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计算理论导引 部分习题答案

8.1 证明对于任意函数f:N→N,其中f(n)≥n,不论用单带TM模型还是用两带只读输入TM模型,所定义的空间复杂性类SPACE(f(n))总是相同的。

证明:为区别,记单带TM模型在f(n)空间内能判定的语言类为SPACE1(f(n)), 而记双带只读输入TM模型在f(n)空间内能判定的语言类为SPACE2(f(n))。该题要证明的是SPACE1(f(n))=SPACE2(f(n))。

首先SPACE1(f(n))⊆SPACE2(f(n))。这是因为设A∈SPACE1(f(n)),且设M设在f(n)空间内判定A的单带TM,如下构造双带TM只读输入TM N。

N=“对于输入串w:

1)将w复制到工作带上。

2)在工作带上模拟M,直到停机。

3)若M接受,则接受;否则,拒绝。”

N在f(n)空间内运行,L(N)=L(M)=A,所以A∈SPACE2(f(n))。

首先SPACE2(f(n))⊆SPACE1(f(n))。设A∈SPACE2(f(n)),且N为在f(n)空间内判定A的双带只读输入TM。按照用单带TM模拟多带TM的常规方式构造M:

M=“对于输入串w:

1)初始化工作带为#w1’w2…w n#’.其中以’标记N的两个读写头。

2)模拟N运行直到停机。每一步模拟,要两次扫描带子。第一次

扫描确定读写头下符号,第二次扫描根据N的转移函数完成改

写和移动读写头的工作。

3)若N接受,则接受;否则,拒绝。”

L(M)=L(N)=A。由于f(n)≥n,M的运行空间是f(n)+n+2=O(f(n))。

8.3 考虑广义地理学游戏,其中起始节点就是又无源箭头指入的节点。选手I有必胜策略吗?选手II呢?给出理由。

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