福建省永春县汤城中学2014-2015学年八年级数学上学期竞赛考试试题
福建省永春县汤城中学2014-2015学年八年级数学上学期竞赛
考试试题
3.
下列分解因式正确的是（ ）
A ．224(1)a a -=+
B ．2622(3)a b a b -+=-
C ． 32(1)a a a a -+=-+
D ．2221(1)a a a -+=- 4.下列运算错误的是( )
A. 326()a a -=-
B. 2a a a -=-
C. 6
3
3
a a a ÷=
D. 222()2a b a ab b +=++
5.下列命题正确的是( )
A. 三个角对应相等的两个三角形全等
B. 三边对应相等的两个三角形全等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 周长相等的两个三角形全等
6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图所示，则能说明AOC BOC ∠=∠ 的依据是( )
A ．ASA
B ． SSS
C ．AAS
D ．角平分线上的点到角两边的距离相等
7.若 2
()4()()8a c a b b c ----=，则c b a +-2的值为（ ）
A.±
B. 3±
C. 0
D. 8
二、填空题（每小题4分，共40分）：
8. 计算：3= ．
9. 写出两个不同的无理数，使这两个无理数的积为有理数，那么
这两个无理数可以是和．
10.如果22
5m n -=，且6m n +=-，那么m n -= ． 11. 计算：234(2)a b a ÷= ．
12. 命题：“如果两个角互余，那么这两个角的和为90?”的逆命题为 ．
13.如图，已知在ABC ?中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥，
DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ，BE CF =，则图中有 对
全等三角形．
14.若0136422=++-+y x y x 则=y
x __________．
15..如图，在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B ，∠C 越来越大，若∠A 减少α度，∠B 增加β度，∠C 增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．
16.如图，已知ABC ?中，45ABC ∠=?，F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为 ．
17.如图，锐角△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ，小菁依下列方法作图：
① 作∠A 的角平分线交BC 于D 点．
② 作AD 的中垂线交AC 于E 点，交AD 于F 点． ③ 连接DE ．
(1)根据所画的图形，下列正确的是（填序号） ；
A ．DE ⊥AC
B ．DE ∥AB
C ．C
D ＝D
E D ．CD ＝BD
(2)若82BAC ∠=?，则FED ∠=__________．
三、解答题（共89分）：
18.（92014
12??- ?
??
19. (9分) 计算：()
42322
335a b a b a b ab a b ÷+?--
20. (9分)已知2
2830x x --=，求代数式()()()2
223x x y x y y --+--的值.
23.（9分）如图，已知CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，且CD ，BE 相交于点O ．
求证：(1)当12∠=∠时，OB OC =；
(2)当OB OC =时，12∠=∠．
24.（9分）如图，在四边形ABCD 中，AB BC =，BF 是ABC ∠的平分线， AF ∥DC ，连接AC 、CF ， 求证：（1）FCB FAB ∠=∠
（2）CA 是DCF ∠的平分线．
（密 封 线 范 围 不 准 答 题，答 题 一 律 不 给 分）
25.（13分）如图，把一张边长为a 厘米的正方形纸片四角均剪去一个边长为 b (b <2
a )厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．
（1）①用含a 、b 的代数式表示纸片（阴影部分）的面积；
②当 6.4a =， 1.8b =时，利用因式分解计算折合后纸盒的表面积； （2）当28a b +=，2ab =时,求出纸盒的底面积．
26.（13分）已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，ACM ?，CBN ?都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F . (1)求证：AN BM =；
(2)求证：CEF ?为等边三角形；
(3)将ACM ?绕点C 按逆时针方向旋转90?，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.
二、填空题（每小题4分，共40分）
8．5- 9．不唯一 11 10．56
- 11．23
8a b 12．如果两个角的和为90?，那么这两个角互余. 13． 3 14．1
8
15．α=β+γ
16．4 17．⑴ B ⑵ 49? 三、解答题（共89分）
∴(
)
2
927343322
x x -+=?
=……………………………………9分 21．解：BE ＝EC ，BE ⊥EC
证明：∵AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，∴AB ＝AD ＝CD . ∵∠EAD ＝∠EDA ＝45°，∴∠EAB ＝∠EDC ＝135°. 又∵EA ＝ED
∴△EAB ≌△EDC (SAS) ……………………………………………………5分 ∴∠AEB ＝∠DEC ，EB ＝EC .
