阶段,而只计算在这以后体系按干扰力的频率θ进行的受迫振动。这时的振幅和频率是恒定的。成为稳态强迫振动。如图: 3.1 振幅 2 2-11A ωβm P ?=,ωθβ= 由公式可见,强迫振动的振幅除与干扰力这幅P 有关外,还与ω θβ=有关。 3.1.1 ωθ<< 此时0≈=ω θβ,得st y ≈≈A 1,μ,可知与自振频率相比,频率很低的干扰力所产生的动力作用并不明显,可当静荷载处理,可认为结构为刚体或荷载并不随时间变化,不存在振动问题。图像如下图所示

单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比

:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 (武汉大学力学实验教学中心) 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念; 2、学习用频谱分析信号的频率; 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算,在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线(波形)振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比,或经过一个周期的两个同方向

振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量: η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln (η)=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小;这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块,加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波,见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际

单自由度系统

第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ,单位是kg 。弹簧刚度为K ,单位是N /m ,即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后,弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形:,同时也产生弹簧恢复力K ,当其等于重力W 时,则处于静平衡位置,即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰,使系统静平衡状态遭到破坏.则弹簧力不等于重力,这种不平衡的弹性恢复力,便使系统产生自由振动。首先建立座标,为简便起见,可选静平衡位置为座标原点,建立铅垂方向的座标x ,从原点算起,向下为正,向上为负,表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ,此时弹簧恢复力为K(+x),显然大于重力W ,由 于力不平衡,质量块在合力作用下,将产生加速度运动,故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力,等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积),建立运动方程,取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正,可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数,由运动的初始条件确定,设t=0时 00,x x x x &&== (1-1-5) ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )

单自由度系统强迫振动(悬臂梁)

单自由度系统强迫振动(悬臂梁)   一、实验目的  1、 测定带有集中荷重的悬臂梁系统,在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线;借助幅频特性曲线,求出系统的固有频率及阻尼常数; 2、 初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。 二、实验装置及原理 1、 实验装置  一个单层框架结构的悬臂梁系统,固定端固定在底板上,自由端与激振器连接,其简图如图1所示。这个系统可看作如图2所示的,有阻尼的单自由度弹簧质量系统。 其中:  m:为悬臂梁系统的等效质量;  k:为悬臂梁系统的等效弹簧常数; c:为悬臂梁系统的阻尼常数;  x(t):为激振器激振器(谐振动)位移,x(t)=Asinωt。 2、 实验原理 图3    测试系统的框图如图3所示。信号发生器可调节激振器的激振频率,激振器的激振频率由计数器读得,悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大,由电压表读得。    三、实验步骤 1、 开机,注意开机顺序依次为:信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。 2、 调节信号发生器(其振幅一般保持不变)和功率放大器,使激振器以较小的振幅激振; 激振器

然后调节信号发生器的频率,从10-40Hz扫频,使振幅达到最大,即找到系统的共振频率,再轻微调节功率放大器的振幅峰F0,使共振时的位移达到所需振幅。 3、 然后从低频段各点扫描,找出各点频率下对应的位移振幅,频率间隔根据不同情况选取 (最好以位移振幅选取),并把各点数据记录表中和填入方格纸中,完成幅频曲线的绘制。 4、 检查幅频曲线的正确与否,偏差较大时,重新找取相应点的数据。根据图示幅频曲线, 由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。 5、 关机,把功率放大器的振幅调至最小,然后关闭仪器的电源,关机顺序正好与开机顺序 相反。 四、实验数据记录及计算结果 序号 频率 振幅 1 2 ….        按照幅频曲线,运用半功率原理得到:  10 36 Frequency Response Function Curve A /A max f (Hz) 1 固有频率:m n f f =, 带宽:12f f f ?=? 相对阻尼系数:n f f 2?= ζ 五、实验要求  1、 实验前必须带好方格纸,在实验过程中,将所测数据填入方格纸中,画出曲线的草图,并让老师检查方可离开。  2、 实验报告中必须达到实验报告基本要求,具备基本的数据表格和曲线图,认真做好实验报告。  3、 认真完成实验,注意实验安全事项。

