2012年第41届美国数学奥林匹克USAMO试题1

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ．〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠，因此图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故 EQM MRF ???，因此 EM ＝FM ，同理可得 EN ＝FN ，因此 EM FN EN FM ?=?．〔2〕答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =．因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠，即NSE EQM ∠=∠，因此NSE ?～EQM ?，故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =，因此EN FN EM FM =，从而EM FN EN FM ?=?． C B

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9：00-11：00) 注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则 (A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数 (C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c| ＋|2a ＋b|，则 (A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中，∠C ＝90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关系中正确的是 (A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞2 1- (C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤2 1 6.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R 上的函数y ＝f(x)，它具有下述性质： (i)对任何x ∈R ，都有f(x 3)＝f 3(x)， (ii)对任何x 1、x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，

小学二年级数学奥林匹克竞赛题(附答案)

小学二年级数学奥林匹克竞赛题（附答案） 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ 3、2，3，5，8，12，( )，( ) 4、1，3，7，15，( )，63,( ) 5、1，5，2，10，3，15，4，( ) ，( ) 6、○、△、☆分别代表什么数？(1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 11. 修花坛要用94块砖，?第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 12. 王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 13. 食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？ 16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 17、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( ) 18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=( )

19、按规律填数。(1)1，3，5，7，9，( ) (2)1，2，3，5，8，13 ( ) (3)1，4，9，16，( ) ，36 (4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( ) 20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 (1)8 8 8 8 8 8 8 8 =1000 (2) 4 4 4 4 4 =16 (3)9 8 7 6 5 4 3 2 1=22 21、30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。 23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( ) 个。 24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？ 25、用1、2、3三个数字可以组成( ) 个不同的三位数。 26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( ) 和( ) 27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( ) 盘。 28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子) ，使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。

中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

2009中国数学奥林匹克解答一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；（2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠，于是图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故 E Q M M R F ???，所以 EM ＝FM ，同理可得 EN ＝FN ，所以 E M F N E N F M ?=?．（2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==，所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =．因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠，即NSE EQM ∠=∠，所以NSE ?～EQM ?，故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =，所以EN FN EM FM =，从而EM FN EN FM ?=?． C B

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人，那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖（116人，按省市自治区排列）编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

国际数学奥林匹克IMO试题(官方版)2000_eng

41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ：（1）对每个正整数i ，有i i a M >；（2）当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019-2020英国数学奥林匹克第一轮比赛时间：2019年11月29日 1.证明：存在至少3个小于200的素数p ，满足p+2,p+6,p+8,p+12均为素数.同样的,证明有且仅有一个素数q,满足q+2,q+6,q+8,q+12,q+14均为素数. 2.整数数列a 1,a 2,a 3,……满足递推关系:2214410n n n n a a a a +-+-=对任意正整数n 成立. 求a 1的所有可能的值. 3.两个圆S 1,S 2切于点P.一条不经过点P 的公切线分别与S 1,S 2交于点A,B.过P 且在△APB 外的直线CD 与S 1,S 2分别交于点C,D.证明AC ⊥BD. 4.共2019只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆.当企鹅到达时,每只企鹅都得到了一张门票,上面写有1-2019的数字,升序排列,并被告知他们要排队就餐.第一只企鹅站在队伍的最前面.接下来,持有n 号门票的企鹅,需要找到满足m ＜n 且m 整除n 的最大整数m,然后钻到第持有m 号门票的企鹅后面.随后下一只企鹅加入队伍,直到2019只企鹅都排好队. (1)持2号门票的企鹅前面有多少只企鹅? (2)与持33号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅? 5.有6个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈.开始时,有一个小孩有n 个糖果,其他人没有糖果.如果有一个小孩有4个以上的糖果,那么他可以进行如下操作:吃掉一个糖果,同时给他相邻的和对面的一个人各一个糖果.如果经过某些步骤之后,每个小孩的糖果数量相同,就称这是一次”完美安排”.求可以实现”完美安排” 的所有 n 的值. 6.若定义域和值域均为整数的二元函数f(m,n)满足,对任意整数对(m,n),都有： 2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1, 就称它是一个“好函数”.求所有的“好函数”. 第二轮比赛时间：2020年1月30日

第41届国际数学奥林匹克解答

第41届国际数学奥林匹克解答问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切于点 B.设经过点M且与L平行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0

新人教版2020-2021三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷

中心小学三上年级数学竞赛试题小朋友，经过小学里两年多的学习，你一定掌握了不少本领，相信你一定会有大的收获。一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下，要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3 倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立：二、我会判断(每题1分，共6分)

第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案

2009年第50届IMO 解答 2009年7月15日 1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +?)?)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a ?不能被n 整除。证明1：由于12(1n a a ?)，令1(,)n a p =，n q p = 也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a ?。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=?，故31q a ?；同理可得41q a ?，。。。，因此对于任意都有2i ≥1i q a ?，特别的有1k q a ?，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=?(*)。若结论不成立，则1(1k n pq a a =)?，与(*)相减可得1(k n a a ?)，矛盾。综上所述，结论成立。此题平均得分：4.804分

2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ?,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此 APQ MKL ??～。所以 AP MK BQ AQ ML CP == ，故AP CP AQ BQ ?=?(*)。设圆O 的半径为R ，则由(*)有2 2 2 2 R OP R OQ ?=?，因此OP OQ =。不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ =PQ 此题平均得分：3.710分

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案(四年级)

1 小学数学奥林匹克竞赛试题及答案（四年级） (红色为正确答案) 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个差数之和的最小值是( ). 13 32 41 13

中国数学奥林匹克试题及解答

一、实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑．证明只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可．记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ，把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ．由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑，所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑．二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两