∴∠BEC ＝∠AED ＝90°.∴BE ＝EC ，BE ⊥EC . ……………………9分 22．解：由2
1a a =+，得：
5225252(1)(1)52a a a a a a a a a a -+=??-+=++-+
2
(21)52a a a a =++-+ …………………………………5分
(121)52(32)52a a a a a a a =+++-+=+-+
2
3323(1)325a a a a =-+=+-+=………………………9分
23．证明：(1)∵∠1＝∠2，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴OE ＝OD .
∵∠3＝∠4，∠CEO ＝∠BDO ＝90°， ∴△OEC ≌△ODB （AAS ）
∴OB ＝OC . ………………………………………………………………４分
(2)∵∠3＝∠4，∠CEO ＝∠BDO ＝90°，OB ＝OC ， ∴△OEC ≌△ODB (AAS) ∴OE ＝OD .
∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴△OEA ≌△ODA (HL)
∴∠1＝∠2. ………………………………………………………………９分 24．解：（1）∵BF 是ABC ∠的平分线，∴ABF FBC ∠=∠
又 AB BC = BF BF =∴ABF ?≌CBF ?(SAS)
∴FCB FAB ∠=∠． ………………………………………5分 （2）∵ABF ?≌CBF ? ∴FA FC = ∴ACF CAF ∠=∠ ∵AF ∥DC ∴DCA CAF ∠=∠
∴ACF DCA ∠=∠ ∴CA 是DCF ∠的平分线……………………９分 25．解：（1）①（2
2
4b a -）2
cm .…………………………………（4分）
② 折合后纸盒的表面积=)2)(2(422b a b a b a -+=-.…………（6分） 当a=6.4，b=1.8时，
原式=(6.4+2×1.8)(6.4-2×1.8)=28 2
cm …………………………（8分）
（注：没有因式分解得出正确结果，扣1分）
(2) 纸盒的底面积=2)2(b （a -……………………………………（10分） 当a+2b=8，ab=2时,
222(2)44a b a ab b -=-+22448a ab b ab =++-
2(2)8a b ab =+-288248=-?=………………………（13分）
初中数学竞赛教程
七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
2016年大梦杯福建初中数学竞赛试题参考答案
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(13)， B ．(33)， C ．(33)， D ．(31)， 【答案】 B 【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。 依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=?。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。 因此，点C 的坐标为(33)， 。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A 【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。 []22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 【答案】 D 【解答】方程 22240224 x x x a x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。 6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。 若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。 若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标 准 The latest revision on November 22, 2020 2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为 AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m =（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1 2 BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则 AE AC =（ ） A ．2 5 B ．3 5 C ． 3 7 D ． 47 4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ） A ．23 B ．22 C ．4 D ．31+ 5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ， 有（ ） H O B C A （第4题图） （第2题图） E G B D （第3题图） 2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛 一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．若20 10a b b c ==，，则 a b b c ++的值为 ______________. 2．若实数a ，b 满足21 202 a a b b -++=，则a 的取值范围是_________________. 