“ 改—议—问—思—验” 打造“自助式”数学习题讲评课

“ 改—议—问—思—验” —— 打造“自助式”数学习题讲评课

【内容摘要】习题讲评课是在学生练习完之后对其讲析和评价的一种课型，对学生已学的知识起着矫正、巩固、充实、完善和深化提高的重要作用。有效的数学习题讲评课能让学生了解自己的能力和水平，弥补缺陷，纠正错误，完善知识系统和思维系统，提高分析和解决问题的能力。本文以“改—议—问—思—验”为主线，展开课堂教学的各个环节，打造“自助式”数学习题讲评课，以“学生”为主体，从而来提高数学讲评课的有效性。

【关键词】“改—议—问—思—验” 习题讲评课 “自助式”

引言

“学是为了更会学，主动作为才能有所作为”。初中数学课程标准指出：“作为教育内容的数学，有着自身的特点与规律，它的基本出发点是促进生全面、持续、和谐的发展。习题讲评课是数学教学的重要环节。有效的习题讲评课，能帮助学生查漏补缺，巩固旧知。但是在平常数学习题讲评过程中，却有许多教师陷入了讲评误区，造成了低效教学。因而遵循新课标的指导思想，将传统的习题评析转型为学生“自助式”评析习题，有着重要的意义。

正文

“自助式”数学习题讲评课，是一种以学生为中心的习题讲评课。接下来，我以《九上第1章二次函数练习》这节习题讲评课为例，来谈谈以“改—议—评—思—验”为主线，展开课堂教学的各个环节，打造“自助式”数学习题讲评课。

一、精心改题，有效会诊

做习题的目的，不仅是为了巩固已有的知识，更是充分暴露学生学习中的漏洞，然后有针对性采用相应的补救措施。俗话说：“工欲善其事，必先利其器。”学生做完习题上交后教师应做到及时阅卷】题、认真批改、及时反馈，对学生的错误点予以相应的批注，并将学生的习题得分情况量化，统计学生成绩的分数段，对学生错的较多的问题进行统计，并对每个习题中学生产生的错误原因有一个了2015年余杭区教育学会论

文初中数学学科

解。尽量做到上午做的练习当天讲，下午做的练习隔天讲，并且在讲评之前，先将批改好的练习发还给学生，让学生先订正起来。教师对习题的批改后的结果统计，是为讲评时做好前期准备。其中改的环节包含四个步骤：统计错误、分析错误、整合知识，交还练习。

1.统计错误，还原问题

教师批改习题时，并不是简单的“勾”和“叉”，应该做好统计工作。包括：统计各块知识的分布情况；统计学生的出错率，错误的类型等可利用如下表格（1）的形式；我将练习中的题目，每题都设置相应的分数，统计班级中分数的分布情况，分数段，优秀率，平均分等可利用如下表格（2）的形式。另外对于一些解答题中的错误教师可以在习题本上进行文字批语。

2.分析错误，找准错因

分析错误的的目的，在于解决练习中的问题，以及学生在解决问题的过程中所暴露出来的的其他问题。可以分析习题中的知识分布情况，既可以把习题中同一个知识点的题目归为一起，进行分析讲评；分析学生对某些题目的独特做法，

掌握学生的共性问题，了解学生的个性问题以及错误的原因。

3.问题专项，变式巩固

了解习题中所涉及的的知识点及分布情况，全面了解学生在练习中呈现的问题，将问题专项化。根据错误多的题设计相关变式，进行巩固。

4.及时归还，提前订正

“时过然后学，则勤苦而难成”。学生在完成一套习题时经历了“发现问题，提出问题，分析问题和解决问题”等一系列复杂的过程。作业一做完，学生仍对练习中的信息记忆犹新，并且迫切想知道答案和成绩，因而，有效的习题讲评课注重一个时效性。在课堂讲评之前，我们应将及时批改好的习题发还给学生，让学生自己先订正起来，并提前安排一名学生将习题中错得较多的题，自己设计相应变式，供全班在讲评课一开始练习。及时归还，有助于学生在对习题内容记忆犹新时，展开更为有效的订正；而对于班级中共性的问题，要求一两位学生设计变式，这个环节，不仅使设计变式的同学，对问题有一个更加深刻的认识，同时，这些问题是在学生的角度之下的共性问题，这样的问题才是学生真正的问题。

二、学生讲议，无声听诊

往往我们在习题讲评课上会出现这样的场景：教师先对考差的学生一顿批评，在毫无重点的将题目从头讲到尾，这种形式的后果便是，教师讲的累死，学生听的烦死，学生在习题讲评课上可以说是基本毫无收获可言。新课程理念下，学生的学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间去参与到课堂教学活动过程中去。因而，习题讲评课的课堂应该是一派“学生动起来”的场景，真正体现了以学生为主体。

1.学生出题，讲题，品题

课堂一开始，就有一名学生A 上黑板板书一道习题中错误较高题目的变式题：

等请说明理由？

的面积相等吗？如果相与）（的函数表达式。

）求直线（平行。

，且与轴于点，交过点线），直，（，轴交于点，与轴交于点与变式：已知直线CDP BDP l l P x D l D C y B x x y l ??+=213-12:2121

题目一出毕，其余同学开始解答，而A 同学站在讲台前俨然一副小老师样。待大部分学生解答完毕后，B 同学将所有的作业本收齐，而A 同学则做起了小老

师开始分析解题思路：

A 同学：已知点D 的坐标，要求直线2l 的函数表达式，还需要什么条件？生1：还需再知道一个点的坐标。

生2：题目中没有告诉我们，另一个点的坐标。

A 同学：那题目中还有什么条件？

生3：两条直线平行

A 同学：从两直线平行，你知道了什么？

生4：两直线平行，这两条直线的函数表达式中的K 值相同。所以要求直线2l 的函数表达式，可以令y=x+b,再把D （1，-3）代入，即可。

A 同学：好了，第一小题，我们应该可以解决了，那么第二小题呢，两个三角形的面积相等吗？

生5：相等，若两个三角形都以DP 做为底来开，那么，同底，他们还等高，所以DCP BDP ??和的面积一定相等。

A 同学（继续追问）：两个三角形为什么等高呢？

生5：平行线之间的距离处处相等。

很多同学，都恍然大悟。

学生之间一问一答的过程，是非常精彩的，真正体现了学生自主学习的能力，学生通过出题，讲题，品题这个环节，也调动了整个班级学习数学的积极性，学生的个性和思维过程得到了充分的展示，而习题中该变式题的原题，在学生对变式的思维碰撞中，发现原题中的难点，恰恰是我们对平行线之间的距离处处相等和两条直线平行，则K 值相等的遗忘，只要了解这个特点，整个问题便得以解决。

