2012年高考_平面向量_专题分析

2012年高考_平面向量_专题分析
2012年高考_平面向量_专题分析

平面向量历年高考题汇编难度高

数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1.★★(2014·辽宁卷L) 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b∥c ,则a∥c ,则下列命题中真命题是 ( ) A .p ∨q B .p ∧q C .)()(q p ?∧? D .)(q p ?∨ 2.★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与AC → 的夹角为________. 3.★★(2014·四川卷) 平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,则=+FC EB ( ) A . B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OD OC OB OA +++等于 ( ) A .OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★(2011浙江L )若平面向量,αβ满足1,1a β=≤,且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ,则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★(2014浙江 L )记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?

高三高考平面向量题型总结

平面向量 一、平面向量得基本概念: 1、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量,即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用_________来表示、向量得符号表示____________________、 2、向量得长度:向量得大小也就是向量得长度(或_____),记作_________、 3、零向量:长度为0得向量叫做零向量,记作________、 4、单位向量:__________________________、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合,则向量平行或共线;两个非零向量方向相同或相反、记作________规定:___________________、 注意:理解好共线(平行)向量。 6.相等向量:_______________________、 例:下列说法正确得就是_____ ①有向线段就就是向量,向量就就是有向线段; ②则;③ ④若,则A ,B,C ,D 四点就是平行四边形得四个顶点; ⑤所有得单位向量都相等; 二、向量得线性运算: (一)向量得加法: 1、向量得加法得运算法则:____________、_________与___________、 (1)向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量;模长之间得不等式关系_______________________;“首就是首,尾就是尾,首尾相连” 例1、已知AB=8,AC =5,则BC 得取值范围__________ 例2、化简下列向量 (1) (2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量,当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线,如图: 例1、(09 山东)设P 就是三角形A BC 所在平面内一点,,则 A. B 、 C 、 D、 例2、(13四川)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与B D交于点O, ,则、 (3)多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 (二)向量得减法: 减法就是加法得逆运算,A、 (终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线,当时,此时平行四边形就是矩形。 例1、已知,且,则=______ 例2、设点M 就是B C得中点,点A 在线段BC 外,B C=16,,则 向量得加减运算: 例1、(08辽宁)已知、就是平面内得三个点,直线上有一点,满足CB → +2AC → =0,则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → +OB → 例2、(15课标全国I )设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,,则______

高三第二轮复习平面向量复习专题

数学思维与训练 高中(三) ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分,是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题,向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中,在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用,并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1. 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中,主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面向量的相关概念,能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1.(北京卷) | a |=1,| b |=2,c = a + b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 2.(江西卷·理6文6) 已知向量 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 3.(重庆卷·理4)已知A (3,1),B (6,1),C (4,3),D 为线段BC 的中点,则向 量与 的夹角为 ( C ) A . B . C . D .- 4.(浙江卷)已知向量≠,||=1,对任意t ∈R ,恒有| -t |≥| -|,则 ( ) 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

平面向量高考试题精选

平面向量高考试题精选(一) 一.选择题(共14小题) 1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则() A. B. C. D. 2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21 3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是() A.||=1 B.⊥C.?=1D.(4+)⊥ 5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是() A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2D.()?()=2﹣2 6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A. B. C. D.π 7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为() A. B. C. D. 8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D 满足||=1,则|++|的取值范围是() A.[4,6] B.[﹣1,+1] C.[2,2] D.[﹣1,+1] 9.(2014?桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于() A.2 B. C. D.1 10.(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=() A. B. C. D. 11.(2014?安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为() A. B. C. D.0

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()

A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

高三数学平面向量知识点与题型总结(文科)

知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行 ③单位向量:模为1个单位长度的向量 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 2、向量加法:设,AB a BC b == ,则a +b =AB BC + =AC (1)a a a =+=+00;(2)向量加法满足交换律与结合律; AB BC CD PQ QR AR +++++= ,但这时必须“首尾相连” . 3、向量的减法: ① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量 ②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,③作图法:b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点) 4、实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ)a a ?=λλ; (Ⅱ)当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同;当0<λ时,λa 的方向与a 的 方向相反;当0=λ时,0 =a λ,方向是任意的 5、两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6、平面向量的基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ,记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算: (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ,则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y),则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ,则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ,则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ,则02121=?+?y y x x

平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案

平面向量高考经典试题 一、选择题 1.(全国1文理)已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与 b A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向 2、(山东文5)已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与 b 垂直,则=a ( ) A .1 B C .2 D .4 3、(广东文4理10)若向量,a b 满足||||1a b ==,,a b 的夹角为60°,则a a a b ?+?=______; 答案:3 2 ; 4、(天津理10) 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、(山东理11)在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???=

