图形与证明

专题五 图形与证明

1．如图1，已知点D 在ABC △的BC △边上，DE AC ∥交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ． （1）求证：AE DF =；

（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．

2．如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过圆心O 作OD AC ⊥，

D 为垂足，

E 是BC 上一点，

G 是DE 的中点，OG 的延长线交BC 于F ． （1）图中线段OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；

（2）猜想线段BE EF FC ，，三者之间有怎样的数量关系？ 写出你的结论，并给出证明过程．

解题思路：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想OD ∥BC ，再利用圆的有关概念及性质得证．

解：（1）结论：OD BC ∥．

证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， ∴90ACB ∠=，即BC ⊥AC ． 又OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ． （2）结论：EF BE FC =+． 证明：∵OD ⊥AC ，∴AD =DC ．

又O 为AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线． ∴BC =2OD ．

在△ODG 与△EFG 中，

∵DG =EG ，∠GOD =∠GFE ，∠ODG =∠FEG ， ∴ODG FEG △≌△．∴OD =EF ． ∴22BE EF FC BC OD EF ++===． ∴EF BE FC =+．

规律总结：为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解，新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行．本题就采用了这种方式．该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联

系．

例3．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙O 相切于点A ，P 为⊙O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．

（1）求证：△APC∽△COD．

（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ． （3）试探索x 为何值时，△ACD 是一个等边三角形． 解题思路：运用圆的切线的性质、三角形的相似的判定和性质 解析：（1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线 ∠PAC ＝∠OCD ＝90°，显然△DOA ≌△DOC ∴∠DOA ＝∠DOC ∴∠APC ＝∠COD

APC COD ∴△∽△

（2）由APC COD △∽△，得

AP OC

PC OD

=

12x y ∴=，2y x

∴= （3）若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=， 于是2OD OC =，可得2y =，1x ∴= 故，当1x =时，ACD △是一个等边三角形

规律总结：认真审题，根据题目所给的条件充分利用图形的性质及判定。

例4．如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设

CD =x.

(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长； (2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值. 解题思路：代数知识与几何知识结合在一起，在直角三角形中 利用勾股定理，注意运用两点之间线段最短。 解析: (1)125)8(2

2

++

+-x x

(2)当A 、C 、E 三点共线时,AC +CE 的值最小

(3)如下图所示,作BD =12,过点B 作AB ⊥BD ,过点D 作ED ⊥BD ,使AB =2,ED =3,连结AE 交BD

于点

E

D C

B

A

F

A

C .AE 的长即为代数式9)12(422+-++x x 的最小值.

过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ,得矩形ABDF , 则AB =DF =2,AF =BD =8. 所以AE=22)23(12++=13

即9)12(422+-++x x 的最小值为13.

规律总结：用代数的方法来解决几何问题，是我们常用的方法，在没有给出未知量的情况下，巧妙的设未知数。

例5．如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =；

（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ， 满足条件1

4

DG DA =，并说明理由．

解题思路：根据题目的条件，注意角度之间的相等，三角形中位线的定理的运用，梯形的判定的运用。 解析：（1）在Rt AEB △中，

AC BC =，1

2

CE AB ∴=

， CB CE ∴=，CEB CBE ∴∠=∠．

90CEF CBF ∠=∠=，

BEF EBF ∴∠=∠，EF BF ∴=．

90BEF FED ∠+∠=，90EBD EDB ∠+∠=，

FED EDF ∴∠=∠． EF FD =． BF FD ∴=．

A B

C

D F

E

M

A

B

C D F

E

M

G H

（2）由（1）BF FD =，而BC CA =，

CF AD ∴∥，即AE CF ∥．

若AC EF ∥，则AC EF =，BC BF ∴=．

BA BD ∴=，45A ∠=．

∴当045A <∠<或4590A <∠<时，四边形ACFE 为梯形．

（3）作GH BD ⊥，垂足为H ，则GH AB ∥．

14DG DA =

，1

4

DH DB ∴=． 又F 为BD 中点，H ∴为DF 的中点．

GH ∴为DF 的中垂线． GDF GFD ∴∠=∠．

点G 在ED h 上，EFD GFD ∴∠∠≥．

180EFD FDE DEF ∠+∠+∠=， 180GFD FDE DEF ∴∠+∠+∠≤． 3180EDF ∴∠≤． 60EDF ∴∠≤．

又90A EDF ∠+∠=，

3090A ∴∠<≤．

∴当3090A ∠<≤时，DE 上存在点G ，满足条件1

4

DG DA =

． 规律总结：探索在什么条件下结论成立，可以从结论出发，根据已知，充分利用图形的性质或判定，同时

注意题目中的数量关系。 三、综合训练

一、选择题

1．下列说法中错误的是

( )

A 、一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形

B 、四边都相等的四边形是菱形

C 、四个角都相等的四边形是矩形

D 、对角线互相垂直的平行四边形是正方形

2．下列四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ ）

第7题图O

C

B

A A 、①②③

B 、①②③④

C 、①②

D 、②③

3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，下列结论： ①OA ＝OC ；②∠BAD ＝∠BCD ；③AC ⊥BD ；④∠BAD ＋∠ABC ＝180° 中，正确的个数有（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

4．如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点， CD=BD ，∠C=70°．现给出以下四个结论：

①∠A=45°； ②AC=AB ： ③； ④CE ·AB=2BD 2

．

其中正确结论的序号是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

5.如图,已知⊙O 的半径为1.AB 与⊙O 相切于点A,OB 与⊙O 交于点C, CD ⊥OA,垂足为D,则cos ∠AOB 的值等于

A.OD

B.OA

C.CD

D.AB 二、填空题

1．如图，在口ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于E 点, AB=5，ED=3，则口ABCD 的周长为 .