的值？

积相等，求的面和如果），且（点为该抛物线的顶点，设）点（式。

）求抛物线的函数解析（）

，（轴交于点与）和点，（轴交于点与已知抛物线原题：t CDP BDP t t P D C y B A x c bx x y ??++=,30,2120,01-.232

这一环节，由于是由学生充当小老师的，整个课堂便活跃起来。学生们主动思考，大胆质疑，一些原本不会在课堂中主动发言的同学，也积极主动的说出了自己的想法。进而培养了敢想、敢说，敢做的意识，使学生成为讲评课的主人。

2.生生互动，“问”题，解题

第二环节，是我们比较常见的合作学习，学生以4人一小组的形式，通过合作，交流，探讨，互帮互助，将组内能够解决的问题，通过自己的独立思考，或组内同学的帮助得以解决。此时，教师参与到小组讨论内，仔细倾听小组成员的发言，对学生在组内无法完成的题目，进行面对面的沟通，指导，和点拨。其中，C 同学再帮助D 同学的场景，C 同学的启发式讲解，令我印象深刻。

原题21：某商店的进价为每件30元，现在售价为每件40元，每星期可卖出150件，通过市场调查发现：如果每件的售价每涨1元（每件售价不高于45元），那么每星期少卖10件，设每件涨价x 元（x 为整数），每星期的销量为y 件。

（1）求y 与x 的函数表达式及自变量x 的取值范围。

（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量最大？每星期的最大利润是多少？

C 同学：售价每涨1元，少卖了10件，现在题目中说售价涨了x 元，那么少卖了多少件？

D 同学：少卖10x 件

C 同学：那么，现在每星期能卖出多少件？

D 同学：原来每星期卖出150件，现在少卖10x 件，那么现在应该是卖出了（150-10x ）件。

C 同学：那第一小y 与x 的函数表达式就可以解决了

D 同学：对的，就是y=150-10x.

C 同学：那么x 的取值范围应该怎么去考虑呢，X 表示涨了多少元，所以。。

D 同学：x 0≥

C 同学：可以无限大吗？再看看题目。

D 同学（继续审题）：哦，每件售价不高于45元，那么原来是卖40元每件的，就是最多能涨5元。我知道了50≤≤x

C 同学：第二小题，需要把每星期的总利润表示出来，总利润可以理解为单件产品的利润?总销量，那么涨了x 元之后，现在单件产品的利润是多少呢？

D 同学：原来每件赚了10元，涨了x 元，那么现在单件产品的利润为（10+x)元，第（1）小题的总销量为（150-10x)元，哦，我知道了，总利润=（10+x)(150-10x),

如果令总利润为w,则5.1562)2

5(10)10150)(10(2+--=-+=x x x w ,我知道了，当涨价2.5元时，利润最大为1562.5元（D 同学高兴的回答到）

C 同学（不紧不慢）：不对，你再看看题目

D 同学（再一次审题）：哦，x 只能取整数，也就是2.5元时取不到的，那应该取2或3是不是？

C 同学：2或3都能去吗？再看看问题？

D 同学：我知道了，还要保证销量最大，那么x 只能取2了，最大为1560元

C 同学和

D 同学会心一笑。全然没有关注到站在一旁的我，正在听着他们俩的对话。

这样的场景，当进行到这个环节时，你会看到很多。一位学生细致的讲解另一位学生积极思考，主动回应，让我很震撼。我看到了学生真正懂起脑来的场景，学生你一言，我一语，充分发表了自己的见解，和看法。这个环节，不仅使卷面中教师可讲可不讲的题目，能在小组之内及时消化，又再一次暴露了练习题中学生无法通过自己独立思考，组内讨论都无法解决的问题，这个就是班级中的共性问题。这些问题，并不是老师提出来了，是学生的认识，学生在接下来教师点拨时显然会更加投入。

三、教师释疑，及时问诊

1.教师说题，品题，评学生

这是本堂课的第三环节，我不紧不慢的拿出登分册，一项项对于习题分析的数据十分清楚和到位。第一：这套习题的难易程度，以及学生的错题情况做到量化，指出学生错误率较高的题目，让学生在习题本上予以标注；第二：成绩的分段情况，我将学生的习题成绩分成了以下几个分数段“108~120”，“90~108”，“72~90”，“72以下”等，并对分数段中的人数予以统计，使学生对自己的成绩处于哪个分数段和班级中的位置有一个直观的认识，并点名表扬成绩进步比较大的同学。这一过程，时间较短，看似可有可无，其实作用很大，学生需要对自己的成绩有个分析和把握，学生也需要被激励和鼓励。

2.教师点拨，点评，解难点

进行到这里，还有最后的十五分钟，而没有解决的问题也只剩最后两三个小题，一份23题的练习题，在老师的引领下，学生不紧不慢，有条不紊的进行着，整堂课，每一环节的安排和设计都恰当好处，教师讲的不多，却达到了习题讲评课的一个好的效果。

填空题的第16题，这个问题没能在小组成员之间解决，也没能在组间解决，因而这个问题是整个班级的共性问题。当我讲解这个问题时，大家听的更加认真了。

原题16：如果函数1

53)1(2+++++=a a x x a y 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范围是（）

师：该函数的图象经过四个象限，那么该函数应该是关于ｘ的什么函数？生1：应该是二次函数，如果是一次函数不可能经过四个象限

师（追问）：那么ａ要满足什么条件？

生2：二次项系数不为零，1,01-≠≠+a a

师：式子中还有哪里也能说明1-≠a 的

生3：1

5++a a 这一项，如果1-=a ，那么，分母为零，该式子就没有意义了师：说的非常棒，那么我们现在来试试看，怎样的二次函数图象，能经过四个象限？我画出了四幅草图：观察图形，比较四幅图发现，要使函数图象过四个象限，还需要什么条件？

