2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷(数学文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）

文科数学

第Ⅰ卷

第一节 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1）已知集合{}

13M x x =-<<， {}

21N x x =-<<，则M N = （ ） 第二节 )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- 【答案】：B

【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得M N = (-1,1),选B

第三节 若0tan >α，则

第四节 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 【答案】：C

【解析】：由tan α > 0可得:k π <α < k π + 2

π

(k ∈Z )，故2k π <2α <2 k π +π (k ∈Z )， 正确的结论只有sin 2α > 0. 选C

第五节 设i i

z ++=

11

，则=||z A.

21 B. 22 C. 2

3 D. 2 【答案】：B

【解析】：11111222i z i i i i -=+=+=++，2z =，选B

（4）已知双曲线)0(13

2

22>=-

a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2

5 D. 1 【答案】：D

【解析】：由双曲线的离心率可得2a

=，解得1a =，选D.

第六节 设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 第七节 )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 【答案】：C

【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴

()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.

第八节 设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+

第九节 B. 12AD C. 12

BC

D.

【答案】：A

【解析】：()()

EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+

=()

111222

AB AC AB AC AD +=

+=

, 选A.

第十节 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π

+

=x y ,④)4

2tan(π

-=x y 中，最小

正周期为π的所有函数为

A.①②③

B. ①③④

C. ②④

D. ①③ 【答案】：A

【解析】：由cos y x =是偶函数可知cos 2cos2y x x == ，最小正周期为π， 即①正确；y =| cos x |的

最小正周期也是π ，即②也正确；cos 26y x π?

?

=+ ??

?

最小正周期为π,即③正确；tan(2)4

y x π

=-

的最小

正周期为2

T π

=

,即④不正确.

即正确答案为①②③，选A

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

【答案】：B

【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

9.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =

A .

203 B .165 C .72 D .15

8

【答案】：D

【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：133

1,2,222

M a b =+

===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815

,,28838M a b =+===；

4n =时：输出15

8

M = . 选D.

第十一节

已知抛物线C ：x y =2

的焦点为F ,()y x A

,是C 上一点，x F A 0

4

5=，则=x 0

（ ）

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8 【答案】：A

【解析】：根据抛物线的定义可知0015

44

AF x x =+=，解之得01x =. 选A.

11.设x ，y 满足约束条件,

1,x y a x y +≥??-≤-?

且z x ay =+的最小值为7，则a =

（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3

【答案】：B

【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示. 在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,2

2a a -+??

???处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a = 3. 选B.

第十二节

已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围

是 第十三节 ()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-

【答案】：C

【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2

x a

=， 当0a >时，()22,0,()0;0,

,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ????'''∈-∞>∈<∈+∞> ? ?????

； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

当0a <时，()22,

,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ?

???'''∈-∞<∈>∈+∞< ? ?????

要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2

()0f a

>，即2

4a >，2a <-．选C

【解析2】：由已知0a ≠，()f x =32

31ax x -+有唯一的正零点，等价于3

1

13a x x =-

有唯一的正零根，令1t x

=

，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与3

3y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记3()3f t t t =-+

2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，

()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，选C

第II 卷

第十四节 填空题：本大题共4小题，每小题5分

第十五节

将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为

________.

【答案】：

2

3

【解析】设数学书为A ，B ，语文书为C ，则不同的排法共有（A ，B ，C ），（A ， C ，B ），（B ，C ，A ），（B ，A ，C ），（C ，A ，B ），（C ，B ，A ）共6 种排列方法，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为42

63

P ==.

第十六节

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】：A

【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B 城市，乙说：我没去过C 城市

∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

（15）设函数()113,1,

,1,

x e x f x x x -?

=??≥?则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.

【答案】：(],8-∞ 【解析】当x <1时，由1

2x e

-<可得x -1≤ ln 2，即x ≤ ln 2+1，故x <1；

当x ≥1时，由f (x ) =1

3

x ≤ 2可得x ≤ 8，故1≤ x ≤ 8，综上可得x ≤ 8

（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角

60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .

【答案】：150

【解析】在直角三角形 ABC 中，由条件可得AC =，在△MAC 中，由正弦 定理可得

()

0000

sin 60sin 1806075AM AC =--，故13A M A C ==，在直角△MAN 中，

0s i n 60150

M N A M =

= . 第十七节 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第十八节

（本小题满分12分）

已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2

560x x -+=的根。 （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ??

?

???

的前n 项和. 【解析】：（I ）方程2

560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ,，则

422a a d -=，故d=12

，从而132a =

，

所以{}n a 的通项公式为：1

12

n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ??

