接地电阻的数值计算及测试技术的研究

华南理工大学

硕士学位论文

变电站地网接地电阻的数值计算及测试技术的研究

姓名：王勇

申请学位级别：硕士

专业：电机与电器

指导教师：何志伟

19990101

华南理工大学工学硕士学位论文

摘要

接地电阻值是反映变电站地网．电气性能的主要参数之一，其合格与否将直接影响变电站和电网的安全运行。悃此，接地电阻的计算和测量是接地问题研究中的一个重要课题。

结合科研项目的要求≯本文的主要工作是用矩量法对变电站电网的接地电阻进行数值计算和编制相应的应用软仟：＿（旨先，在理论分析的基础上，提出了均匀土壤结构和分层均匀土壤结构的模型，然后从静电比拟出发．利用静电场理论与方法来处理恒流电场的问题，并具体讨论了矩量法在均匀介质和分层均匀介质中的应用。针对各种实际土壤中的地网，本文给出了其接地电阻值具体有效的数值计算方法和格式，并对计算结果作了分析研究，得到一些有益的结论。此外，还利用已有的试验结果和计算结果验证了本文计算方法的正确性。手一本文在Ｗｉｎ９５环境下利用３２位的ｖＢ和ｃ＋＋语言编写了接地电阻数值计算的应用软件系统。该软件系统不仅可以计算均匀和分层均匀土壤中地网的接地电阻，还可以计算接触电压、跨步电压、地表电位分布、单元流散电流分布等。此外，该软件还具有显示和打印地表电位分布曲线及单元流散电流分布曲线的功能。

本文的另外一部分工作是对变电站地网接地电阻的测量技术进行了初步研究。在分析电流电压法测量原理的基础上，探讨了布极误差和干扰误差的产生机理，并提出了消除这两种误差的具体方法，在理论上解决了土壤结构模型、测试极位置、地网尺寸和工频干扰等因素带来的测量误差，从而大大提高接地电阻的测量精度。

飞本文提供的方法和得出的结论对于变电站系统接地装置的计算研究、工程设计和实际测量具有参考意义。尹

关键词：接地电阻；矩量法；数值计算；测量技术；误差分析

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ＡＢＳＴＲＡＣＴ

ＥａｒｔｈｒｅｓｉｓｔａｎｃｅｉＳｏｎｅｏｆｔｈｅｐｒｉｍａｒｙｅｌｅｃｔｒｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｓｕｂｓｔａｔｉｏｎｇｒｏｕｎｄｉｎｇｇｒｉｄｓ．Ｉｔｈａｓｇｒｅａｔｅｆｆｅｃｔｏｎｔｈｅｓａｆｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｏｆｓｕｂｓｔａｔｉｏｎａｎｄｅｌｅｃｔｒｉｃｎｅｔｗｏｒｋ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒ，ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆｅａｒｔｈｒｅｓｉｓｔａｎｃｅｉＳａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｊｅｃｔｆｏｒｇｒｏｕｎｄｉｎｇｓｙｓｔｅｍｓ．

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ｗｏｒｄｓ：Ｅａｒｔｈｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ：Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ：ＭｅｔｈｏｄｏｆＭｏｍｅｎｔＫｅｙ

Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：Ｅｒｒｏｒａｎａｌｙｓｉｓ

Ⅲ

符号表接地极Ｇ的接地电阻接地极Ｇ的电压接地极Ｇ的流散电流电位电荷量静电电容分层介质边界地网导体的总长地网导体线电荷密度土壤分界面面电荷密度土壤电阻率介质的介电常数真空的介电常数接地网导体的等效半径双层土壤中上层电阻率双层土壤中下层电阻率双层土壤中的反射系数，上层土壤厚度地网等效半球电极半径地网中心和电流极的距离地网中心和电压极的距离矩量法中代求的未知函数未知函数的近似表达式权函数基函数

矩量法中的矩阵系数

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第一章绪论

１．１问题的提出

建造变电站时必须设置接地网．其目的是为了在变电站在正常运行或发生接地短路故障及遭受雷击的情况下，利用大地作为接地电流回路的一个元件，以保障设各和人身安全。‘

对大地有短路电流关系的电力设备，接地设计技术规程对其接地电阻有一定要求”Ｊ，如１１０ｋＶ及以上的交流系统．当短路电流Ｉ≤４０００Ａ时，要求其接地装置的接地电阻Ｒ≤２０００／ｉ；而当Ｉ＞４０００＾，可按接地电阻Ｒ≤ｏ．５Ｑ来设计。超过此规定就有可能产生严重事故。一般来说，地网的面积越大，接地电阻就越小，但如果地网面积无限制增大。则既会造成人力物力和财力的大量投入，又会带来实施上的限制或困难。因此要建造合理的地网，必须事先算出地网接地电阻的阻值。从而确定其规模和形式。

