上海市黄浦区-度高三数学暑假质量检测试卷(文) (三)

黄浦区2009-2010学年度高三年级暑假质量检测试卷(数学文) (三)

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.

2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、学号、以及试卷类型等填写清楚.

3. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟.

一、填空题（本题满分60分）本大题共有12题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．若bi i a

-=+11，(a 、R b ∈,i 表示虚数单位)，则=+b a ． 2．过点)3,2(-A 且一个方向向量)2,1(-=d 的直线方程为．

3．若5522105)1(x a x a x a a x ++++=- ，则531a a a ++= ． 4．若圆0222=--+ax y x 与抛物线x y 42

=的准线相切，则a 的值是．

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．

6．双曲线1

9162

2=-y x 的左、右焦点为1F 、2F ，若点P 在双曲线

上，且021=?PF PF ,则=+||21PF PF ．

7．函数x x y 2cos 32sin +=，],0[π∈x 的单调递增区间是．

8．两封信随机投入C B A 、、

三个空邮箱，则A 邮箱中至少有一封信的概率为．

9．设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方

差为1，则d =________．

10．如图，△ABC 中，4AB =，AC =8，

60=∠BAC ，延长

作平行四边形BEDA ，2=BE ．当F 点在线段DE 上移动时，若μλ+=，则

μλ

t 的最小值为．

11．已知)(x f 是以2为周期的偶函数，当]1,0[∈x 时，x x f =)(．若关于x 的方程

1)(++=k kx x f 在[]1,3-内恰有四个不同的根，则k 的取值范围是．

主视图

左视图

俯视图

第5题图

12．如图，一条螺旋线用以下方法画成：ABC ?是边长为1的正三角形，曲线1CA ，21A A ，32A A 分别以A 、B 、C 为圆心，以AC 、1BA 、2CA

为半径画的弧，曲线321A A CA

称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心、 3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则第n 圈的三段圆弧的长度之和n l

为．(用含π的式子表示)

二、选择题（本题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论

是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.

13．若A,B 两点在半径为2的球面上，且以线段AB 为直径的小圆周长为2π，则A,B 两点间的球面距离为……………………………………………（）

A ．π

B ．π2

C ．3π

D ．32π

14．在ABC ?中，“

12π

A ”是“

2sin >

A ”的 …………………………………（）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

15．在约束条件??

??≥≥≤+≤+0,042y x y x S y x 下，若53≤≤S ，目标函数y x Z 23+=的最大值变化范围是

（）

A ．]8,6[

B ．]15,6[ C. ]8,7[ D. ]15,7[

16．由9个正数组成的矩阵

????

? ??3332

232221131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且

131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列四个判断错误的

是……………………（）

A ．第2列322212,,a a a 必成等比数列

B ．第1列312111,,a a a 不一定成等比数列

C ．23213212a a a a +≥+

D ．若9个数之和等于9，则122>a

三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

A 3

A 2 A 1

A B

17．（满分12分）本题有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

关于x 的不等式0

<+x a x 的解集为()b ,1-．

（1）求实数a 、b 的值；

（2）若bi a z +=1，ααsin cos 2i z +=，且21z z 为纯虚数，求

)