3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =BC =4-CD ＝AD 边的长为________________. 4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -?--? ????=+-- ????? ??????，（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于____________. 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是 ______________. 6．已知非零实数a ，b 满足 24242a b a -++=，则a b +等于_________. 7．菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于____________. 8．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －11 的值等于 ． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ． 10．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AE AD = ． 11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 12．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则 AH AB 的值为 ． 13．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ． 14．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ． 二、解答题（共3题，每题20分，共60分） 2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 01．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32 442m m m ++-的值为（ A ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 【解答】依题意，2 1616(31)0m m D =++=，∴2 310 m m ++=，∴231m m =--，2 31m m +=-。 ∴3 2 2 2 442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。 02．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为()m n m n <、 。原点O 为AD 的中点，A D E 、、在y 轴上。若二次函数2 y ax =的图像经过C F 、 两点，则n m =（ B ） A 1 B 1 C ．1 D ．1 【解答】依题意，点C 的坐标为()2m m ，，点F 的坐标为()2 m n n -+，。 由二次函数2 y ax =的图像经过C F 、两点得22 2()2 m am m n a n ì=??í?+=-??， 消去a 得22 20n mn m --=。 ∴2210n n m m 骣-?=琪桫 ，解得1n m =（舍负根）。∴ n m =03．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上且12BD BC =，直线 A ．25 B ．35 C ．37 D ．4 7 （ D ） F B D F B 【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵G 为ABC △的重心且12BD BC = ，∴F 为BC 中点且21 AG GF =，DB BF FC ==。 过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，2 1 AE AG EM GF ==。 设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =，∴7AC k =，44 77AE k AC k ==。 另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。∵G 为ABC △的重心且1 2 BD BC =， ∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==，∴23FD DC =，2 1 AG GF =。 在AFC △中，由梅涅劳斯定理得1FD CE AG DC EA GF 鬃=，22131CE EA 鬃=，34CE EA =，∴4 7 AE AC =。 （第03题答题图2） （第03题答题图1） （第03题图） 2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设a =1 a a + 的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B 【解答】由2226a =+-=，知a = 于是1 a a + =2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。 因此，1 a a + 的整数部分为2。 （注： a ==== 2．方程2 2( )32 x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2 2( )32 x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。 即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。 