随着我国电力工业的不断发展，变电站的规模日益增大，电压等级也随之增高，地网的设计在变电站建设中的地位越来越重要，并一直受到人们的重视。变电站地网接地电阻的计算，长期以来采用的是《电力设备接地设计技术规程》推荐的公式，以及按工程实际经验修正过的公式。这些公式基于单根水平或垂直接地体，先将许多因素简化，再考虑到相邻接地体的屏蔽影响，然后由经验数据归纳得到。对于过去的小型变电站，由于这种计算方法与接地网的物理隋况相差不远，计算结果往往相差不大，一般可以满足工程的需要。近些年来，在大中型变电站的建设中，地网面积已达上万甚至几十万平方米，地形条件也十分复杂，电流分布与单根接地体时的情况相差很大，这时若仍采用规程推荐的公式，就会使计算结果与实测结果相距较远，建成的地网往往＿Ｊ２ｋ不到设计要求，需要加以改造而费工费时费钱。因而，为了满足设计的需要，必须设法寻找一种精确计算变电站地网接地电阻以及其它接地参数的方法。

变电站地网接地电阻的实际测量工作也十分重要，这是因为接地电阻的实际值需要在地网敷设完毕后通过实浸４得出。其实测值是判定接地装置合格与否的主要判据。但在进行接地电阻测量时，影响准确测量的因素很多，最主要的是测量辅助电流极和电压极位置及其引线的布置方式。此外在测量过程中，各种干扰

！，Ｉ——————』墼墼查耋璧圣垦堡堡．＿—————一也给测量结果带来了极大的误差。如何消除这些误差也是一个需要重视的问题。１，２接地电阻求解方法的现状与发展

近几十年来，国内外许多学者和工程技术人员在变电站接地电阻以及地网电气特性的计算方面做了大量的工作，在理论上取得一些进展和突破，并得到了一些实用的接地电阻计算方法。

在七十年代以前，接地计算主要是利用一些解析表达式及工程经验公式。较早且最著名的解析表达式由ｓ．Ｊ．Ｓｃｈｗａｒｚ提出”１，它成为后来许多学者迸一步研究的基础，并在许多变电站的地网设计中所采用。在Ｓｃｈｗａｒｚ公式的基础上．许多学者提出了一些改迸的解析式来计算地网接地电阻和地网性能参数”’““。ＩＥＥＥ标准化委员会分别在１９８３年和１９８６年制定了地网设计的标准化手册”一１，对地网设计、土壤电阻率的测量、地表电位的计算等均给出了规范化的方法和公式，这些方法和公式为许多国家所接收和采纳，并沿用至现在。

随着电子计算机的发展，有限差分法、有限元法、边界元法等～些场的数值算法相继产生或被改进，并被逐渐引入到地网接地电阻计算中，极大地促进了接地技术的研究。地网数值计算的基本原理是一样的，都是将接地电极离散为一个个单元，由假设的地网电位及地网电流分布的方式求出地网各单元的泄漏电流，进而得到地网电流场和地网电阻，并经过进一步计算即可求出地网的各项性能指标，如接触电压、跨步电压、地表电位等。

参考文献［１０］是一篇较早的用数值计算研究接地问题的文章。在文中，Ｆ．Ｄａｗａｌｉｂｉ通过假定地网的电流按沿线均匀分布或离地网的中心成比例分布或其它人为选择的不均匀分布三种情况对接地体性能进行了分析、计算和比较。正是由上述假设使该文的结果具有一定的经验性质。文献［１１］假设了地网导体的电流密度是均匀的，以地网的平均电位作为接地体的电位升高。接地电阻是平均电位与流散电流之比。ＲＨｅｐｐｅ”“在考虑接地极的电流分布时，并不认为它是完全均匀分布的，而提出了阶梯状分布的假设，从而使假设更接近于实际｜青况。文献［１３，１４，１５］采用了所谓多步法，将接地体的外缘导体段与中间导体段分开处理，提高了求解流散电流分布的精度，并由此进一步求解了其它接地参数。在计算地网中每一个单元的自电阻系数和相隔不远的两单元的互电阻系数时，文献［１６］采用了进一步细分的方法，以获得较准确或收敛更快的结果。

