用特殊化思想巧解高考选择题

用特殊化思想巧解高考选择题

广西上思县上思中学

(文)王春雷（中学二级教师） (评注)凌旭球（中学特级教

师）

如果对于一般条件A，命题成立，那么对于一般条件A中的特殊条件、具体问题，命题也应成立。据此，对一些较为抽象或一般规律又无显露的数学问题，尤其是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化、一般问题特殊化的方法来验证，而无需作费时费力的严格推证，从而避免“小题大做”，以降低难度，尽快确定正确答案。这种解题思路就是所谓的数学解题中的特殊化思想。本文拟就如何运用特殊化思想巧解高考选择题例举如下：

一、抓住特殊因素，寻求解题思路。

某些数学问题，有时难以识别它属于我们所熟悉的哪一类常规问题，或虽有常规方法，但解法将不胜其烦。对于这类问题，应着眼于问题本身的特殊性，紧紧抓住一、两个重要的特殊因素，并以此作为突破口，去探求解题思路。

例1-1(1997年全国高考)定义在区间的奇函数为增函数，偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式：

①②

③④

其中成立的是( )：

A、①④

B、②③

C、①③

D、②④

解：特取，，则、满足题目条件。设，代入验证易知，①、③成立，故选C。

评注：本例据抽象函数的性质和特征，从满足条件的特殊函数(特殊值)入手分析探求，寻求出问题的解题思路和结论。

例1-2(2001年全国高考)设、都是单调函数，有如下四个命题：

①若单调递增，单调递增，则单调递增

②若单调递增，单调递减，则单调递增

③若单调递减，单调递增，则单调递减

④若单调递减，单调递减，则单调递减

其中正确的命题是( )

A、①③

B、①④

C、②③

D、②④

解：特取，知命题①错，排除A，B

特取，知命题④错，排除D，从而选C。

评注：本题从发现符合条件的特殊例子(有时是特殊数值)入手，借用特殊解决一般，收到事半功倍之效。

例1-3：(1999年全国高考)函数在区间上是增函数，且则函数在区间上是( )

A、增函数

B、减函数

C、可以取得最大值M

D、可以取得最大值

解：不妨取，得，画出函数图象，即知选C。

评注：对于条件或结论是一般性的三角题，通常取特例(即考虑特殊角、特殊三角函数)进行验算解答，可以起到以特殊估一般之效。

二、巧用特殊因素，优化解题方案。

对有些外形貌似熟题的数学问题，如果轻易套用常规方法，则会加大计算量，甚至无法求出结果，此时，应巧妙地运用特殊因素，寻求最优方案，方能收到事半功倍之效。

例2-1(2001年全国高考)若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是( )

A、 B、 C、 D、

解：特取时，可排除C、D；而当时，无意义，故选A。

评注：本例常规解法是：由于，知，则由对数函数性质得，即，故选A。然而这里运用了特殊值求解，更显方法之优。

例2-2（2002年全国高考）已知，则有（）

A、 B、

C、 D、

解：特取，则

所以应选D。

评注：对于某些只需比较大小的题目而言，若用常规方法来解（或证明），有时会不胜其烦，但若巧取特殊值（如：时可取，时可取等等）则会大大优化解题过程。

例2-3(2001年北京春季高考)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量(万件)近似地满足。按此计算，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )

A、5月、6月

B、6月、7月

C、7月、8月

D、8月、9月

解：设月的需求量为，由备选项可取则，

，由此可排除A、B、D，故选C。

评注：本例从题设结构入手，巧取特殊项，从而减少运算量，简化了解题过程。

三、分析特殊因素，发现一般规律

对一些较为抽象的数学问题，一般规律又无显露，此时，可利用特殊因素来探路，进而发现规律，得出正确结论。

例3-1：（2001年全国高考）一间民房的屋顶有如图三种不同

的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3。若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则

(A)P3=P2>P1(B)P3>P2=P1

(C)P3>P2>P1(D)P3=P2=P1

图3-1

解：令，即可知选D。

评注：由射影面积公式（ ）可知：与斜面和水平面所成角有关，而与斜面内图形形状及图形放置无关。本例抓住“所成角都是”及“射影面积（民房面积）不变”，取特值，将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房的房盖面积（即射影面积）全部相等，从而得解。

例3-2：(1999年全国高考)如图3-21，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ）

A、 B、5

图3-21

C、6

D、

解：特取直三棱柱BCF－AGD，

如图3-22，则

图3-22

故选D

评注：有些立体几何问题，为了考查考生的辨别能力，故意将有规则的几何图形改造为不规则的图形。对此，我们可用“割补法”补成规则图形或将图形规则化、特殊化，从而使问题化解。

由此可知，众多数学问题具备各自的特殊性，若能充分挖掘隐藏于数学问题中或与之相关的特殊值、特殊式、特殊点(线、面)、特殊位置、特殊关系…，就能巧妙地利用这些特殊因素使问题得以顺利求解。

总评：数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。解决数学问题时，将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。

数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是数学中的精髓，是联系各类数学知识的纽带，掌握它并能加以灵活运用，就可以巧妙地解题。对学生作必要的数学思想方法在解题中的运用的指导，使学生走出模仿或传统学习的境地，能动地、创造性地学习，是大有脾益的。因为数学思想方法在学习的全过程和考试中都发挥着重要的作用。