解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。 3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ） A ．3 B ． C ．± D ．【答案】 D 【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22 1212 ()22 t t t t ++，。 （第3题） 由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22 1212 (2)22t t t t ++-，。 由点B 在抛物线2 y x =上，知22 212122()22 t t t t ++-=。 整理，得2222 121122 2282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。 结合21t t > ，得21t t -= 4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B ∠的值为（ ） A ．37 B ． C ．314 D 【答案】 B 【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。 则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。 ∴ EK EB =。 又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。 ∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。 ∴ BC === ∴ cos 7 BC ACB AC ∠= = 。 或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得， 1BD CF EA DC FE AB ??=。 由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。 又AE EF =，因此，3AB CF ==。 结合7AC =，90ABC ∠=? ，利用勾股定理得，BC = 所以，cos 7 BC ACB AC ∠==。 D B A E （第4题） K 1 2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则 m n =（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小 A B C D I 2 值为m ，则M m +=（ ） A ．403 B ．64 15 C ．13615 D ．315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。 7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若 25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=L ，则n 的最大值是 。 9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O ⊙于E 点，若 OA CE =，则AE AB = 。 E O A B C F B C A D E 第九讲托勒密（Ptolemy）定理 一、知识要点： 1、托勒密定理：圆内接凸四边形两组对边乘积之和等于两条对角线之积，即已知，如图， 四边形ABCD为圆内接凸四边形，则有 AB·CD+AD·BC =A C·BD A D B C 托勒密定理的逆定理：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线之积，那么这个 四边形是圆内接四边形。 即：如图，若AB·CD+AD·BC =A C·BD，则A、B、C、D四点共圆。 A D B C 托勒密定理的推广：在任意凸四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC ≥A C·BD，当且仅 当ABCD四点共圆时取等号。 D A B C 二、要点分析： 托勒密定理可以用于线段长的转换，其逆定理可用于证明四点共圆。 三、 例题讲解： 例1、设ABCD 为圆内接正方形，P 为弧DC 上的一点，求证：PA(PA+PC)=PB(PB+PD) P D C A B 例2、如图，设P 、Q 为平行四边形ABCD 的边AB 、AD 上的两点，APQ ?的外接圆交 对角线AC 于R ，求证：A P ·AB+AQ ·AD=AR ·RC D A B C Q P R 例3、已知ABC ?中，C B ∠=∠2,求证：AC 2=AB 2+AB ·BC A B C 例4、如图所示，已知两同心圆O,四边形ABCD 内接于内圆，AB 、BC 、CD 、DA 的延 长线交外圆于A 1、B 1、C 1、D 1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍，求证：四边形A 1B 1C 1D 1的周长≥四边形ABCD 的周长的2倍，并确定等号成立的条件。 D 1 例5、已知ABC ?中，AB>AC,A ∠的一个外角平分线交ABC ?的外接圆于点E,过E 作EF ⊥AB,垂足为F （如图），求证：2AF=AB-AC A B C E F 2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2019年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 【答案】 B 【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。 依题意，CA OA ==260CAO BAO ∠=∠=?。 所以，3CD =，AD =OD = 因此，点C 的坐标为3)。