图1 图2

图3 图4

生4：与x轴必有两个交点。

生5：老师，如图4：抛物线与X轴有两个交点，但是该抛物线没有经过第四象限。所以我认为比较图3和图4，我认为还需与y轴的交点小于0 我点点头，说道，你们还有什么想法吗？

生6：老师，如图1，满足与x轴两个交点，但它与y轴交于正半轴，抛物线同样经过四个象限。所以我觉得：比较图1和图3，如过开口向上的，则与y 轴交于负半轴，如果开口向下，则与y轴交于正半轴，此时抛物线都能经过4

个象限。

我再一次点点头，并进行简单总结，同学们也纷纷点头，马上落笔计算。

)3(

)2(

(

∴

≠

∴

综上所述：

或

）

该函数满足（

四个象限，

经过平面直角坐标系的

解法一：

接下来，我并没有因为答案揭晓了，而停止，我继续追问：同学们除了以上这种这法外，你还有其他更简单的解法吗？请观察图形，继续分析。

生7：老师我觉的，经过4个象限的抛物线，不管是开口朝上，还是口后朝下，有一个共同的特征，与x轴的交点坐标分别位于坐标两侧就可以了。

师：如果在坐标轴两侧，意味着当y=0时，方程的根是一正一负的，你想到了什么？

生8：我知道了，若该方程的根为

x，那么0

x?，可以利用韦达定理。

我马上总结，因此，对于本题而言，有第二种解法：

55,0)1(5)3(,4

11,015)1(434)2(0

111

53)1(221222--∴++=?-∴-+?--=-≠-∴++++-= a a a a x x a a a a ac b a a a x x a y 综上所述：）该函数满足（四个象限，经过平面直角坐标系的解法二：

在这个环节中，我在与学生面对面的交流过程中，对学生的回答及时小结，并采用一题多解的形式，让这节课不仅仅是一堂试卷讲评课，还是一节拓展课，或者是方法课，学生在这样的课中，不仅能充分的认识到自己的错误和不足，还能学到新的东西。

四、反思总结，准确“切”诊

反思阶段不仅是教师对学生所出现的共性问题原因的汇总阶段，更是学生在订正错题时，查找出自身个性问题错误原因的关键阶段。需要学生做好一错题一反思。在这个阶段，教师可以要求学生进行发言分析错误原因。比如：有些同学说：“我每次都没有认真审题，题目匆匆一看，就下笔做了。”也有一些学生说：“做选择题和填空题时，我看到一些题，似曾相识，好像原来做过，就凭着原先的记忆，直接写答案了，后来却发现题目是有改动的，可惜了。”还有一些同学说：“我每次做计算题时总是很粗心，经常算错，但是这些我是原本都会了。”这些问题都是由学生提出，而这些产生错误的原因也是由学生自己分析得出，由学生自己站在自己的高度上来审视自己的不足，显得更加真实，更加深刻。一改以往教师“反复叮咛”，学生“知错不改”的态势，大大提高了试卷讲评课的效果。实现在整个讲评课环节的“自助”。

五、变式检验，确诊下药

如果说以上的这些环节是学生“走进习题”的体现，那么变式训练便是检验学生“能否真正走出习题”的不可缺少的环节。最后，我以一组变式，结束了该堂习题讲评课，留有余味。

六、设计感悟

教育心理学研究表明，中学生在课堂听讲的时间，如果持续20分钟以上，有30%的学生注意力会开始分散，同时，研究结果还表明，学生的自主学习效果，比被动学习要高很多。一节精彩的习题讲评课，不仅重视学生对考试内容的内化

吸收，反思回馈，更重要的是在这节课中，应充分重视了学生的主体地位。从发现问题、提出问题、分析问题、到最后解决问题的整个过程中，每一位同学的参与过程都是积极主动的。学生在其中不仅能发现自己的优点和闪光点，同时激发了学生的学习兴趣和学习欲望。这样的课，才能真正体现了习题讲评课的价值。

尾声

总之“教无定法，学无定势”作为数学教学中不可或缺的习题讲评课，我们要予以高度重视。如若在讲解中能采用“改—议—问—思—验”的“自助式”数学习题讲评课，充分体现“学为主体，教为主导”的新课程教学要求，最大程度的挖掘学生的潜力，使学生积极主动的变为课堂中的思考者。那么，学生在习题讲评课中的获益会大大提升。

我想习题讲评课“不是老师的“个人秀”，也不是“学生的游戏场”。是一场用心灵引导心灵，用沟通唤醒智慧的自助式“辩论会”。

[参考文献]：

[1]浅谈数学测试卷的讲评王道勇《中小学数学》2008年3月；

[2]论新课程教学中教师教学行为的变化张永平《初中数学教与学》2007年9月

[3]张雅军《建构主义指导下的自主学习理论与实践》

[4]皮亚杰的《发展心理学》

[5]教育部．普通高中《数学课程标准》（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[6]王文清．数学讲评课教学初探[J]．中学数学教学参考，2002.10

[7]沈灿江．对话让数学试卷讲评更有效[J]．中国数学教育，2011，12．

必修五解三角形常考题型非常全面

必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30°，，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。

浅谈高中数学课堂教学要注意的问题

浅谈高中数学课堂教学要注意的问题新课程改革是对教师充分施展个人才华和智慧，形成了鲜明的教学特色，提供了广阔的空间和前景的平台。教师鼓励学生的个性发展，而且还应该张扬自己的个性。教师在课堂上充分发挥自己的教学技能，使教师在课堂上肆意流淌的智慧，让老师来点燃学生的激情思想的火焰，让欢乐和诗意充满课堂。但仍然会有很多我们的错误而导致无效的教学课堂，现在总结一下高中数学课堂教学注意的问题：一、课堂提问题没有考虑到学生的接受能力教师在讲完数学新知识后，没有给学生留出思考的时间，就马上提出问题。在学生没有听到这个问题，没有时间来消化理解，就让学生回答问题，是无效教学的重要特征之一。如果学生听不清的要求不理解所提出的问题，或没有时间来整合现有的知识和信息提取，起不到老师提问，反馈，纠正措施的作用。在出现问题要等待学生厘清自己的思路减少学生的思想压力，学会耐心地等待的思维的爆发。等待可以让学生明确自己的想法，减轻焦虑，等待能催化学生的思维，明确的逻辑表达式语言；等待可以使课堂更和谐，高效。二、掌声成为鼓励学生的方式唯一有的教师在学生回答问题后，会这样启发学生“大家看××同学回答得怎么样？”“好！”同学们齐声喊道。教师