第一章绪论

在国内，文献［１７］较早提出了有关接地电阻的数值计算，应用了边界元法计算线路防雷接地电阻。对《电力设备接地设计技术规程》中关于不同接地体的接地电阻计算中的屏蔽系数进行了核实，给出了更加合理的屏蔽系数值。文献［１Ｓ］中将椭圆形偏微分方程的交替方向解法引入高压工程中接地电阻的计算，给出了具体计算步骤和格式，着重讨论了准零位面、收敛因子等因素对计算收敛性和计算结果影响及选取，并用实澳４模拟地网的结果对数值计算方法进行了验证。

由于一般地网的接地设计大都可按两层土壤结构考虑，故对两层土壤的接地电阻计算也得到国内外的广泛重视，得ＮＴ许多近似解析公式”“”“”和数值计算方法陋”）。１９９１年Ｆ．Ｄａｗａｌｉｂｉｌ２４’作了一件比较细致的工作，他结合了两个变电站地网的建造，先测量了土壤电阻率的分布，然后在地网施工的四个阶段对接地参数进行了现场测量。得到了许多重要的测量结果。事后他又按双层土壤结构对接地参数进行了数值分析。在１９９６年，Ｙ．Ｌ．Ｃｈｏｗ¨”提出了一个计算双层土壤中地网接地电阻的新公式，可直接计算带多根垂直接地极的复合矩形地网的接地电阻，而无需提供经验曲线或图表，并且和数值计算结果的误差控制在５％以内。

文献【２６］和文献［２７］通过求解拉普拉斯方程分别提出了水平三层土壤和垂直三层土壤中电流场的计算公式，解决了三层土壤接地数值计算问题。现在建筑物一般都用钢筋混凝土作为基础，将钢筋混凝土基础作为接地体在工程应用中越来越普遍。文献［５１］和文献［５２］对此作了研究。其中文献［５１］贪绍了均匀介质中钢筋混凝土基础桩接地电阻的数值算法。而文献［５２］则对双层土壤结构中的基础接地系统进行了分析，文中提出的数值计算方法和技巧值得借鉴。

在数值计算中，求解接地体各单元的散流电流时，文献［２９］直接根据电阻矩阵方程和电流方程（总电流等于各单元电流之和），利用逐步代入法实行矩阵变换，最后得到电位与电流的比值，即接地电阻。这种方法尽管求解接地电阻是直截了当的，但它的数值稳定性差，且不能进行其它接地参数的计算。

纵观接地问题中求解接地电阻的各种传统和现代的计算方法，它们分别在下述几个方面或多或少存在着有待改进之处：

１．近似解析公式形式不灵活，不能适用于各种类型的接地问题；

２．没有就一般性问题给出程序化计算公式；

３．不易处理复杂土壤的问题；

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ｍｍｌｌ

４．不能任意控制解的收敛误差而影响计算精度；

５．输入数据工作量大，不利于工程中实用。

本课题针对以上问题，力图寻求一个较为理想的、具有相当精度的、且便于工程中实用的接地电阻计算方法。

１．３接地电阻测量方法的现状与发展

接地电阻的实际测量是检验变电站地网设计和施工是否合格的～个主要判据。随着电力系统容量的迅速增长，短路电流越来越大，接地装置对电流系统安全运行的影响也越来越大，所以如何测得较准确的接地电阻己成为人们关心的课题。

对于小型的接地电极，使用摇表测量最为方便，但存在干扰电流时，摇表测得的接地电阻误差较大，为此，东托电力学院研铂出一种新型抗干扰的接地电阻测量仪”…，它用了无源、有源对称及潜在双Ｔ选频电路，经过５次良好的选频滤波，而具有很强的抗干扰能力，测量值凡乎不受干扰信号的影响。

对于较大的接地电极，尤其是变电站大型地网，国内外多采用三电极的电压电流法（国外称为电位降法）。文献［２，３３从简单电极出发，应用补偿法和远离法测量变电站地网接地电阻值，分析了电压极和电流极成直线布置或夹角布置时的准确位置，并对测量时产生的误差进行了分析。文献Ｃ３１］以菲均质土壤互电阻计算公式为基础，对非均质土壤接地电阻的测量问题进行了一些探讨，提出了减少测量误差的具体方法，并利并５电子计算杌算出了各种情况下应有的测量位簧。针对双层土壤的情况，文献［３２］讨论了分别采用两种电位降法（Ｃｌａｓｓｉｃａｌｆａｌｌｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｍｅｔｈｏｄ和Ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｆａ］ｌｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｍｅｔｈｏｄ）测量接地电阻时，电位极最佳位置的选取，最后将计算结果与模拟试验的结果作了分析比较。