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A 【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。 []22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 【答案】 D 【解答】方程 22240224 x x x a x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。 6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。 若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。 若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。 第二十五届全国中学生物理竞赛(江西赛区)获奖名单 一等奖（39名） 程宇清江西师范大学附属中学徐昊南昌市第二中学 陈汉斯南昌市第二中学 邹权高安市第二中学 章尹圣原鹰潭市第一中学 黄玉鹰潭市第一中学 邓晖洋江西师范大学附属中学欧阳昆江西省景德镇二中 邓瑞琛新干中学 陈睿南昌市第二中学 张育铭江西师范大学附属中学田寒南昌市第二中学 潘楚中高二上饶市第二中学 刘洋江西省景德镇二中 郑帆南昌市第二中学 董哲炜南昌市第二中学 李文新景德镇昌江一中 潘登高二余江县第一中学 陈少华高三鹰潭市第一中学 陈超逸贵溪市第一中学金鹏高安中学 陈庆鹏新余市第四中学 卢文博景德镇一中 邓尧江西师范大学附属中学袁逸飞新余市第一中学 徐翔南昌市第二中学 刘淘高安中学 饶帆弋阳县第一中学 陈宇阳新余市第一中学 贵溪市第一中学 程扶诚鹰潭市第一中学 凌运豪新余市第一中学 程俊豪余江县第一中学 殷士辉赣州市第一中学 李皈颖大余中学 郭品垚吉安市白鹭洲中学 刘炽成上犹中学 李思达南昌市第十中学 肖言佳赣州市第三中学 二等奖（133名） 胡嘉骅余江县第一中学 李成高安中学 丁俊文瑞金市第一中学 曹达明江西省景德镇一中 吴兵海江西省余江县第一中学胡超江西省新余市第一中学杨青君江西省景德镇二中 丁琦贵溪市第一中学 游弋南昌市第二中学 揭建文上饶县清源中学涂利捷南昌市第十中学 潘悟君江西师范大学附属中学吴芳荣余江县第一中学 张政鹰潭市第一中学 吴文超新干中学 何佳敏金溪县第一中学 陈凯祥江西省景德镇二中 涂坚江西省南昌县莲塘一中肖国炜泰和中学 饶小龙赣州市第三中学 万维明九江市同文中学 夏阳余江县第一中学 刘斯宇江西省宜春中学 易辉江西省宜春中学 张大峰江西省临川第一中学童浩江西省景德镇二中 童一天南昌市第十中学 万基平乐安县第二中学 周义江西师范大学附属中学叶腾琪新余市第一中学 巴伟民景德镇二中 熊文涛高安市第二中学 裘鸿瑞南昌市第十中学 彭俊英鹰潭市第一中学 王志鹏景德镇一中 龙翔萍乡市第三中学 龚书恒江西师范大学附属中学郭文祥南昌市第三中学 李秋明鹰潭市第一中学 林立荣南康中学 黄少帅高安市第二中学 龚杰伟丰城中学 张泉新余市新钢中学 吴殿元高安中学 方韬赣州市第三中学 吴琨赣州市第三中学 陈矿新余市第四中学 单玉璋景德镇二中 戴文彬吉水中学 黄赞永九江第一中学 颜以诺萍乡市湘东中学 邬泽鹏南昌市第二中学 易舜智宜春中学 张琦吉安市白鹭洲中学 汪洋南昌市第十中学 袁之博江西师范大学附属中学朱盛江西师范大学附属中学李汉冲宜春中学 胡志宏江西省高安中学 许贇吉水中学 贵溪市第一中学 殷军军新干中学 黄志善乐安县第二中学 闵红嘉九江第一中学 祝凯华鹰潭市第一中学 傅博新余市第一中学 聂诚标丰城中学 董泽政婺源县天佑中学 胡宇南昌市第十中学 兰凌轩江西师范大学附属中学潘明余江县第一中学 李婧婷余江县第一中学 叶成方石城中学 廖懿吉水中学 张兴捷吉安市白鹭洲中学 廖伟杰玉山县第一中学 姚招泉新干中学 姚懿芸上饶市第二中学 刘洋南昌市第十中学 黄涛黎川县第一中学 金春良余江县第一中学 李莉宜春中学 卢欣杰宜春中学 庄三锋婺源县天佑中学 郭鸣阳瑞金市第一中学 朱世初江西师范大学附属中学陈志坚余江县第一中学 邱昌昊鹰潭市第一中学 黄琰奕鹰潭市第一中学 俞耀文鹰潭市第一中学 杨凯强新余市第一中学 余圣伟景德镇二中 初中数学竞赛活动方案 【篇一：初中数学竞赛方案】 2014年11月九年级数学竞赛通知 为增强我校九年级学生的数学学习兴趣，培养学生竞争意识，也为 了履行本学期初的教务工作计划，九年级数学组特定于11月19日 下午第二节课举行一次数学竞赛，具体竞赛方案如下： 一、竞赛组织教师： 九年级全体数学教师 二、参赛人员： 九年级各数学教师或班主任以从班上抽选或组织学生自愿报名的形 式每班至少抽取5名学生参加竞赛。 三、奖项设置： 年级组设置一等奖3名，二等奖6名，三等奖9名，组织奖每班一 名 四、竞赛时间：2014年11月19日（星期三）下午第二节课。 五、考场安排： 九年级组考场设置在提优教室和提高教室，实行单人单桌考试制度；监考教师务必从严监考，杜绝舞弊现象。改卷教师务必做到公正、 公平。 六、11月20日下午7点前各评卷教师将竞赛试卷交于教务处，请 教务处的同志 安排发奖事项。 城头初级中学九年级数学组 2014年9月20日 九年级数学竞赛简报 --------记城头初中九年级数学兴趣小组数学竞赛通过兴趣小组的学习，提高同学们的学习兴趣，让更多的学生能有机会进行再学习， 通过各种活动，让学生真正体会数学来源于生活。使参加兴趣小组 的同学通过学习，把他们的学习意识变被动为主动。在兴趣小组中，拓展数学的知识，让更多同学在数学知识的学习过程中丰富其他各 科的功底，使他们的知识面得到很大的拓展。 九年级数学组定于11月19日下午第二节进行的数学竞赛，成绩已 经出结果，根据从高分到低分的排序，评出一等奖3名，二等奖6名，三等奖9名，组织奖每班一名。 