在学生的声音落下后说：“回答得这么好，还不来点掌声？”学生噼里啪啦的掌声随之响起。“掌声响起”已经较为普遍地充斥在一些课堂上。看似是良好的教学景观，实质则是“课堂病态”。不是遇到了非常让人惊叹的问题，就提示学生鼓掌，无疑是耽误教学时间。假如某个教师喜欢这样做，一个学期下来、一年下来，要耽误学生多少时间？如果是2分钟，50名学生，就是100分钟，这是非常可怕的行为。从另一个角度看，为学生“要掌声”，与舞台上演员向观众要掌声有何不同呢？这是在向学生灌输哗众取宠的处事方式，有害于学生的思想健康。尊重学生，表扬鼓励学生的方式有很多，没有必要采取“要掌声”的方式。三、课堂讨论成为“装饰” 老师问了高中数学问题，通常给学生发出这样的指示：“下面开始小组讨论”随着几个同学围绕在一起，热热闹闹地说话，有的人都在谈论，有些人趁机聊天，一时间嘈杂的不断。这时教师或者是在一边站着一动不动，或者是翻书看教案，或者是找一个凳子坐下来休息，或者是象征性地在班里转一圈。有的时候，学生的讨论可能已经偏离主题了；可能由于理解不到位，学生根本无从讨论；可能由于操作失误，导致学生无法讨论等。在课堂上这样的小组讨论已经成为一个“装饰”，老师认为，新课程已在课堂上讨论过了，真的不在乎学生是否

【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道

【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道学习活动对学生来说本身就具有重要的意义，但是由于个体间的差异和教学时间紧迫等客观因素决定了在数学课堂上教师不可能兼顾到每一个学生的实际情况. 第一篇：民族地区的高中数学教学 1. 当前高中数学教学的问题和分析 ①不注重知识的循序渐进:从初中到高中的知识跨越是一个循序渐进的过程，一定要做到让学生吸收。而现在的教师为了让学生掌握的更多，没节制的拓宽知识面，不断地补充一些公式或者特殊的解题方法，这些在高中生的高三复习阶段屡见不鲜，导致学生的负担过重不能更好的发挥。 ②因材施教没有落到实处:一些高中教师教学过程中分层教学把握不到位，教法单一。只讲”范式”，不讲”变式”，只要求记结论、套题型，多数学生浅尝辄止，不求甚解。学生学习毫无兴致，导致两级分化严重。 2. 教学新思路探索 2.1注重生源状况研究，实施因材施教依据少数民族地区生源质量较差的实际情况，

教师需要对其因材施教。结合班级里学生能力参差不齐的实际，传统的一些僵化教法根本无法适应当前新课程改革的要求，无法推进后进生的转化。教师需要根据生源状况，将其分为差、中、好三个档次，对后进生在知识方面进行详细的了解，设计问题的过程中可以梯度小一点，采取”小步子、慢速度”的原则。 2.2掌握新课改新课程的基本理念在新课改下，高中数学旨在构建学生发展和学习的良好基础，激励学生学习的积极主动性;促进学生的全面发展，注重学生数学思维的形成，把信息技术和课程化作一体，建立适应学生个性发展的学习体系。这一切都要求教师提高自身的综合素质，在教学中探索更好的教学方法，实现从知识的传授到学生能力的培养的跨越。 2.3注重知识传授的循序渐进以及改进方法新课改高中数学教学的关键就是循序渐进，只有完成这个环节，才能顺利的开展教学。有的老师眼中只有成绩，一味赶进度，形成”填鸭式”的教学模式。但事实上这样会适得其反，数学学科肩负着学生运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力的培养。它的特点就是很抽象，对能力的要求很高。所以如果不遵从循序渐进的原则，那么必然会形成很多学生的掉队，不仅会影响学生的兴趣，更重要的是还会影响其成绩。所以高中数学教学方法一定要活，因材施教，要具有针对性。教师要真正成为学生的引导和合作者。考虑学生的自身状况以及学习需要，辅以多媒体教学，培养学生的积极性和兴趣，做到学生不仅能够掌握现有概念和技能，还能独立思考学习，要充分鼓励学生自主探索。

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：（1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

高中数学椭圆超经典知识点+典型例题讲解

学生姓名性别男年级高二学科数学授课教师上课时间2014年12月13 日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.

讲练结合一.椭圆的定义１．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

圆的标准方程；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

解三角形典型例题答案

1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

《浅谈高中数学应用问题的教学》小课题结题报告

《浅谈高中数学应用问题的教学》小课题结题报告海南华侨中学吴维宝一，课题研究的起因: 培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度。二，课题研究的实施传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。 1 、每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题:“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。 2 、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当的运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。 3 、例题中的应用问题

例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的 14.6% ，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。 4 、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。 5 、阅读材料问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了 15 个，其中: ( 1 )历史故事方面的，如第二章《函数》的“对数和指数发展简史”，第五章《平面向量》中的“人们早期是怎么样测量地球的半径的,” ( 2 )介绍数学应用方面，如第八章《圆锥曲线的光学性质及应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗,》。 ( 3 )扩充知识方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三种类型”等。 6 、新增了“实习作业”和“研究性课题”。为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新教材安排了三次实习作业，一是“函数关系的实习作业”，让学生调查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数问题;二是利用“平面向量”知识解决不能直接测量的距离、方向问题。三是“线性规划的实际应用”。

