基于小波方法的随机风场模拟与分析
同济大学
硕士学位论文
基于小波方法的随机风场模拟与分析
姓名：王毅
申请学位级别：硕士
专业：桥梁与隧道工程
指导教师：陈艾荣
20040301
６⑥墨怠．臻榔Ⅲ士学位论文对函数Ｈ（ｃｏ）进行Ｆｏｕｒｉｅｒ逆变换得到函数ｈ（ｔ１，如
１７（０２ｉ１』日（脚）ｅ””ｄ∞（】＿２４）与Ｐａｒｓｅｖａｌ等式稻类似地，可以写出：
ｆＨ（珊）ｄ∥（∞）＝ｆ矗（一ＯｄⅥ，ｏ）（１∞）
一∞一
ｔ
这里Ｍ，（，）是有正交增量的过程，满足：
研ｄⅥ，（，）ｄＭ，（ｖ）】．２碱．ｄｔ（１．２６）类似地，随机过程ｘ（ｔ）可以在时域中等价地写成：
ｘｏ）＝』ｈ（ｔ一善）ｄ¨，（善）＝』＾（，一ｆ）”，（ｆ）ｄｆ（】．２７）这里ｗ（｛）是单位功率白噪声过程。也就是：
Ｅ【Ⅵ，（ｆ）Ｍ，Ｏ十ｆ）】＝２万巧（ｆ），且Ｓ。（ｎ≯）＝】（１．２８）其中占是Ｄｉｍｅ函数。Ｅ式表明任何均匀二阶矩过程可以表达成过滤白噪声过程。而且，函数＾（，）可以与一个线性系统的脉冲响应相联系。因此，任何均匀过程可以看作是。个受到臼噪声激励的线性动力系统的响应。
比较随机过程的两个表达式可以发现：
ｘ（ｆ）＝』ｅ…日（国）ｄ∥（∞）＝』ｈ（ｔ－Ｘ）ｄ、＇《ｆ）（１２９）
上式给出随机场在频率域和时间／空间域内的两个等价的表达式。这些方程的离散表达就得到了合成随机场的两种方法。频域积分就产生了谐波合成法，时间／空问域积分就产生了线性滤波｝圭。１．３．２谐波合成法
谐波台成法是种利＿ｌ＝ｌｊ谱分解和三角级数替加米模拟随机过程样：４５＝的传统方法。它实现简单，在实际中被Ｊ。泛采用。这补方法的概念最早是由Ｒｉｃｅ在１９５４年提出的，它模拟了一维单变量的平稳高斯过程。Ｂｏｒｇｍａｎ‘１和Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ［４５。’把它用于模拟多维、多变量甚至非平稳过程的模拟问题巾。他们提出的方法得到了广泛的应用．井在应用巾不断进行改进。该方法的采用一系列余弦两数来采达随机场，它们具有加极振幅，几乎均匀问隔的频率和随机相位珩。此后，这种方法得到丁广泛艟用，并在应用中不断改进。
根据Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ”ｏ的建议，一维多变量随机过程Ｊ（刚’由样本ｘ，（，）可以由Ｆ式米模拟：
一（，）＝２√ｊ面芝兰ＩⅣ，。（ｑ）ｌｃ。ｓ（匆，一目Ｍ（ｑ）十九，）（１＿３０）
６⑧，墨愿。壹。Ｓ擘ＩＴＹ瞄硕士学位论文
分别把它们与原始信号中的某一段进行比较：ＣＷＴ越大．二者越相似。如此处理全部信弓，就能得到ＣＷＴ的灰度图。
实际中不可自＆对全部尺度因子值帚１位移参数值计算ＣＷＴ值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换（ＤｉｓｃｒｅｔｅＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍ，简称ＤＷＴ）。对任一信号，离散小波变换的第一步运算都是将信号分为低频部分（称为近似部分）和离散部分（称为细节部分）；近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。依次类推就得到信号在不同尺度（频段）上的分解。
２．１．４小波分析与傅立叶分析的比较
小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它的存存性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同ｌ明：
（】）傅立叶变换的实质是把能量有限信号／（，）分解到以ｆｅ…）为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号ｆ（Ｏ分解到阿，－，（，＝１，２，…，力和■，所构成的空间上去。
（２）傅立叶变换用到的基本函数只有正弦和余弦函数，具有唯一性；而小波分析用到的函数（即小波函数）具有不唯一性，同一个工程问题是用不同的小波函数进行分析有刚结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点和热点问题。
（３）傅立叶变换在频域中具有较好的局部化能力；但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，即无法从信号的傅立叶变换Ｆ（ｏｇ）中看出ｆ（Ｏ在任一时间点附近的性态。在短时傅立叶变换中，
变换系数Ｇ，（（－０，ｒ）主要依赖于信号在［ｆ—Ｊ，ｆ＋卅片段中的情况，时问宽度２６是一个定值。在小波变换中，变换系数ｃ玎，Ｌ』主要依赖于信号在胪一日△∥，６＋私∥】片段中的情况，时间宽度是２口△扩，该时间宽度是随着尺度ａ变化而变化的，所以小波变换具有Ｈ口间局部分析能力。同时，注意到小波分析中尺度ａ１１ｌ勺值越大相当于傅立叶变换中频率甜越小。
（４）若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短时傅立时变换来说，。凇通滤波器的骷宽△厂与中心频率厂无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽△厂则正比于中心频率ｆ，即
Ａ，
Ｑ＝＝≥＝ＣＣ为常数（２．１６）
｜
亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等ｇ结构（Ｑ为滤波器的品质因数，且有
，、带宽
、
妒百瓣几
２．２连续小波变换２．２．１连续小波变换及其逆变换
函数ｆ（ｔ）ＥＬ２（Ｒ）ｎ勺连续小波变换（ＣＷＴ）定义为