????

的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n n a n ++=， 则：234134512

22222n n n n n S +++=

+++++ 34512134512

222222

n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得

341212131112311212422224422

n n n n n n n S ++++++????=++++-=+-- ? ????? 所以1

4

22

n n n S ++=- ………12分 第十九节

（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【解析】：（I ）

…………4分

（II ）质量指标值的样本平均数为

800.06900.261000.381100.221200.08100x =?+?+?+?+?= .

质量指标值的样本方差为

()()()()2222

2200.06100.2600.38100.22200.08104s =-?+-?+?+?+?=…10 分

(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定. …………….12 分

19(本题满分12分)

如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （I ）证明：;1AB C B ⊥

（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.

【解析】：（I ）连结1BC ，则O 为1BC 与1B C 的交点，因为侧面

11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥ ，又AO ⊥平面11BB C C ，故1B C AO ⊥ 1B C ⊥平面ABO ，由于

AB ?平面ABO ，

故1B C ⊥AB ………6分

（II ）作OD ⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H,

由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC. 又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC.

因为1,601==∠BC CBB ,所以△1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得OD=

4

，由于1AB AC ⊥，所以

11122OA B C =

=，由 OH ·AD=OD ·OA,且AD =，得OH=14

又O 为B1C 的中点,所以点B1 到平面ABC ,故三棱柱ABC-A1B1C1 ……………………….12 分

第二十节

（本小题满分12分）

已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，

O 为坐标原点.

（I ）求M 的轨迹方程；

（II ）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积

【解析】：（I ）圆C 的方程可化为()2

2

416x y +-=,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

设M(x,y),则(,4)CM x y =- ，(2,2)MP x y =--

，,由题设知0CM MP = ,故

()()()2420x x y y -+--=，即()()22

132x y -+-=

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是()()2

2

132x y -+-= ………… 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥

PM.

因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13-

,直线l 的方程为：18

33

y x =-+

又OM OP ==O 到l 的距离为5，5

PM =， 所以POM ?的面积为：16

5

. ……………12分

21（12分）

设函数()()2

1ln 12

a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （I ）求b;

（II ）若存在01,x ≥使得()01

a

f x a <-，求a 的取值范围。 【解析】：（I ）()(1)a

f x a x b x

'=

+--，由题设知 (1)0f '=,解得b =1. ……………4 分 (Ⅱ) f (x )的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知, 2

1()ln 2

a f x a x x x -=+-， ()1()(1)111a a a f x a x x x x x a -??'=

+--=-- ?-??

(i)若12a ≤

，则

11a

a

≤-，故当x ∈(1,+∞)时, f '(x ) > 0 , f (x )在(1,+∞)上单调递增. 所以,存在0x ≥1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为(1)1a f a ≤-，即1121a a

a

--<-

所以 1 < a -1;

(ii)若

112a <<，则11a a >-，故当x ∈(1, 1a a -)时, f '(x ) < 0 , x ∈(,1a

a

+∞-)时,()0f x '>,f (x )在(1, 1a a -)上单调递减，f (x )在

,1a

a

+∞-单调递增. 所以,存在0x ≥1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为()11a a

f a a

≤--，而

()2()ln 112111a a a a a

f a a a a a a

=++>

-----，所以不和题意. (ⅲ) 若1a >，则11(1)1221

a a a

f a ---=

-=<-。

综上，a 的取值范围为：()

()11,?+∞

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

第二十一节

（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =. （I ）证明：D E ∠=∠；

（II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ?为等边三角形.

【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ，由

已知得，∠CBE=∠E ,

所以∠D=∠E ……………5分

（Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知M N ⊥BC 所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故O M ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E

由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分

第二十二节 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线194:2

2=+y x C ，直线?

??-=+=t y t x l 222:（t 为参数） 第二十三节 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

第二十四节 过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ

θ=??

=?

（θ为参数），

直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

3sin 6d θθ=

+-，

则()0

||6sin 30d PA θα=

=+- ，其中α为锐角．且4tan 3α=.

当()sin 1θα+=-时，||PA

当()sin 1θα+=时，||PA …………10分

第二十五节 （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若,0,0>>b a 且

ab b

a =+1

1 （I ）求3

3

b a +的最小值；

（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ) 11

a b =

+≥

，得2ab ≥，且当a b =时等号成立，

故33a b +≥=a b ==

∴3

3

a b +的最小值为 ………5分

（Ⅱ）由623a b =+≥3

2

ab ≤

，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分