数学竞赛获奖名单 一等奖 陈一澜姜筱雨李善武 二等奖 何岩王迪妮赵灵王保贵张舒琪于姝丽 三等奖 王乐杨颜榕顾袁良邵嘉琪邓美琪赵丹王晨王端军周雅萱 2014年11月25日 【篇二：初中数学竞赛方案】 云贵中学2011-2012学年度第一学期期中 数学知识竞赛方案 一、活动目的： 为开拓学生视野，促进同学们自主扩大学习范围，并在其提高自身 文化素养的同时发掘其多方面才华，使其个人能力得到全面提高， 从而全面提高学生的学习积极性。特开展本次数学知识竞赛活动。 本次竞赛旨在全心全意为同学服务，重在进一步丰富云贵中学校园 文化活动！ 二、活动时间：2011年11月24日（星期四）下午3：45分--- 5:15分三、活动地点：云贵中学物理实验室、生物实验室、多媒体 教室。 四、活动形式：以个人为单位（包括初一、初二、初三学生），采 取分级笔试竞赛方式。五、活动内容： （一）本次竞赛试卷由数学组教师自行出，但是上本级的教师不能 出本级试卷（即上七年级的教师不能出七年级的竞赛试卷、上八年 级的教师不能出八年级的竞赛试卷、上九年级的教师不能出九年级 的竞赛试卷）。按照这个原则，特分工如下： 出题教师必须在11月20日前将竞赛样卷交到教导主任胡彬老师处。越期未交的，本级竞赛取消，按规定对出题教师作出处罚。 （二）本次竞赛共分为三个组：即“七年级组”、“八年级组”、“九年 级组”，具体安徘如下： 1、七年级组： 参赛人数：七（1）、七（2）每班5人，七（3）--七(7)每班3人，共计25人。竞赛地点：生物实验室 2、八年级组： 参赛人数：八（1）、八（2）班每班5人，八（3）、八（4）每班 3人，共计16人。 2002年全国中学生英语能力竞赛（江西赛区）获奖名单 初中组 一等奖（30名） 刘欢鹰潭市二中彭麟茜南昌铁路一中 李晋南昌外国语学校龚婕南昌外国语学校杨哲玉山实验学校王春南昌市十中 袁俏南昌外国语学校彭翔宇南昌市豫章中学袁牧鹰潭市二中彭诗柳新余铁路中学 樊蓉南昌外国语学校程晓东上饶武口中学 肖雪南昌市八一学校徐滢南昌外国语学校周伊南昌外国语学校廖星南昌外国语学校肖雅娟赣州市七中于诗旻九江外国语学校李岱新余市四中熊欣雅南昌外国语学校陈梦婷南昌外国语学校赵修业南昌外国语学校陈晨南昌外国语学校朱迪南昌外国语学校刘捷南昌外国语学校王晟南昌铁路一中 邱恒南昌豫章中学蔡乔南昌外国语学校乔恂上饶市二中黄浩高安县六中 二等奖（63名） 叶睿南昌市十中蔡玉南昌市二十七中覃璇南昌市十中甘俊聪南昌市十四中 张如阳宜春中学李斯阳南昌大学附中 钟珑菲上犹二中雷沁芫南昌豫章中学 杨玉婷南昌实验中学干灵文南昌育新学校 黄烈超吉安市二中黄琰江西省农科院附中沈默南昌外国语学校吴一叶南昌外国语学校李铮山新余钢铁厂一中江瑶南昌外国语学校李行舟南昌市十中郭巍鹰潭市二中 刘阳加木吉安市白鹭洲中学马征南昌外国语学校蔡旻扬南昌市三中朱励纬上饶市四中 廖琼文赣州市三中段习羽吉安市一中 高师景德镇二中王迪九江市一中 周鹏洪都中学陈璐南昌外国语学校 陈灵杰南昌大学附中李尧南昌市二十八中 肖晓新余市三中余宇偲广丰县永丰中学 徐捷勋南昌外国语学校饶韵洁南昌外国语学校 俞欣滢南昌市二十八中胡蝶南昌市十中 董辰晨婺源中学刘睿娴吉安市一中 李伟吉安市白鹭洲中学黄未晞南昌豫章中学 樊雪南昌县莲塘三中徐雪芳上饶泉波中学 付晓智宜黄县一中付欣南昌市十中 周陆南昌大学附中汪宇佳南昌外国语学校 喻康然南昌外国语学校舒通南昌外国语学校 付有奇南昌外国语学校杨揄熹南昌市十中 俞悦尔婺源中学余亘靖安县三中 曹镠鹰潭市四中江婧贵溪冶炼厂中学 涂悦东乡铜矿中学邓逸凡南昌市十中 易川博南昌外国语学校吴诗祺南昌大学附中 董珂德兴铜矿中学刘玲娟广丰县永丰中学 王琦雯新余钢铁厂一中刘艺斌鹰潭市二中 刘昱贵溪冶炼厂中学 三等奖（100名） 张欣九江市同文中学罗希南昌外国语学校谢逸雄南昌外国语学校邓斯乔南昌市二十八中周路璐南昌市十中魏迟南昌 汪静波婺源中学陈拉明余江县一中 李可赣州市三中张至洁景德镇一中分校刘通南昌大学附中李帆上饶市二中 汪文灿上饶江湾中学温莉新余市三中 丁舒新余市四中占恺娇东乡县二中 郭京万安县二中孙玮明泰和县三中 段质宇万安县二中朱嘉蹊九江市十一中赵哲胤南昌外国语学校顾欣南昌外国语学校罗梦雨南昌市三中胡珍妮南昌大学附中赵明哲南昌外国语学校余瑾上饶江光中学熊静婷德兴铜矿中学袁斯乔分宜县二中 兰瑞高安县四中陈之曦赣州市一中 陈炜景德镇一中分校邹云龙南昌外国语学校杨柳青南昌市十中杨林婧南昌外国语学校徐蕾南昌实验中学于张颖弋阳志敏中学曾丹华德兴市二中王瑶靖安县三中 吴培宁崇仁县二中郭婧赣州市一中 罗勇军宁都县三中刘真真吉安泉江中学蒋月永丰恩江中学夏焕臻泰和县三中 龚杜娟景德镇五中吴邦限九江市一中 周广宇南昌市十中李晶南昌外国语学校 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 第10讲 不定方程（二） 一、知识点介绍 1、 勾股方程：222z y x =+ 这是一个相当特殊的三元二次不定方程，它有鲜明的几何意义，并应用广泛。 这里只讨论勾股方程的正整数解，由方程不难看出如果d y x =),(，则22z d ，从而 z d ，这样可在勾股方程两边约去2d ，所以我们只须讨论1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素，这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为勾股方程的本原解，也称为本原勾股数。下面给出勾股方程的全部本原解： 定理1：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2y 的全部正整数解),,(z y x 可表示为： 2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶 且1),(=b a 的任意整数。 2、 佩尔（Pell ）方程：122=-dy x ，其中+∈N d ,且不是完全平方数…………① 定理2：方程①有无穷多组正整数解，则①的全部正整数解由 +∈??? ????-++=-++=N n y d x y d x d y y d x y d x x n n n n n n ,])()[(21])()[(2111111111给出 通常称),(11y x 正整数解),(y x 中的最小解。 