在地网建成后，不论其是否正在运行，大地中总是不可避免地存在着杂散电流。采用倒稽法”’和变颓法ｐ“可以较大程度上减轻杂散电瀛的影响。倒相法是将信号电流倒相１８０。，消除既定相位的杂散电流进入测量系统；变频法采用通过带通滤波器的４０Ｈｚ和６０Ｈｚ的电流作为溺量信号，避开了各种杂散电流的影响，将现场测得的两个频率下的参数取平均值，就是５０Ｈｚ情况下的数据。

随着电力系统容量的增大，地网的规模也越来越大，无论用远离法还是补

４

第一章绪论

偿法测量其接地电阻都需要布置很长的电压和电流引线，因此常常利用现场的一条架空线路进行钡０量。这样，由于两引线平行且靠近，其电流导线中的测试电流将在电压导线上产生较强的感应电势，影响测量准确度。如何解决感应电压对接地电阻测量准确度的影响越来越受到人们的重视，国内外学者相应提出了一系列方法。比较有代表性的方法有直流法【３４ｌ、四极法…、双电位引线法Ｉ”Ｉ、瓦特表法¨６ｌ及数值计算方法ｌ”’３８Ｊ等。这些方法从理论上探讨了在测量结果中消除感应电压带来的误差，有的方法在实测中具有一定的效果，但也都存在一些缺陷。

接地电阻测量方法在接地技术研究中是非常重要的一个环节，至今己提出了许多有益的理论和方法，解决了测量过程中的一些实际问题，并为测量方法的继续研究打下基础。但这些理论方法在实用性和通用性方面还存在不足，有待进一步改进与完善。

１．４本课题工作的意义

本文用矩量法进行变电站地网接地电阻的数值计算，针对地网位于均匀土壤和不均匀土壤的情况，从理论上推求了方程组系数矩阵的求解公式，并分析了实施矩量法时权函数、基函数的选取。在测量接地电阻时，从理论分析了电流极和电压极的位置的选取与地网规模、土壤结构的关系，并研究了减少测量误差的一些措施，因而本课题具有一定的理论价值。

同时，本文还具有一定的实际意义。本课题是广东电力局资助的科研项目。近年来，广东省电力部门建设高压或超高压变电站时，为了尽量少占用良田好地，多数选址于丘陵坡地上。这些地方的土壤电阻率高且变化幅度大，属于不均匀土壤或多层土壤，而且地网的形状也更加不规则，若采用规程”１推荐的公式，将导致计算误差过大。而已有的计算不均匀土壤中地网的接地电阻的方法或是计算繁杂，不利于工程实用，或是计算误差较大，与实测结果相差甚远。由此，结合广东地区变电站地网建设的实际睛况，研究计算准确度高且使用方便的变电站地网接地电阻的数值计算方法，开发相应的计算机应用软件，具有一定的科技意义和较好的应用前景。此外，精确测量接地电阻值也是十分重要的。实际测出的接地电阻值是变电站能否安全投入运行的一个主要依据，测量结果不准确，会造成对地网的设计和施工的错误判断，影响变电站准时投入运行。

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１．５本课题工作的主要内容

本文的研舡作主要有以下四个方面：

１．对变电站地网接地电阻的数值计算进行详细的理论分析。从静电比拟法的角度，应用静电场中的理论和方法对流散电场进行场的参数计算。本文采用矩量法来求解地网流散电场所对应的静电场，对矩量法应用于地网数值计算作了一些基本探讨，包括权函数的选取、基函数的选取等方面的内容。并将地网所在的土壤结构简化为均匀和分层均匀这两种较符合实际情况的模型，由此推导了在均匀介质和分层均匀介质中应用矩量法进行数值计算得到的格式，为进～步对地网接地电阻数值计算的分析和应用奠定了理论基础。

２．具体分析了地网接地电阻的数值计算过程以及各种地网参数对接地电阻值的影响。首先对均匀土壤中地网进行了具体分析、程序编写和算例验证，阐述数值计算误差产生的原因。然后对分层均匀土壤中地网的数值计算进行具体分析，程序编写和算例验证，讨论了土壤分界面剖分对计算产生的误差影响，得出正确划分分界面的方法。通过典型的地网接地电阻的计算，证实了本文计算方法的实用性和准确性。最后应用本文方法对不同地网参数下接地电阻值进行了计算，通过比较得出了影响地网接地电阻值的主要因素和次要因素，提出了减少接地电阻的捷径。

３．讨论了数值计算程序的编写。在理论分析的基础上，应用面向对象的思想对变电站地网接地电阻的数值计算程序结构进行了分析，并在中文Ｗｉｎｄｏｗｓ９５环境下，采用ＶＢ５．０和Ｂｃ５．０开发平台完成计算软件的编写。