浅谈高中数学教学中如何实现课堂的高效性

浅谈高中数学教学中如何实现课堂的高效性我省高中课程改革已经轰轰烈烈地展开。高中课改是教育本质的一次变革，实施高中新课程是一种必然。推进素质教育工作关系到国家和民族的未来，教育必须培养具有自主创新意识和创新能力的人才。高中数学是基础教育的一门重要学科，也是学习和掌握现代科学技术必不可少的基础，在发展和培养学生的抽象逻辑思维中起着极为重要的作用，在培养学生创新素质方面有着得天独厚的优势。推进素质教育涉及方方面面,但勿庸置疑的是,高效性学习必然是实施素质教育的一项重要课题。在新形势下，教师如何在具体教学过程中充分发挥自己的主观能动作用，因势利导转变教学观念、更新教学思想、完善教学方法以培养学生的自主学习与创新能力是我们必须深入思考的问题。高效课堂是本世纪进行新课改以来提出的新时期课堂教学的理念、原则和方法，是针对课堂教学的无效性、低效性而言的。所谓“高效”是指在常态的课堂教学中，通过教师的引领和学生积极主动的学习思维过程，在单位时间内（一般是一节课）高效率、高质量地完成教学任务、促进学生获得高效发展。课堂教学的高效性就是通过课堂教学活动，学生在认知上，从不懂到懂，从不知到知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。教师精心备课、精心设计课堂教学结构，优化教学手段，展现知识的发现、发展及形成过程，在单位时间内极大地调动学生的学习积极性，发掘学生的潜能，使学生切身感受和体验知识的生成，全面系统地掌握知识、提升能力、提高素质。教师乐教、善教，学生会学、乐学，课堂自主、和谐、创新、高效。高中生无论从生理、心理来说，都比初中生成熟。因此，自制力较强，学习相对主动。如何尽可能地提高学生在课堂45分钟的学习效率，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务。那么，如何才能做到数学教学课堂的高效性呢？笔者根据自己多年的教学经验，总结出以下几点体会：一、高效课堂教学要有明确的教学目标教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，进行必要的内容重组。在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。如《复数的引入》这一课是整个复数这一章的第一课，在备课时应注意，通过这一课的教学，使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释复数的形成和发展，体会到矛盾是事物发展的动力，矛盾的解决推动着事物的发展。引伸到现实生活中，就是当我们遇到矛盾时，也要勇于面对矛盾，要有解决矛盾的决心和信心，促进矛盾的转化和解决，同时也就提高了自己分析问题和解决问题的能力。二、高效课堂教学要要能突出重点、化解难点每一堂课都要有一个重点，而整堂的教学都是围绕着这个重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。

高中数学集合典型例题教学文案

高中数学集合典型例题

精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除集合 1．集合概念元素：互异性、无序性、确定性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 注：数形结合---文氏图（即韦恩图、Venn 图）、数轴典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ，(){}2,=-=y x y x B ，则=B A I 2. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122，求A 中所有元素之和． 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ，{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A I ，求a 的值． 5. 已知(){}011=+-=x m x A ，{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?，求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ，{}5=A C S ，求a 的值. 8. 若{}Z n n x x A ∈==,2，{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等． 9. 已知(){}a x y y x M +==,，(){}2,22=+=y x y x N ，求使得φ=N M I 成立的实数a 的取值范围. 10. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042，(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222，若A B ?，求实数a 的取值范围.

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形

浅谈高中数学习题教学的五项原则

浅谈高中数学习题教学的五项原则在高中数学课堂教学内容中，习题教学一直是大家研究的一个重要课题。数学习题教学中遵守五项原则从根本上为我们分析了习题教学的实质和目的，旨在为习题教学开辟一条新的路径。教师在数学习题教学中严格地遵循这五项原则，合理地安排教学活动和内容，能取得相应的教学效果。本文就高中数学习题教学的现状和课堂中常出现的问题进行分析，具体探讨在实际教学过程中如何有效应用五项原则开展教学活动。一、目前高中数学习题教学的现状在现今的高中数学习题教学活动中，教师在教学活动中主要存在两方面的不足：教学内容的安排和课堂教学模式的更新不足。教学内容的安排合理程度直接影响到学生对于该堂知识点的接受能力和理解能力。反观我们大部分学校在数学习题的教学活动，教师的教学内容是用统一的标准传授给学生群体，在这个过程中，忽视了学生之间学习能力和知识接受能力的差异，而且课堂中教师的指导也不可能具体到每个学生。二、高中数学习题教学过程中的五项原则 1.传统性和创新性的融合高中数学教材中的例题，一般都比较经典和典型的。教师要把握好教材例题的教学，在将知识点进行合理融入和讲解的同时，要给学生拓展更具有创新性的习题解答，而不是仅仅通过板书和口头的表述将习题的解答方法传递给学生。案例1：在高一上册的“集合”这一章的教学过程中，可以运用不同颜色的数字卡纸，将集合中存在的“交集”“并集”“空集”等知识点，进行讲解。同时，教师可以在教学过程扩充学生的知识范围，多加些新的题型来深化他们对于知识的理解和运用。 2.典范性与示范性的融合任何科目的学习都是一个循序渐进、日积月累的过程，数学也不例外。数学各知识点的题型转换、解答技巧和解题思路，需要学生经过适当的练习和积累以后，才能真正变成学生自己运用自如的知识。因此，教师在教学活动中，要注意丰富题型，多介绍解题方法，拓宽学生的思维能力。一般要先抓基础题型，教师进行示范性的引导，让学生能发现题型中的规律和特性。在大量的基础练习后，学生已经掌握了知识点的基本运用，此时再加大题型的难度和技巧性，从而强化学生的解题思路。 3.针对性和目的性的融合