32cos(π

α-的值．

18．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

如图，直三棱柱111C B A ABC -中，0

90=∠BAC ，11===AC AB AA

．（1）设M 是棱1BB 的中点，求1MAC ?在平面11A ACC 内的正投影的面积．

（2）若M 是棱1BB 上的任意一点（包括端点），求四棱锥

19．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数

()332,

x x f x =-

（1）解方程08)(=-x f ；（2）当[]0,1

x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值，并求函数()f x 的达到最值时x 的值．

20．（满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

把公差为2的等差数列

}{n a 的各项依次插入等比数列}{n b 中，将}{n b 按原顺序分成1

项、2项、4项、……、12-n 项的各组，得到数列}{n c ：3765423211,,,,,,,,,a b b b b a b b a b ，

……，

记数列}{n c 的前n 项和为n S ，已知11=c ，22=c ，=3

S 413

．

（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的第100项

100c ；

（3）设n n n a b T +?=2009 ，阅读框图写出输出项，并说明理由．

21．（满分18分）本题共有2小题，第1小题满分12分，第2小题满分6分．

记平面内动点M 到两条相交于原点O 的直线12l ,l 的距离分别为12,,d d 研究满足下列条件

下动点M 的轨迹方程C ．

（1）已知直线

12l ,l

的方程为：

y =，

（a ）若

22126d d +=，指出方程C 所表示曲线的形状；

（b ）若124d d +=，求方程C 所表示的曲线所围成区域的面积；（c ）若1212d d =，研究方程C 所表示曲线的性质，写出3个结论．

（2）若222

122d d d +=，试用a,b 表示常数d 及直线12l ,l 的方程，使得动点M 的轨迹方程C

恰为椭圆的标准方程122

22=+b y a x （0>>b a ）．

考答案与评分标准一、填空题

1．3 2．012=-+y x 3．16- 4．1 5．

348π+

6．10 7．

],127[

]12

0[πππ

8．95 9．21

± 10．43

11．）

，（031

- 12．π)26(-n

二、选择题

13．D 14．B 15．C 16．D 三、解答题

17.【解】（1）原不等式等价于02)(<-+x a x ，即022

<-+ax x -------------------3

分

由题意得，?

?-=?--=+-211b a

b 解得1-=a ，2=b ． ------------------------5分

（

）

z 211+-=，

)sin cos 2()sin 2cos (21αααα-+--=i z z

------------------------7分

若

1z z 为纯虚数，则

0s i n

2c o s =+αα，

即

a n -

=α

----------------------------------9分

)32cos(π

α-αα2sin 2

32cos 21+=103

43tan 1tan 223tan 1tan 121222-=+?++-?

=αααα 12分

18．【解】（1）过M 作1AA MN ⊥于N ，连接1NC ，显然⊥MN 平面11C AA ，所以1

MAC ?在平面

A A

C C 内

的正投影是

A C ?．------------------------------3分

21=

AN ，111=C A ，1NAC ?的面积为412111=

?=C A AN S ．

所以1MAC ?在平面11A ACC 内的正投影的面积为41．----------7

分

（2）设x M B =1（10≤≤x ），⊥11C A 平面11B MAA ，即11C A 是四棱锥111B MAA

C -的高，-------------9分且111=C A ，梯形11

B M A A 的面积)

1(21

x S ，四棱锥11

1B M A A C -的体积)1(61

3111+=??=

x C A S V （10≤≤x ）-------------11分

即316

1≤≤V ，故四棱锥111B MAA C -体积的取值范围是]

31,61[．-------------14分 19.【解】（1）若23>x ，方程为：0832)3(2=-?-x x ，

0)23)(43(=+-x x 解得：

3=x ，

4log 3=x 2

log 3>，为方程的解

--------------------------------------------4分若

82)3(2=+?-x x a ，方程无解

-----------------------------------------6分（

）

[]

0,1x ∈时，

331≤≤x

------------------------------------------------------8分

当231≤≤x

，即2log 03≤≤x 时，

)3(32)(x x x f -?==

)13(2+--x ，故

1)(0≤≤x f ．--------------------------------------10分

当332≤

，即12log 3≤

x x f 32)3()(2?-==

)13(2--x ，所以

3)(0≤

综

上

可

得

：

当

log 3=x 时，

m i n

=f ，当

=x 时，

3m a x =f ． ------------------------------14分

20.【解】（1）由题意，11=b ，21=a ，4132113=

++=b a b S ，故

2=b ----------------2分

所以

a n 2=，

)41

(-=n n b

--------------------------------------------------------4分

（2）数列}{n c 与}{m a 、}{k b 相关的项数有规律：

)12()14()12()11(1

++++++++-m =m m +--1212=12-+m m

--------------7分当=m 6时，即6a =69c ，故94100b c =

------9分

所以：

94100)41

(==b c

------------------------------------------------------------------------10分

（3）由于

S n n 2)4

(20091+?=- 所以

22)41(2

0091++?=+n S n n --------------------11分

243

)41(200911+??-=--+n n n S S =

n )

41(60272?----------------------------------------------12分

当5>n 时01

>-+n n S S }{n S 递增

当

≤n 时

1<-+n n S S

}

{n S 递减

----------------------------------------------------13分

通过计算47.374=S 82.155

=S 96.116=S 47.127=S 11.148=S

03.169=S 所以满足条件15

8S --------------------16分

21.【解】（1）（a ）

2229x y += （指出椭圆形状即得3分）--------------------------------3分

（b

）

x y y -+=

----------------------------------------------------------- 4分方程

所表示的曲线所围成区域为正方形面积

为

-----------------------------------6分

（c ）

22236

x y -=，

范围：

6,x y ≤≤对称性：关于,x y 和原点对称

渐近线为

：

y x = （任写出一条得

2分，满分6分）

---------------------------------12分

（2）设直线

12l ,l 的方程为：

y a

=±

（

>>b a ），

-----------------------------------15分

则由222122d d d +=得，222222211()x y d a b a b +=+

令d =即得椭圆的标准方程122

2=+b y a x （0>>b a ）．------------------18

分