二、例题讲解 例1、解下列不定方程（1）、18777143=-y x ； （2）、2537107=+y x 例2、设z y x ,,是222z y x =+的正整数解， 证明：（1）、x 3，y 3至少有一个成立；（2）、x 5，y 5，z 5至少有一个成立。 例3、求出方程172 2=-y x 的所有正整数解。 初中数学竞赛知识点归纳 一、数的整除（一） 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。 如1001100－2＝98（能被7整除） 又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除 如1001100－1＝99（能11整除） 又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除） 二、倍数.约数 1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作： A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。 三、质数.合数 1正整数的一种分类： ２01６年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月１３日 9∶00－１1∶00 满分150分 一、选择题(共5小题，每小题7分,共3５分)。每道小题均给出了代号为A ，B ，C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分) １.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △,则点C 的坐标为( ) Ａ．(1 B.3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=,232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=( ) A ．18 B.12 C.9 D.6 ３．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根， 则符合条件的所有实数a 的值的总和为( ) A.6- B.30- C.32- D.38- 4.如图，在ABC △中，6AB =,3BC =,7CA =,I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ,则 m n =( ） A.32 B.43 Ｃ．53 D.74 5.已知x ，y 为实数,且满足2244x xy y -+=,记224u x xy y =++的最大值为M ,最小值为 m ,则M m +=（ ） Ａ.403 B.6415 Ｃ．13615 Ｄ.315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分) 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ， ,(23)B ，,若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点,则k 的取值范围为 。 A B C D I 2011年全国高中数学联赛江西赛区获奖名单 一等奖（46名） 姓名学校年级分数姓名学校年级分数杨皓江西师大附属中学249 吴艺翀江西省鹰潭市第一中学222 陈章鑫江西省临川第一中学高二187 颜亦威南昌大学附属中学186 桂政平江西省南昌市第二中学181 胡辰赣州市第三中学181 毛万里江西省鹰潭市第一中学160 刘志清江西省白鹭洲中学158 李璋嫒江西省鹰潭市第一中学157 卢杰刚江西省高安中学152 郑立维景德镇一中140 黄天鸿景德镇一中133 孙越江西省鹰潭市第一中学133 袁国振江西省临川第二中学132 颜锴江西省萍乡市莲花中学132 陈书洁景德镇一中高二131 刘驰江西省新干中学高二128 胡浩江西师大附属中学高二128 朱志强江西省余江县第一中学125 晏涛江西省进贤县进贤一中120 余宇方江西省临川第一中学114 陈松涛安远县第一中学113 廖文韬江西省吉安一中113 甘庆雨新余市第一中学113 吴郑华玉山一中112 戴进成江西省临川第一中学112 万明亮景德镇一中111 何湾江西省临川第二中学111 汪昱东南昌大学附属中学高二110 方政江西省高安中学110 桑兆川江西师大附属中学110 吴仁智江西省萍乡市莲花中学108 朱翀江西省高安中学107 张皓琨贵溪市第一中学107 彭涛江西省高安二中106 熊伟伦景德镇一中106 邓志雷江西省临川第一中学106 余金星江西省南昌市第二中学105 叶川江西省鹰潭市第一中学105 童羽强玉山一中高二105 汪子冲贵溪市第一中学105 熊宸宇景德镇一中104 聂中天江西师大附属中学104 何金文万年中学104 张泽宇景德镇二中高二104 曹航江西省鹰潭市第一中学103 二等奖（132名） 姓名学校年级分数姓名学校年级分数汪裕洲景德镇二中高二102 肖博魁江西省吉安一中100 彭峪清江西省宜春中学100 张洋洋江西省永丰中学100 江志强景德镇一中99 陈佳伟江西省高安二中99 汪鸿锋江西师大附属中学97 黎唯景德镇一中97 陈伊宇江西省吉安一中95 詹涵淼婺源县紫阳中学95 王新秀景德镇二中95 余思启景德镇一中95 徐仪萍江西省临川第二中学94 吴修昆江西省赣县中学(北校区) 92 郑果文江西省抚州市金溪一中92 黄中泽赣州市第三中学91 肖慧如江西省吉安一中91 郑浩景德镇一中91 盛鸿彭泽县第一中学90 洪文强景德镇一中89大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
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