浅谈高中数学的课堂教学

浅谈高中数学的课堂教学发表时间：2019-11-19T09:41:20.487Z 来源：《中小学教育》2019年8月4期作者：敖徐[导读] 数学家B.Demollins说过：“没有数学我们无法看透哲学的深度，没有哲学我们也无法看透数学的深度，然而若没有两者，人们就什么也看不透。” 敖徐（四川省南部县第二中学四川南充 637300）中图分类号：G623.24 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2019）08-033-01 数学家B.Demollins说过：“没有数学我们无法看透哲学的深度，没有哲学我们也无法看透数学的深度，然而若没有两者，人们就什么也看不透。”由此可见数学在我们的日常生活扮演着一个十分重要的角色，因为数学不仅仅是一种工具，而且是一个人必备的素养，它会影响一个人的言行，思维方式等各方面。然而在高考的桎梏下，我国中学数学课堂教学或多或少存在一定的弊端，笔者将从重知识、轻能力；重结论，轻过程；重理论，轻应用；重注入、轻启发等几个方面进行粗探。一、重知识、轻能力近年来，“在数学教学中不仅要传授知识，更重要的是通过知识培养能力。”这一点虽受到一定程度的重视，但在传统教育模式的影响下，仍然举步维坚。无可讳言，许多教师认为只要学生理解或者记住知道要点，能力自然就会提高。因此他们不辞辛劳在书山题海中找出自己未讲的或未深入的知识点让学生“咽下”，并不时地提醒学生要“博览众长”。然而在高考和中考中我们许多学生仍然会出现许多不如意之处，偶遇新题时，措手不及或糊拉乱扯；面对难题时，慌不择路或望洋兴叹。这就值得我们思考的问题：除注重知识堆砌外，是否还有一些能力没有引起我们的重视。根据我们的观察思考认识到提高学生处理数学问题的水平还必须重视与强化知识堆砌时具有的运算能力，空间想象能力外的迁移能力、洞察能力、猜想能力、创新能力和应变能力等大纲之外的一些能力。二、重结论、轻过程 “只看结论，不看过程”这是教育问题中的千年沉疴。关于重结论轻过程笔者认为应从两方面来讨论。其一，教师注重学生在学习中成绩的好坏（即分数的高低）而忽略除学习以外的其它因素.其中也包括教师在试卷和作业的评改中只看答案而忽略其解题过程等情况。其二,教师和学生,其中最主要的是学生特别是后进生,只注重教师归纳出的定理性结论,而忽略其推导过程,比如,在讲平面区域的划分问题时老师会归纳出 “1)有n条直线,其中两两相交,但任何三条不共点,则n条直线,将平面分成的部分；2) 若n个球面每两个相交于一个圆,则这 n个球把空间分割成个部分。”等一系列定理性结论.然而这些结论在理解上;跨度大,抽象思维能力要求较强.在计算上;计算冗余繁杂,牵涉面积广,从而一部分学生就在心中树立起 “反正是结论,只要记住就万事大吉了”的不好念头.然而高考数学不是从书中找到现成的答案或只是简单的背育或复述,面是是在课本以有知识的基础上,进行了纵向横向的拓展,要求经过回忆,对比,分析,归纳,综全等思维操作后才能得出答案,此时放多同学虽看到熟悉的 “老朋友”却惊讶得不知道 “怎么办了”! 三、重理论、轻应用诚然，我国的大、中、小学生对理论的掌握情况应居于世界前列，然而对知识的实际应用却有些难登大雅！当然这与教育不无关系，正如伟大的物理学家爱因斯坦所说“用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，他们可以成为一种有用的机器。但不能成为一个和谐发展的人。使学生对价值（即社会伦理推测）有新的理解并产生强烈的感情那是最基本的。”南京大学文学院董健教授更是一语点破实质“我们的教育不是立人，而是制造机器、机器再用也是机器。”当然我们不去考究董教授的措辞是否片面，单从他的话中我们可以看出我们的教育教学的确存在某些不足的问题。在教学环节中教师很少指导学生从自然社会生活中选择和确定专题进行研究，更未让学生在研究问题中主动获取知识、应用知识解决问题而是以单纯的教师传授为主的学习方式这是不争的事实。由于教学旧模式的影响在教学过程中教师很少或者根本没有为学生营造开放性学习环境、提供多渠道获取知识并让学生综合应用知识与实践的机会。因此“理论指导实践”成了一句口号。正如美国匹兹堡大学社会学系、历史系教授许倬云说：“我们的教育只注重理论知识和培养学生的逻辑思维能力。尤其在国内，在高考的指挥棒下，中小学教育基本变成了高考、中考考什么就学什么；老师也是如此，深研的是中考、高考题而忽略了培养学生应用知识的能力！” 四、重注入、轻启发在教学过程中许多教师为便于控制教学中的各个细节，也为了在单位时间内向学生传授更多的内容往往形成了教师唱主角甚至是唱独角戏的局面。近年来，课堂上满堂灌、填鸭式教学现象已得到较好的抑制，但仍存在着“步子小、提问太多”的极端现象，“满堂灌”变成了“满堂问”，其结果是使一些学生在解题中虽然一步步会做，却不知道自己在做什么。无可讳言，当今课堂教学的核心是启发学生思维，培养学生的发散思维和创新思维。而不是一味的将自己的所有知识不加筛选的强加给学生。这就要求教师在教学过程中要善于审时度势，抓住契机并进行适当调控，既要扩展学生的思维，又要培养学生严谨思考，充分论证，精确计算的科学态度与顽强拼搏、坚忍不拔的精神品德。孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”只有当学生进入了“愤”与“悱”的状态，即“可意会不可言传”时教师因时利导、循循善诱让学生通过自己的思考解决问题。教师要记住学生不应是一个个被填满的容器，而应是一支支被点燃的火把，教师理所当然是火把的点燃者，是学生思维、智力、智慧的开发者、发掘者。因此教学过程应尽量多地创设“愤”、“悱”情境，然后根据学生表现恰到好处给予点拔。这就要求教师要抓住教材的内在联系和发展，在学生最感困惑的认识焦点上设疑，在学生的思维定势或思维缺陷处设问。真正做到“普教者，使人继其志”让学生主动地、极积地、独立地思考提出自己的见解。总之，课堂教学是一门艺术，是教师基本功的具体体现、是一堂课好坏的体现。课堂的灵活处理不是教师漫无目的“卖关子”、“摆架子”的机会，而是一个有目的、有计划、有步骤的教学手段，具有较强的原则性、技巧性和可操作性。因此，只有科学地实施，才能优化教学过程，提高教学效果。参考文献 [1]《点击教学创新丛书》胡建军主编. [2]《数学教育学》刘安君、孙全森、等编著。山东大学出版社出版. [3]《中学数学》1990年1~6期，江苏《中学教学》编辑出版.