４．在探讨变电站地网接地电阻的测量方面，本文从测量原理出发，分析产生预４量误差的主要原因——布极误差和干扰误差，然后分别采用不同的方法来减小和消除这两种误差。针对测量时由于辅助电压极和电流极位置不同而产生的布极误差，分析其产生的机理，提出在均匀土壤和双层土壤中测量地网接地电阻各种布极方式下的最小布极误差的位置，也讨论了偏离最优测量布极点时可能产生的布极误差。针对干扰误差的消除，用倒相法可以减小变电站土壤中的干扰电流产生的误差。对于在常用测量方法中，由于电压极引线和电流极引线平行而产生的互感电压干扰。本文提出了一种行之有效的方法来予以减小。

６

第二章接地电阻数值计算的理论基础

２．１概述

在电力系统中．为了工作和安全的需要，常将电力系统及其电气设备的某些部分与大地相连接，这就是接地。任何接地电极都存在有接地电阻。接地电阻是电流，经接地电极流入大地时，接地电极的电位矿与，的比值，它包括接地体本身的电阻、接地导线的电阻、接地体和地之间的接触电阻以及大地所呈现的电阻。其中，前三部分比后者要小的多，因而通常所指的接地电阻是后者。接地电阻的大小除和大地的结构、土壤的电阻率有关外，还和接地体的形状和几何尺寸有关。

变电站地网的接地电阻值通常是根据工作接地的要求来决定的，因此在计算和测量接地电阻时，指的都是工频接地电阻。当工频电流流入接地网时，电流在大地中的流动可近似认为是一个恒定电流场㈦。而恒定电流场和静电场相似，所以可以应用静电比拟法来求解地网的接地电阻。

由于地网电流场和所对应的静电场都是无限域场，其场量之间对应的积分方程较适合应用离散场源的矩量法来求解，并且通过离散场源的方法可以降低维数，使单元数目大大减少，这一点对日益增大的变电站地网显得很有实际意义。

本章主要总结了静电比拟法和矩量法的基本原理，以及它们在变电站地网接地电阻数值计算中的应用，推导出一些接地电阻的基本计算公式。

２．２静电比拟法与镜象原理

２．２．１静电比拟法

静电场是电磁现象的一种特殊情况。在这种场中，产生场的电荷相对于观察者来说是静止不动的。因而用来描述场的所有场量都不随时间变化，它们只是空间坐标的函数。此时，对于一个没有电荷分布区域内的静电场。表征其场特性的方程为：

７

，一。—』堡墼垄耋璧型耋型鎏——————一

Ｖ×Ｅ＝Ｏ

Ｖ．Ｄ＝Ｏ

Ｄ＝西（２一１）

Ｖ２口＝Ｏ

ｑ２ｐ’ｄｓ

式中，Ｅ为静电场的电场强度．Ｄ为电位移，ｓ为介质的介电常数，妒为电位，ｇ为闭合面Ｓ所包围的全部电荷。

当导电媒质通过恒定电流时，由于动态平衡的电荷分布不随时间变化，因此描述电场的各场量也不随时间变化，它只是空间坐标函数。那么，表征一个电源以外动态媒质内的恒定电流场特性的方程为：

Ｖ×Ｅ＝０

Ｖ?正＝Ｏ

占。＝ｒＥ（２－２）

Ｖ２口＝０

Ｉ＝上８０?西

式中，Ｅ为恒定电流场的电场强度，皖为电流密度，，为媒质的电导率，驴为电位，Ｉ为闭合面Ｓ所包围的全部电流。

对表征两种场特性的方程进行分析，发现两者具有类似的形式。对照可得两种场之问对应场量，如表２一ｌ所示。

表２－１静电比拟法中的相似量

物理场畅量标量电位位梯度通量密度媒质常数通量静电场电位ｐ电场强度Ｅ电位移Ｄ介电常数ｓ电荷ｑ恒定电流场电位妒电场强度Ｅ电流密度正电导率，电流，

可见，如电位移Ｄ与电流密度乏分别在电介质中和导电媒质中处于相同的边界下。则均匀介质内的静电场和均匀导电媒质内的恒定电流场应有相同的电场图，即两者等位面的分布一致，且前者的Ｄ线与后者的乏的分布一致。如果两种场中的媒质都不均匀，各由几种对应媒质组成。此时假设静电场中处于任意某

第二章接地电阻数值计算的理论基础

层分界面的的介电常数分别为蜀和岛，对应恒定电流场中的导电率为＾和Ｙ，，当两者边界条件仍相似且两者在分界面上的折射情况一致，即满足条件：

旦：丛（２－３）

岛ｙ２

则两种场的上述关系仍然成立。

对于电介质内的静电场和导电媒质内的恒定电流场，若两种场内的电极形状、尺寸、相互位置、相应电极间的电压都相同或相似，则两种场必有相同或相似的特性。根据两种场相似的原理，在一定条件下，就可以把一种场的计算或实验所得的结果，推广到应用于另一种场，这种方法通常称为静电比拟法婶】。