2．在菱形ABCD 中，AC=16，BD=12，则菱形的高是________。

3.菱形的周长为20cm,一条对角线长为6cm ，则这个菱形的面积是________cm2

4. 如图，已知⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°， 则BC=_________cm.

5．已知菱形的周长为85，面积为16，则这个菱形较短的对角线长为 ． 6．如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分 别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ’

的位置上．若OB =5，2

1=OC BC ，求点A ’的坐标为_______________．

三、解答题

1．如图，在△ABC 与△ABD 中，BC ＝BD ．设点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点． （1）请你在图中作出点E 和点F ；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明） （2）连接AE ，AF ．若∠AB C ＝∠ABD ，请你证明△ABE ≌△ABF ．

AE BE = C

A

D

B

O

(第3题图)

O

D C

B

A

x

y O

A'

C

B

A

D

A E

C

B

D

A

B

C

2．如图，⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切

点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形； （2）求证：HK ＝HG ；

（3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．

3．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，P 是边AB （含端点）上的动点．过P 作BC 的垂线PR ，R 为垂足，∠PRB

的平分线与AB 相交于点S ，在线段RS 上存在一点T ，若以线段PT 为一边作正方形PTEF ，其顶点E ，F 恰好分别在边BC ，AC 上．

（1）△ABC 与△SBR 是否相似，说明理由； （2）请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系；

（3）设边AB ＝1，当P 在边AB （含端点）上运动时，

请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值．

答 案

一、选择题

1. D

2. A

3. C

4.C

5.A 二、填空题

1. 26

2. 9.6

3. 24

4. 4cm

5. 4

6. (－35，45

) 三、解答题

1.解：(1)能看到“分别以B ，C 为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，

连接MN ，交BC 于E ”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点F (或以B 为圆心，BE 为半径画弧交BD

于点F )”的痕迹.

P E

D

K H

G

C A B

F O

T

P

S R

E

A

B

C F

(2)∵BC ＝BD ，E ，F 分别是BC ，BD 的中点， ∴BE ＝BF ，(4分) ∵AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD , ∴△ABE ≌△ABF .

2.解：(1)∵AC ＝BC ，AB 不是直径，

∴OD ⊥AB ，∠PCO ＝90° ∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°， ∵PE 是切线，∴∠PEO ＝90°， ∴四边形OCPE 是矩形. (2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG . ∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG . ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK , ∴HK ＝HG .(5分)

(3)∵EF ＝2，OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.

∵PE ∥OD ，∴∠KEO ＝∠DOE ，∠K ＝∠ODG . ∴△OFD ∽△EFK ，(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1, ∴KE ＝6.

3.解：(1)∵RS 是直角∠PRB 的平分线，∴∠PRS ＝∠BRS ＝45°.

在△ABC 与△SBR 中，∠C ＝∠BRS ＝45°，∠B 是公共角，

∴△ABC ∽△SBR ..(1分) (2)线段TS 的长度与PA 相等. ∵四边形PTEF 是正方形，

∴PF ＝PT ，∠SPT ＋∠FPA ＝180°－∠TPF ＝90°, 在Rt △PFA 中，∠PFA ＋∠FPA ＝90°, ∴∠PFA ＝∠TPS ，

∴R t △PAF ≌Rt △TSP ，∴PA ＝TS . 当点P 运动到使得T 与R 重合时，

这时△PFA 与△TSP 都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA ＝TS . 由以上可知，线段ST 的长度与PA 相等. (3)由题意，RS 是等腰Rt △PRB 的底边PB 上的高，

(图1)

T

P

S R

E

A

B

C F

∴PS ＝BS , ∴BS ＋PS ＋PA ＝1, ∴PS ＝12

PA

-. 设PA 的长为x ，易知AF =PS ， 则y ＝PF 2＝PA 2＋PS 2,得y ＝x 2＋(12

x -)2

, 即y ＝

2511

424

x x -+，(5分) 根据二次函数的性质，当x ＝15时，y 有最小值为1

5

.

如图2，当点P 运动使得T 与R 重合时，PA ＝TS 为最大.

易证等腰Rt △PAF ≌等腰Rt △PSR ≌等腰Rt △BSR ， ∴PA ＝

1

3

. 如图3，当P 与A 重合时，得x ＝0. ∴x 的取值范围是0≤x ≤

13. ∴①当x 的值由0增大到15时，y 的值由14减小到1

5

∴②当x 的值由15增大到13时，y 的值由15增大到2

9

.

∵15≤29≤1

4，∴在点P 的运动过程中， 正方形PTEF 面积y 的最小值是15，y 的最大值是1

4

.

(图2)

图3)

(T )

P

S

R E

A B C

F

(T )

(P )

S E (R )

A B

C

F