论高中数学习题课教学

论高中数学习题课教学发表时间：2014-04-14T11:10:10.810Z 来源：《教育与管理》2014年1月供稿作者：贾丽霞 [导读] 在初中数学教学中，习题课的基本目的是通过解题的形式来形成学生的数学技能，并通过解题教学进一步培养学生数学的应用意识和能力。笙河北省沙河市第一中学／贾丽霞【摘要】上好习题课课堂教学模式可以是“目标教学法”、“范例式教学法”、先学后教的“学案导学式教学法”、“探究式教学法”等，但无论采用什么教学模式，都离不开教学内容的合理安排。在科学合理地安排好教学内容的同时，再选择适当的教学方式，则能达到事半功倍之效。【关键词】高中数学习题课模式在新课程改革过程中，专家、教师们对于如何上好一节新授课讨论的很多，而对于如何上好一节习题课讨论的相对较少。然而，习题课在数学课教学中起着非常重要的作用，它是数学教学中的重要课型。在初中数学教学中，习题课的基本目的是通过解题的形式来形成学生的数学技能，并通过解题教学进一步培养学生数学的应用意识和能力。习题课之所以重要，是因为习题课能使学生加深对基本概念的理解，使理论完整化、具体化。习题课教学还可以增强学生的理性认识，提高学生的辨别能力。另外，通过问题创设了一种适合学生思维的情境，可以多方面、多角度地培养学生的观察、归纳、类比等技能和能力。从此也可看出学生的解题过程是一种独立的创造活动过程，有利于学生思维能力的发展。对于教师来说，还可以检查学生对所学知识的理解和掌握程度，以便适时调整教学方法和策略，实现数学教学的基本目标。结合自己的教学体会，我认为应做好以下几个方面工作： 1 科学安排教学内容1.1 例题和习题的安排要有明确的学习目标。目标主要有两个方面，一是知识目标，二是技能目标，要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些思想方法，形成什么技能，这些都要有明确的目标。如何没有明确的目标，将成为简单的例题讲解和习题训练，使学习内容缺少完整的知识体系，知识之间难以很好地沟通和联系。例题的安排难以达到示范性，习题的安排也缺少典型性，揭示习题的规律性也有困难。所以缺少目标的习题课有盲目性，会降低教学效率，因此要有明确的教学目标。 1.2 例题的安排要有非常强的示范性。首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通法通解，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法，这样才能体现例题的典型性。分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。 2 精心选题 2.1 选题要有针对性，针对教学目标，针对知识点，针对学生的现状。教师在编选题前，对近一段的教学情况做些回顾和小结，很有必要，做到对教学情况心中有数，不能凭感觉和“经验”随意挑选几个题目，这就很难收到好的效果。小结要从教与学两个方面入手。对于教而言，要冷静，客观的分析前面所学知识到位了没有，教学情况如何，教学方法是否暴露了知识的形成过程。对学而言，要了解学生对重点内容了解到什么层次，难点消化到什么程度，思维训练的效果如何，针对这些来编选题。 2.2 选题要有可行性。选题要把握好度，作为平时的习题课，题目的综合性不要过强，这是因为学生对新概念，新知识接触的时间不长，有的学生尚未完全理解和掌握。如果题目背景较深，信息量较大，涉及到的新知识较多，学生的思维可能跟不上，这会影响学生思维的积极性，甚至使学生丧失信心，若要选综合性较强的题目，一般采取分步设问的方式给出，这样做学生易成功，有利于激发学生的思维兴趣，有助于学生把问题搞懂。 2.3 例题选择要有研究性。选题要精，要有典型性。通过对问题分析，启发学生从不同的角度观察、联想、探索解决问题的途径，使学生参与到研究问题中，成为问题的探索者。 3 重视问题分析第一，树立正确的解题观：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾总结。第二，发挥学生主体作用，让学生自己分解目标，进行知识点定位，寻找问题突破点，选择解题方法。第三，引导学生多角度思考问题，强化等价转化与化归思想，一题多解，培养学生的发散性思维。第四，注重思维方法和品质的培养，如逆向思维，正难则反，类比思想等，要求思维严谨，逻辑严密，切忌会而不对，对而不全。 4 例题的处理要得当对例题的学习要注意师生互动。教师重要的是及时地点拨，学生重要的是始终积极地进行思维活动，这样才能真正体现教师为主导、学生为主体的新的学习方式。教师要精讲，但对学习易犯的错误要及时纠正，对学生困难的解题思路要及时点拨，对方法技巧要引导学生总结。先学后教的“学案导学”教学方式是一种很好的教学模式。按照这种方式提前把学案发到学生手里，让学生予习，教师在上课前利用班空时间要及时了解学生学习的重点、难点及其他内容，并发现问题，这样才能在上课时有的放矢地学习，讲解更能击中要害，学生能会的就不要讲，学生能代老师讲的尽量让学生讲，尽量多给学生点空间和时间，以培养学生自主学习的能力。

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式：（1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）；（2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

数学专业论文题目

数学专业论文题目 A、 1、极限思想的产生和发展； 2、利用泰勒展式求函数极限； 3、数列极限和函数极限的统一； 4、求函数极限的方法； 5、等价无穷小求函数极限； 6、求二重极限的方法； 7、三角函数的极值求法； 8、有界非连续函数可积的条件； 9、正项级数收敛的判别方法； 10、Riemann可积条件探究； 11、凸函数的几个等价定义； 12、函数的本质探讨； 13、数学概念的探究教学法； 14、学习《数学分析》的读书报告。 15、用复数证明几何问题； 16、用复数证明代数问题； 17、解析函数展开成幂级数的方法分析； 18、解析函数展开成罗伦级数的方法分析； 19、利用残数定理计算一类实积分； 20、利用对数残数计算复积分； 21、利用辐角原理确定一类方程根的范围； 22、学习《复变函数论》的读书报告。 23、采用某某教学方法对试验班的成绩影响（利用假设检验分析试验班的成绩显著水平）； 24、概率统计在教学管理中的应用； 25、利用假设检验分析班级成绩的显著水平； 26、有理数域上多项式不可约的判定； 27、利用行列式分解因式。 28、n阶矩阵可对角化的条件； 29、有理数域上多项式的因式分解； 30、矩阵在解线性方程组中的应用； 31、行列式的计算； 32、求极值的若干方法； 33、数形结合法在初等数学中的应用； 34、反例在中学数学教学中的作用； 35、生成函数证明递归问题； 36、一类组合恒等式的证明； 37、一个组合恒等式的推广； 38、常生成函数的几个应用； 39、指数生成函数的几个应用； 40、学习《组合数学》的读书报告； 41、学习《离散数学》的读书报告； 42、论数学史的教育价值