6、(全国2 理5)在?ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB , CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、(全国2理12)设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若 FC FB FA ++=0,则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、(全国2文6)在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+,,则λ=( ) A .23 B .13 C .1 3 - D .2 3 - 9(全国2文9)把函数e x y =的图像按向量(2)=,0a 平移,得到()y f x =的图像,则()f x =( ) A .e 2x + B .e 2x - C .2 e x - D .2 e x + 10、(北京理4)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0,那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = 11、(上海理14)在直角坐标系xOy 中,,i j 分别是与x 轴,y 轴平行的单位向量,若直角三角形ABC 中,2AB i j =+,3AC i k j =+,则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、(福建理4文8)对于向量,a 、b 、c 和实数,下列命题中真命题是 A 若 ,则a =0或b =0 B 若 ,则λ=0或a =0 C 若=,则a =b 或a =-b D 若 ,则b =c 13、(湖南理4)设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条

高三复习提纲——《平面向量》

高三复习提纲——《平面向量》 一、常用结论 (一)向量的几何运算 1、,,2OA OB BA OA AB OB OA OB OM -=+=+=(M 为AB 中点) 2、数量积:cos a b a b θ?=,a 在b 方向上的投影=cos a b a b θ?= 3、不等关系:a b a b ?≤;a b a b a b -≤±≤+ (二)平面向量的坐标运算 1、(),a x y a xi y j =?=+;2、()(),,OA x y A x y =?; 3、()()()11222121,,,,A x y B x y AB x x y y ?=--;(AB x = 4、若()()1122,,,,a x y b x y R λ==∈,则 (1)()1212,a b x x y y ±=±±;(2)()11,a x y λλλ=;(3)21a x =+ (4)1212a b x x y y ?=+; (5)2 1 cos x y θ= +; (6)1221//a b x y x y ?=; (7)12120a b x x y y ⊥?+=; 二、对向量夹角的考查(cos a b a b θ?= ) 1、记号:θ=,a b <>; 2、范围:[]0,θπ∈,02 π θθπθ=??= ?同向;=反向;垂直; 3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点; 4、,;,;,OA OB AOB AO BO AOB OA AB AOB π<>=∠<>=∠<>=-∠. 5、,a b <>为直角:() 0,0a b a b ?=≠其中; 6、,a b <>为锐角:() 00a b a b λλ?>≠>且; 7、,a b <>为钝角:()00a b a b λλ?<≠<且 [范例解析] 1、已知平面向量a =(3,4),b =(9,x ),c =(4,y ),且a ∥b ,a ⊥c . (1)求b 和c ; (2)若m =2a -b ,n =a +c ,求向量m 与向量n 的夹角的大小. 2、已知a =(1,3),b =(1,1),c =a +λb ,若a 和c 的夹角是锐角,则λ的取值范围是( ) A.? ????-52,+∞ B.? ????-∞,-52 C .{0} D.? ???? -52,0∪(0,+∞) 3、已知a =(1,0),b =(0,1),当k 为整数时,向量m =ka +b 与n =a +kb 的夹角能否为60°?证明你的结论. O A B a b

2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)

2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点,过P作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B 求的值() A. B. C. D. 2、向量,,若,且,则x+y的值为() A.-3 B.1 C.-3或1 D.3或1 3、已知向量满足,若,则向量在方向上的投影为A. B. C.2 D.4 4、.如图,为等腰直角三角形,,为斜边的高,为线段的中点,则 () A.B. C.D. 5、在平行四边形中,,若是的中点,则() A. B. C. D. 6、已知向量,且,则()

A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形,D为的中点,且,则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中,,则该四边形的面积为 A. B. C.5 D.10 9、下列命题中正确的个数是() ⑴若为单位向量,且,=1,则=;⑵若=0,则=0 ⑶若,则;⑷若,则必有;⑸若,则 A.0 B.1 C.2 D.3 10、如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若存在最大值,则的取值范围为() 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足,且对任意都有,则的最小值为________. 13、已知,,则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知,是夹角为的两个单位向量,,,若,则实数的值为 __________.

15、已知向量与的夹角为120°,,,则________. 16、已知中,为边上靠近点的三等分点,连接为线段的中点,若 , 则__________. 17、已知向量为单位向量,向量,且,则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足,。若 (λ,μ∈R),则λ+μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中,向量,,且. (1)求的值;(2)设,求的值. 20、已知向量=(sin,cos﹣2sin),=(1,2). (1)若∥,求的值; (2)若,0<<,求的值. 21、已知向量,.(1)若在集合中取值,求满足的概率;(2)若 在区间[1,6]内取值,求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中,已知向量, (1)求证:且; (2)设向量,,且,求实数t的值.