因此，我们可以在许多计算导电媒质内恒定电流场的场合．利用相应静电场的计算方法和结果。本文中对变电站接地电阻进行计算就是应用此原理。

由于导电媒质内恒定电流场与电介质中静电场具有的相似性，电流场中电导Ｇ的计算和静电场中电容Ｃ的计算也是相似的。

可见，在相同的边界条件下，若介电常数ｓ等于电导率，，时，有电导Ｇ和电容Ｃ相等。所以，通过求解对应静电场中的电容可以得出地网散流所形成电流场的接地电阻值。当媒质不均匀时，只要对应分层面条件和边界条件都成立，结论也成立。

２．２．２镜象原理

在静电场中，由于介质的不均匀问题．往往求解场量的计算较为复杂，利用镜象法可以较方便地解决某些静电场问题，使计算得到一定程度的简化。

镜象法把实际上不均匀的介质看成均匀介质，对所研究的区域，用闭合边界外虚设的较简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。根据场的唯一性定理，只要虚设的电荷与边界内的实际电荷一起所产生的场能满足给定的边界条件，这个结果就是正确的。虚设的电荷被称为镜象电荷，通常它的

９

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大小和介质的分布有关。

设介电常数分别为矗和＆的两种介质的分界面是一无限大平面。若在第一种介质（介电常数为蜀）中距分界面为ｈ处置一点电荷ｑ，对应图２－１所示。由于在分界面的两边介质中的介电常数不同．该点电荷在媒质中所形成的电场与单一均匀介质中形成的点电荷电场有所不同。在计算上半空间（Ｅｔ中）的场时，可用图２＿２所示均匀介质蜀中两个点电荷来计算，其中镜象电荷设为吼＝厅．ｑ，它位于交界面的另一侧，离开交界面距离为ｈ。在计算下半空间（晶中）的场时，则可用图。２－３所示均匀介质Ｂ中一个镜象点电荷ｑ，＝ｋ２ｑ来计算，它处于原有电荷口的位置。ｑ：：ｋ：ｇ

ｆｈ气ｌ岛图２－１实际布置图ＸｆＹｈ

毛

上Ｔ

ｑｈ

Ｌ’ｑＩ＝ｋ１

图２－２计算介质￡中电场的

参考用图Ｔｈ毛Ｉ￡、

－

Ｘ图２－３计算介质岛中电场的参考用图

ｋｌ和后，的值由边界条件来决定㈤．其解为：

ｋ．：盟’

目Ｉ岛（ｚ一５）２￡…７

ｋ一＝———ｏ‘岛＋ｅ－２

如果ｑ＝岛，即为单一均匀介质的情况下，ｋ。＝Ｏ，ｋ：＝１，此时没有镜象电荷的存在：而如果毛＝０，则后，＝１，ｋ：＝０，此时计算介质ｑ中的电场时镜象电荷大小等于点电荷。

因为线电荷可以看成由无限多个连续分布的点电荷组成，所以利用迭加原理，镜象法同样可用来解决线电荷问题。１０

，。————墼塞型些墼堕塑Ｉ塑塑墼坠————一２．３接地电阻计算原理

变电站地网Ｇ的接地电阻‘∞为：

心＝等（２—６）其中，吆为接地网的电位，并规定无穷远处的电位为零；毛为流经接地网的泄漏电流，它分流于地网的各部分导体，并由此以电流场的形式向四周大地无穷远的地方扩散。，

显然，我们可以依据静电比拟法，通过求解与此电流场相对应的静电场的场量，从而得出地网电流场的场量。

首先，考虑大地电阻率为单一均匀的情况。设大地电阻率为Ｐ，地表上面为充满大气的空间，且可以近似认为大气是绝缘的，其电阻率为无穷大。此时与，。经地网所形成的电流场相对应的静电场，一半空间的介电常数为ｓ＝ｌ／ｐ，另一半空间的介电常数近似为０。静电场中地网导体的电容的倒数必然等于电流场中地网的接地电阻。特别是两种场中地网导体的电位相等时，地网所带有的电荷ｇ的量等于电流厶的值。

应用镜象原理，当源电荷ｑ位于介电常数为￡＝１加的半无穷空间介质中，计算该介质场中的场量时，可以采用源电荷ｇ和镜象电荷ｇｌ共同作用的介电常数为ｇ＝咖均匀介质场来等效。由式（２—５）可知，该镜象电荷ｑ。的大小与源电荷口相等。