浅谈新课改高中数学课堂教学

浅谈新课改高中数学课堂教学发表时间：2011-07-22T16:16:02.640Z 来源：《少年智力开发报》2011年第36期供稿作者：黄超[导读] 设计课堂层次时,必须重视认知过程的完整性,要回归认识的最初,也就是要遵循人们认识事物的规律。河南省光山县第一高级中学黄超课堂教学是学生在校期间学习文化科学知识的主阵地。本文结合自己的教学实际,从激发学生学习兴趣、优化课堂结构、提高课堂时间的利用率、提高学生对知识的吸收率、提高思维品质的优化率等方面,阐述了在数学课堂教学中如何提高教学效果。《新课程标准》指出:数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地,也是对学生进行思想品德教育的主渠道。课堂学习是学生获得知识与技能的主要途径,因此,教学质量的好坏,主要取决于课堂教学质量的好坏。怎样才能较好地提高中学数学课堂教学质量?笔者根据多年的高中教学经验以及这两年新课改的体会认为:必须激起学生的学习兴趣,优化课堂结构,改进教学方法,重视培养和提高数学思维。一、创设多彩的教学情境,激发学生的学习兴趣新课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题,主动地运用数学知识分析生活现象,自主地解决生活中的实际问题。如何达到这个目标?心理学家认为,兴趣是人们力求认识某种事物或爱好某种活动的倾向,兴趣的功效之一就是能对正在进行的活动起推动作用,学生的学习兴趣和自觉性是构成学习动机的重要成分。所以在教学中我们要以学生已有的知识和生活经验作为数学教学的资源,设计学生感兴趣的丰富多彩的教学情境,使学生感受到数学并不是枯燥无味且没多大用处的,而是与生活联系紧密的。为此,可以与学生多交流,了解他们喜欢什么,对什么感兴趣。通过学生所了解、熟悉的社会实际问题(如环境问题、治理垃圾问题、旅游问题等),为学生创设生动活泼的探究知识的情境,从而充分调动学生学习数学知识的积极性,激发学生的学习热情。例如在讲循环结构时引进电脑病毒事件“熊猫病毒”,一开始就“引人入胜”,产生好奇心,并由此产生求知欲望与热情,对理解内容起到了良好的作用。及时地进行表扬与鼓励,是提高学习兴趣的重要方法。课堂教学中,要对同学们的热情态度和取得的成绩给予正确的评价和适当的鼓励。如在讲完一个概念后,让学生复述,并回答概念的内涵和外延;讲完一个例题后,让学生归纳其解法,运用了哪些数学思想和方法。对于基础差的学生,可以对他们多提一些基础问题,让他们有较多的锻炼机会。同时,教师要鼓励学生大胆提问,耐心细致地回答学生提出的问题,并给予及时的肯定和表扬,增强学生提问的勇气和信心。当学生的作业做得很好时,当学生的解题方法新颖时,当学生的成绩有进步时,当学生表现出刻苦钻研精神时,都要给予适度的表扬,以增强学习信心,达到表扬一个人,激励一大片的目的。二、优化课堂结构,提高课堂时间的利用率数学课堂教学一般有复习、引入、传授、反馈、深化、小结、作业布置等过程,如何恰当地把各部分进行搭配与排列,设计合理的课堂教学层次,充分利用课堂时间,是上好一节数学课的最重要的因素。设计课堂层次时,必须重视认知过程的完整性,要回归认识的最初,也就是要遵循人们认识事物的规律。由于人们认识事物的过程是一个渐进的过程,因此,要努力做到使教学层次的展开符合学生的认知规律,使教师的教与学生的学两方面的活动协调和谐。在组织课堂教学时,当同学初步获取教师所传授的知识后,应安排动脑动手独立思考与练习,教师及时捕捉反馈信息,并有意识地让它们产生“撞击”与“交流”,这样,同学们对某一概念的理解,对某一例题的推演,就会有一个由感性认识到理性认识,并由认识到实践的过程,从而对知识的领会加深,能力也得到发展。设计课堂教学层次还必须注意紧扣教学目的与要求,充分熟悉教材,理解教材的重点、难点、基本要求与能力要求,从多方面围绕教学目的来组织课堂教学。严格控制教学内容,不增加难度,不降低要求,力求把教学目标落实到课堂教学的每一个环节上。当课堂容量较大时,要保证讲清重点,解决难点,其他的可以指明思路,找出关键,有的甚至可以点而不讲,但要指导学生自学完成;当课堂容量不大时,可以安排学生分析评论,并进一步深化练习,进行比较、提高。这样,课堂结构紧凑,时间得到充分利用,有利于课堂教学目标的实现。三、运用恰当的教学方法,提高学生对知识的吸收率教学方法是教师借以引导学生掌握知识,形成技巧的一种手段,要提高课堂教学效果,必须有良好的教学方法,深入浅出,使学生易于吸收。具体一堂课,到底选用哪种教学方法,必须根据教学目的、教学内容和学生年龄特点考虑。一般而言,每节数学课都要求在掌握知识的同时形成能力,因此,通常所采用的都是讲授与练习相配合的方法。有些课题要数形结合求解,此时可联系图形,用谈话式“依形探数”或“用数定形”,以使问题直观易懂,学生吸收自然好。对于一些综合题,可结合分析,采用点拨讲授法,要挖掘条件,点其窍门,减缓坡度,以提高学生的分析解题能力,也便于学生吸收。需要指出的是,设置问题时要尽量具体,环环相扣,而且要多范围,最后也要有“从中你有什么收获”这样的总结性问题,切忌蜻蜓点水,不深不透。教学方法上,要求教师必须在“讲”上下工夫,狠抓“练习”这一环节,注重启发式、探索式,讲授时做到深入浅出,语言规范简洁,练习时做到难易适中,适时启发反馈,力求使同学在认识与实践中逐步加深对知识的理解,并形成技能技巧,以达到吸收消化的目的。总之,课堂教学是教师与学生的双方活动。要提高中学数学课堂教学质量,必须树立教师是主导、学生是主体的辩证观点,形成具有激情的学习气氛,使学生从“要我学”变为“我要学”,变被动为主动,变学会为会学,这样就一定能达到传授知识,培养能力的目的,收到事半功倍的效果。