高三数学复习专题平面向量

高三数学复习专题平面向量 一、考点透视 本章考试内容及要求: 平面向量的有关概念B级 平面向量的线性运算(即平面向量的加法与减法,实数与平面向量的积)C级 平面向量的数量积C级(老教材为D级) 向量的坐标表示C级 向量运算的坐标表示C级 平行向量及垂直向量的坐标关系C级 向量的度量计算C级 注: B水平:对所学数学知识有理性的认识,能用自已的语言进行叙述和解释,并能据此进行判断;知道它们的由来及其与其他知识之间的联系;知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。 C水平:对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系,掌握其内容与形式的变化;有关技能已经形成,能用它们来解决简单的有关问题。 二、复习要求 1.理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念; 2.掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式; 3.掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式; 4.能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角,并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。 概括地说,即理解向量有关概念,掌握向量基本形式(3种)及基本运算(4种),关注向量简单应用。 三、复习建议 向量是近代数学中的一个重要概念,它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广,在解析几何里应用更为直接,用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看,在历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。 向量是高中数学的必修内容,也是研究其它数学问题的重要工具,利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系,计算角度和距离问题将变得简单易行,其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性,因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考,除了以小题形式考查一些简单的概念之外,还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查,试题的难度一般在中、低档题水平,复习时应重视向量基本知识的掌握和运用,难度不要拔高。

历年平面向量高考试题汇集学习资料

历年平面向量高考试 题汇集

高考数学选择题分类汇编 1.【2011课标文数广东卷】已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实 数,(a +λb)∥c ,则λ=( ) A.14 B .1 2 C .1 D .2 2.【2011·课标理数广东卷】若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c·(a +2b)=( ) A .4 B .3 C .2 D .0 3.【2011大纲理数四川卷】如图1-1,正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF →= ( ) A .0 B.BE → C.AD → D.CF → 4.【2011大纲文数全国卷】设向量a ,b 满足|a|=|b|=1,a·b =-1 2,则|a +2b|=( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5.【2011课标文数湖北卷】若向量a =(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( ) A .-π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6.【2011课标理数辽宁卷】若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,(a -c)·(b -c)≤0,则|a +b -c|的最大值为( ) A.2-1 B .1 C. 2 D .2 【解析】 |a +b -c|=(a +b -c )2=a 2+b 2+c 2+2a·b -2a·c -2b·c ,由于a·b =0,所以上式=3-2c·(a +b ),又由于(a -c)·(b -c)≤0,得(a +b)·c ≥c 2=1,所以|a +b -c|=3-2c·(a +b )≤1,故选B. 7.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a =(2,1),b =(-1,k),a·(2a -b)=0,则k =( ) A .-12 B .-6 C .6 D .12

高三一轮复习《平面向量公式和基本方法》

第四部分:平面向量公式和基本方法 平面向量是高一所学内容,这是一个比较有特点的知识,其在物理的“力的分解”上也有所涉及,高中数学 对于平面向量的考察形式主要有两方面:1)向量知识、公式相关题型的考察;2)结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。 1、平面向量相关主要知识点 1)单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =| |a 同向的单位向量。 零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】。 相等向量:长度和方向都相同的向量。 平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 2)向量的加减法: 三角形法则 AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) ()()()12122211,,,,,y y x x AB y x B y x A --=? 平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那 条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段 就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法 的三角形法则可推广至多个向量相加: 3)共线(平行)定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 4)向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+2 2||a a =,2||()a b a b +=+ 5)设()()2211,,,y x b y x a ==则: 数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?2121y y x x +=; cos |||| a b a b θ?= ?

平面向量高考真题精选一

平面向量高考真题精选(一) 一.选择题(共20小题) 1.(2017?新课标Ⅱ)设非零向量,满足|+|=|﹣|则() A.⊥B.||=||C.∥D.||>|| 2.(2017?新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则?(+)的最小值是() A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 3.(2017?浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=?,I2=?,I3=?,则() A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3 4.(2017?新课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为() A.3 B.2 C.D.2 5.(2016?四川)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 6.(2016?新课标Ⅱ)已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=() A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 7.(2016?天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、

BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()A.﹣ B.C.D. 8.(2016?山东)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为() A.4 B.﹣4 C.D.﹣ 9.(2016?四川)在平面内,定点A,B,C,D满足==,?=?=?=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 10.(2016?新课标Ⅲ)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120° 11.(2015?新课标Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B. C.D. 12.(2015?新课标Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=() A.(﹣7,﹣4)B.(7,4) C.(﹣1,4)D.(1,4) 13.(2015?四川)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4 D.6 14.(2015?山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.﹣a2B.﹣a2C.a2 D.a2 15.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N

高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库

一、多选题 1.下列说法中错误的为( ) A .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B .向量1(2,3)e =-,213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C .若//a b ,则a 在b 方向上的投影为||a D .非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-,则a 与a b +的夹角为60° 2.已知ABC 的三个角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos A b B a =,则该三角形的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 3.在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 2sin c A =,且 02 C << π ,4b =,则以下说法正确的是( ) A .3 C π = B .若72 c = ,则1cos 7B = C .若sin 2cos sin A B C =,则ABC 是等边三角形 D .若ABC 的面积是4 4.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 5.已知点()4,6A ,33,2B ??- ??? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33??-- ??? D .(7,9) 6.ABC 中,2AB =,30ACB ∠=?,则下列叙述正确的是( ) A .ABC 的外接圆的直径为4. B .若4A C =,则满足条件的ABC 有且只有1个 C .若满足条件的ABC 有且只有1个,则4AC =

平面向量高考题及答案

平面向量 【知识点】 1、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式 : a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+; ②结合律:()() a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=. ⑸坐标运算:设 ()11,a x y =,()22,b x y =,则()121 2,a b x x y y +=++. 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 ()11,a x y =,()22,b x y =,则()121 2,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--. 4、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ① a a λλ=; ②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=. ⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③() a b a b λλλ+=+. b a C B A a b C C -=A -AB =B

高考平面向量知识点总结

咼考平面向量知识点总结 设、 两点的坐标分别为 x 1,y 1 , x 2,y 2 ,贝U uuur X i X 2,y i y - 19、向量数乘运算: ⑴实数 与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 a . ① I 剳丨ii a ; ② 当o 时,a 的方向与a 的方向相同;当 o 时,a 的方向与a 的方向相反;当 r r 0 时,a 0 . ⑵运算律:① a a :② aaa :③a b a b . ⑶坐标运算:设a x, y ,贝U a x, y x, y . 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 零向量:长度为 0的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a HI ⑷运算性质:①交换律:abba ; ②结合律:a b c a b c :③a 0 0 a a . r r ⑸坐标运算:设a x 1, y-! ,b x 2, y 2,贝U a b x 1 x 2,y 1 y 2 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设a rb % X1 X 2,y 2 r [ ,贝U a b x 1 x 2, y 1 y 2 D

20、 向量共线定理:向量a a o 与b 共线,当且仅当有唯—个实数 ,使b a . 设a N ,y i ,b X 2,y 2 ,其中b 0,则当且仅当x 』2 X 2y i 0时,向量a 、 b b 0共线. 21、 平面向量基本定理:如果 e 、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 r r u uu ur uu 向量a ,有且只有一对实数 1、 2,使 a 1e i 2e 2 ?(不共线的向量 e 1、作为这一平面内所有 向量的一组基底) 22、 分点坐标公式:设点 是线段1 2上的一点, 1、 2的坐标分别是 X 1,% , X 2,y 2,当 uuu mir x x y y , 1 2时,点的坐标是- 1 x 2,!! y2 ?(当 1时,就为中点公式。) 1 2 1 1 23、平面向量的数量积: ⑶运算律:①a b b a :② r r 设a 、b 都是非零向量,a x 1, y 1 , b y2 y1 卷 X1 r b r a y2 X2, % X1, y2 y1 X1> r a 设 2 y ⑷坐标运算:设两个非零向量a 若 a x, y ,贝y a 2 x 2 y 2,或 a o y1 X2 X1 r cos a b X 1X 2 yy 180 ?零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质:设a 和b 都是非零向 量, ;当a 与b 反向则① r r a b 0 .②当a 与b 同向时, a 2或a 、、訂.③ r i r a b a x 2,y 2 , 是a 与b 的夹角,贝U s co r b ra ra a

2020-2021年高考数学试题汇编平面向量(精华总结)

2021年高考数学试题汇编平面向量 (北京4) 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r , 那么( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B .π 6 C .π3 D .π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量1322 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4)

对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若22=a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2) 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? , a 平移,则平移后所得图象的解析式为( A ) A.π2cos 234x y ??=+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a ,a 在b 上的投影为52 2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227??- ?? ? , C .227? ?- ?? ? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r

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