由于地网都是由细长的金属导体焊接而成的，导体的长度要远大于导体的半径，因而可以近似认为导体上电荷为线电荷。假设导体上任一点的线电荷密度为Ａ（，），则地网导体表面任一点尸的电位为：

％＝去正（等＋等矽（２－ｔ）式中，坼为积分点到观察点Ｐ的距离，群则为积分点关于大地表面的镜象点到观察点Ｐ的距离，上为地网的总长度。

考虑到导体是一个等位面，所以在导体表面的各点的电位均为定值。利用此条件通过数值计算方法可以求解出方程（２－７），得出导体的线电荷分布函数Ａ（，），从而得到导体的电荷量和电容，对应可求出地网的接地电阻值和其它接地参数。

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然而，对于大多数的地网而言，大地电阻率是不均匀的。此时，一般可用分层均匀的土壤结构来近似。同样，用具有对应分层均匀介质的静电场来比拟电流场，每层介质的介电常数为对应分层土壤的电阻率的倒数，这样两种场边界条件和分层条件均相似，则静电场中地网导体的电容的倒数也等于电流场中地网的接地电阻。

计算地网所在土壤中的电流场和对应的静电场时，也用镜象原理将一半土壤一半大气介质的静电场转化为全为土壤介质的静电场。镜象电荷吼的大小和位置与均匀土壤中的相同，只不过不同土壤分界面也有对应不同土壤分界面镜象，且两者分界面条件一致。对应的镜象关系计算用图如２～４所示。

大气，，州／Ｉ／／／ｐ，。／／／／／／／／／ｈ曷ｌ岛土壤ｇｌ＝ｇ

—ｚ“

ｌ岛瓦ｌ

ｈ

＇Ｌ毛毛ｔ

ｈ．

蜀岛—土—一

ｇ

｝岛岛

（ａ）（ｂ）

图２－４ａ）多层土壤的实际电场ｂ）计算土壤中所存在电场的参考用图由于在电场中存在多块不同的介质，可将不同介质的影响用分界面上出现的束缚电荷予以等效。此时，可将不同介质的问题看成介电常数为晶的均质问题，但是在原有介质分界面上存在着等效电荷分布，地网导体上的原有电荷作用也用等效电荷代替。

假设导体上任一点的线电荷密度为五（０，所在的介质的介电常数为占ｆ，），对应介电常数为岛时等效线电荷密度为Ａ（，）’＝Ａ（ｆ）岛／６（ｆ）；原有介质分界面上存在着等效电荷为盯（回。则静电场中地网导体表面任一点的电位Ｐ为：

矿去ｌ￡ｃ等＋等肌上畔＋等）嬲ｆ浯ｓ，式中，廓为积分点到观察点Ｐ的距离，群则为积分点对于大地表面的镜象点到观察点ｐ的距离，Ｓ为不同土壤结构的分层面。

第二章接地电阻数值计算的理论基础

同样可以用数值计算方法求出导体的等效线电荷分布函数五（｜『）’和真实线电荷分布函数ａ（／），从而相应得到地网的接地电阻值。

２．４矩量法及其在介质中的应用

２．４．１电磁场的数值计算

工程上提出的电磁场问题通常可归结为偏微分方程的定解问题、积分方程问题和变分问题。由于实际工程电磁场问题的复杂性，致使应用于电磁场计算的各种解析方法，已经无法适应广泛工程问题分析求解的需要。这样，随着计算机技术的飞速发展，属于近似计算范畴的电磁场数值计算方法得到了长足的发展。许多工程计算问题，虽然边界条件复杂、介质特性多样和不均匀，但可用数值方法从数学模型获得数值解。尽管只在一些离散点上给出近似数值，在工程实用中却令人满意。

电磁场数值计算就是根据电磁场的基本特性，首先建立逼近实际工程电磁场问题的连续型的数学模型，然后采用相应的数值计算方法，经离散化处理，把连续型模型转化为等价的离散型数学模型，即由离散数值构成的联立代数方程组，应用有效的代数方程组解法，计算出待求离散数学模型的数值解。最后将通常所得的电磁场的位函数数值解再经过各种后处理过程．得出场域中各类电磁参数值，以达到理论分析、工程判断和优化设计等目的∽叫。

目前在电磁场数值分析中常用的数值计算方法有有限元法、模拟电荷法、边界元法和矩量法等。

有限元法将区域分割为有限大小的小区域（有限单元），根据变分原理把微分方程变换成变分方程求解。在处理问题时，既可以较好地模拟复杂形状的计算区域，又可以比较自由地配黄节点，同时计算各环节容易标准化，易得到通用程序，适用具有复杂边界形状和边界条件及含有复杂媒质的定解问题。但初始数据的准备工作繁杂，对无限域问题难以求解。