两自由度系统的振动

5-1 如图所示的系统,若运动的初始条件:,0,mm 5,0201010====x x x t 试求系统对初始条件的响应。 解: 112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ω?ωω?ω?ω-?? =??-?? -??????????+=??????????-??????????+-=+-===++++== ==2带入可得运动微分方程:m,00,m 令代入原方程可得 -mA 有 时,1020120, cos 5,sin 0,5,0 ().x x A A A mm x x mm ?ω??===-=====有可得 ω有两个值 12p p = = 15522x =+ 255c o c 22x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆,采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标,设m m m ==21,l l l ==21,021==k k ,试求系统的固有频率和主振型。

解:设1m 沿1x 方向移动1个单位,保持 2m 不动,对2m ,1m 进行受力分析,可得: 212 2()0, m A k l m g =--=∑2212m g k l =- 11 12111212122 111211112()()()0 m B k k k l m m g m m m m m g k g k k g k l l l =-+-+=++= +-=++∑ 同理使2m 沿2x 方向移动一个单位,保持1m 不变,对2m 受力分析可得: 22 222()()*0m C k k l m g =--=∑, 22222m g k k l =+ ; 刚度矩阵为 11211222,,k k k k ??=????k ,质量距阵12,00,m m ??=????m , 带入可得运动的微分方程为:mx kx F += 12,00,m m ?? ???? 12x x ??????+11211222,,k k k k ?? ????12x x ???? ??=F ; 综上解得:????? ????=???? ??++-=-???? ??++++)()(222221222212221 2212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g m x g l m g l m m k x m 利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ,分别画出1m 与2m 的受力图,并施加二物块力2111,k k ,列平衡方程, 对1m : ∑=0X ,0sin sin 1221111 =---k T T k θθ ∑=0Y ,0cos cos 1 2 2 1 1 =--g m T T θθ 对2 m : ∑ =0X , 0sin 2 2 21 =+θT k ∑ =0Y , 0cos 2 22=-g m T θ

第5章两自由度系统的振动

第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论,可以解决机械振动中的一些问题。但是,工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度,即多自由度的系统,才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别,例如,有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身,它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角θ 来确定。这样,车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼,以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点,物体离开其平衡位置的位移用x 1、 x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所 示,由牛顿第二定律得 ? ? ? =+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统, 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-2两自由度的弹簧质量系统

5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论,设方程(5-2)的解,即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2),可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零,即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件,通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程,它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --?? ? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质,与运动的初始条件无关,因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率,较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式,可得到对应于它们的振幅比

两自由度系统的振动

x 1 ax 1 bx 2 x 2 cx 1 dx 2 显然此时 m 2 但对不同的系统, 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 第5章两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论,可以解决机械振动中的一些问题。但是,工程中有很多实际问 题必须简化成两个或两个以上自由度,即多自由度的系统,才能描述其机械振动的主要特征。多自 由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别,例如,有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两 自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身,它的位置可以 由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移 z 及平板的 转角 来确定。这样,车辆在铅直面内的振动问 题就被简化为一个两自由度的系统。 图 21-1 5.1双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩 擦力及其它阻尼,以它们各自的静平衡位置为坐标 X 1、X 2的原点,物体离开其平衡位置的位移用 X 1、X 2 何 表示。两物体在水平方向的受力图如图 5-2(b)所示, 由牛顿第二定律得 图5-2两自由度的弹簧质量系统 m 1x 1 (k 1 k 2)x 1 k 2x 2 0 m 2x 2 k 2 x 1 k 2x 2 0 (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程 。习惯上写成下列形式 (5-2) k 1 k 2 k 2 k 2 m 1

5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论,设方程 (5-2)的解,即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 x i A i sin( pt ) x 2 A 2 sin( pt ) 或写成以下的矩阵形式 将式(5-4)代入式(5-2),可得代数齐次方程组 a p 2 b A i 0 c d p 2 A 2 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式 (5-5)的系数行列式等于零,即 2 a p 2 b (p 2) p 2 c d p 展开后为 p 4 (a d) p 2 ad be 0 的两个特征根为 (ad bc) (5-7) 由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质, 与运动的初始条件无关, 因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率,较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率P 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式,可得到对应于它们的 振幅比 (5-3) x i X 2 A i sin( pt ) A 2 (5-4) (5-5) (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率 p 满足的条件, 通常称为频率分程或特征方程。 它是p 2的二次代数方程,它 2 a d 2 bc

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