模拟电荷法将电极表面连续分布的自由电荷或介质分界面上连续分布的束缚电荷用一组离散化的模拟电荷来代替。该方法应用较为简洁，由于模拟电荷的多样性，可以方便处理形态复杂的电极与场结构的电场分布，但在寻求最佳的模拟电荷和位置时，需要较多地依靠实践经验。

边界元法离散计算区域的边界，将边界积分方程离散成代数方程。该方法

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可以降ｆ氐问题求解的空间维数，大大减少单元数，减少数据输入量，并经验较高的计算精度，既能处理有限区域问题又能处理无限域问题。但离散得出的系数矩阵为非对称的满阵，不易处理多种媒质共存的问题。

矩量法利用方程余量的加权积分为零，以基函数的线性组合代替未知函数来求解。该方法求解过程简单，步骤统一，可用来求解无限域的问题，且通过权函数和基函数的不同选择，可以改进算法，提高计算精度。但有时权函数和基函数的选择不易把握，计算工作难度较大。

各种数值方法各有其优缺点和适用范围。本文采用矩量法计算地网通过工频电流所形成的电流场和对应的静电场，正是考虑其特有的优点。

２．４．２矩量法

矩量法是近年来在电磁场计算方面广泛应用的一种方法。矩量法构造的数学基础为加权余量法，以下从该数学基础出发来讨论矩量法的基本原理。２．４，２．１矩量法的基本原理

对于算子方程‘删

Ｌｕ＝ｇ”、ｇ∈Ｖ（２－９）

其中：上是线性算子，可以是微分或积分形式；”是待求的未知函数；ｇ是方程的非齐次项。对于未知函数甜，可令它在三的定义域内，由一组有限个线性无关函数”，（ｂｌ，２，…，力）的组合来作为近似解：

Ⅳ

荇＝∑口』虬（２一ｌｏ）

ｉ－ｌ

式中，口。是系数，甜ｉ是基函数，可以为整域基函数．也可以为分域基函数。对于近似解万，算子方程的余量为：

尺（厅）＝上订一ｇ（２－１１）矩量法的目标函数是：选取一个适当的权函数集｛纠，令余量Ｒ（鳓的加权积分为零，即

Ｌ％（肺一ｇ）ｄｖ＝０

上式系由刀个方程构成的方程组，它等价于人为地强制近似解疗，使其因不能精确地满足算子方程而导致的误差在某种平均的含义上等于零。对基于加权余

１４

第二章接地电阻数值计算的理论基础

量的式（２－１２），进行移项处理，便得：

ｊ，％￡研２Ｊ，啊∥

用内积表达式记为：

＜％，上茹＞＝（嘭，ｇ）（／＝１，２，…，打）（２—１３）

式（２—１３）即为矩量法的基本方程。在此方程中将近似解￣Ｉ拘表达式代入，可展开成含有”个未知数ｎ。的”个方程。用矩阵形式表示，则有：

【目｛ａ）＝（ｂ）（２—１４）

式中，系数矩阵为：

（啊，ＬｕＩ）（形，工“：）…（以，Ｌｕ。）

（％，Ｌｕ，＞（取，Ｌｕ：＞…（％，Ｌｕ。＞

ｉｉｉｊ

（以，Ｌｕｌ）（以，Ｌｕ：）…（Ｋ，Ｌｕ。）

其元素‘＝（％，Ｌｕ，）未知列向量和右端列向量分别为：

ｆ（％，暑）１

和㈣：｛ｃＩ，ｇ斗

【＜一，ｇ）Ｊ

其中向量｛６）的元素６，＝（彬，ｇ）。

可见，在基函数｛”）构造的基础上，进一步选定权函数｛明，就可以计算出【ｆ】和（６｝中的各个元素，并由此解出函数具体的近似解打。选择适当的基函数，能绽未知函数更好的接近精确解甜，否则只有增加所构造的基函数的项数磨，才能保证近似解收敛于精确解?不同类型的权函数的选择，将决定算子方程的余量在不同的意义下取零值，从而得到各种不同计算模式的矩量法。

２，４２．２基函数的构遣

近似解的收敛性、稳定性和所需的计算量均和所取的基函数有关。取决于不同的具体问题的特征，可以选取不同类型的基函数。总体说来，基匾数可分为整域基函数和分域基函数两大类。

ｔ－整域基：系指在算子三的定义域内都有定义的基函数，通常有傅里叶级数Ｚｆ０＝ｃｏｓｉｘ；马克劳林级数Ｐ：勒让特多项式只（０等。