求函数值域十种常见求法总结

求函数值域十种常见求法总结
求函数值域十种常见求法总结

函数值域方法归纳

1.常见函数的值域.

(1)一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R .

(2)二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为2

4,4ac b a ??-+∞????

, 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ???

. (3)反比例函数()0k y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠. (4)指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >.

(5)对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R .

(6)正,余弦函数的值域为[]1,1-,正切函数的值域为R .

2.求函数值域(最值)的常用方法.

一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数)

1、求y=|x+2|+3的值域.

2、求函数

y =的值域. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域)

1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域.

2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求xy 的最大值。

三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型)

1、求函数1

2+=x x y 的值域. 2、求函数2241x y x +=-的值域.

四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为

0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断)

1、求函数2122x y x x +=++的值域.

2、求函数3

274222++-+=x x x x y 的值域

五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用三角代换)等)

1、求函数的值域①y x = ②x x y 41332-+-=.

2.求函数y=cos2x-sinx+3的值域。

六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域)

1、求函数13y x x =-+-的值域。

2. 求函数12)(2

--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值

3. 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。

七、不等式法

1、①求函数1(0)y x x x =+

>的值域.②93(0)4y x x x =+>.

八、分离常数法

1、求函数1

2+=

x x y 的值域.

2.求函数1

22+--=x x x x y 的值域.

九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域)

十、有界性法(利用三角函数的有界性求函数值域)

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、(观察法)求下列函数的值域 (1)求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 (2)求函数y1=2-x 的值域。 (]2-,∞ 2、(配方法)求下列函数的值域 (1)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84, (2)求函数y =的值域: ][20, (3),x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是( ) C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、(换元法)求下列函数的值域 (1)21y x =+[)∞+,3 (2)4y x =++ ][234,1+ (3)求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 (4)求函数y = ][2,1 (5)求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、(分离常数法)求下列函数的值域 (1)求值域(1)1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞,,251- (2)求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -, 5、(判别式法)求下列函数的值域 (1)求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51, (2)求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -, (3)已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1,3 ],求实数a , b 的值. a=2或-2,b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 (1)求函数32()2440f x x x x =+-,[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = (2)设函数f(x)=ln(2x +3)+x 2.求f(x)在区间???? ??-34,14上的最大值和最小值. max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 (1)求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-, (2)求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号整体的取值围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用,从而围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件 a≤g(x)≤b的x的取值围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时,g(x)的取值围。 定义域是X的取值围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的围相同。 ():f(x),f[g(x)] 题型一已知的定义域求的定义域 () ():f g x,f(x) ?? ?? 题型二已知的定义域求的定义域 ()[] ():f g x,f h(x) ?? ?? 题型三已知的定义域求的定义域 () []()[])x(h f x f x g f→ →

()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数值域方法大全

值域最值专题 一.知识点 1.函数的值域的定义 在函数y=f(x)中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、基本初等函数的值域 1.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R ,值域为R 2 2.二次函数的定义域为R , f(x) ax bx c(a 0)22(4ac b)(4ac b)当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}。 y|y y|y 4a4ak y (k 0) 3.反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0}; xx+ 4.y =a(a>0且a≠1)的值域是R 5.y =logx(a>0且a≠1)的值域是R a 三.当函数y=f(x)用解析式给出时,求函数值域的方法 1.直接法分析:从自变量x 的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;(也可以利用常见函数的值域来求) 222x 0,1,2,3y x 2xx 1 1 xy 练习⑴, ⑵3 x y f(x) 2 4 x ⑶ . 答{ y| y2} ⑷ 答{ y| y R 且y -1/2} 2x 52.图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域; 222xy 2x x 1y 2x 4x 103练习⑴(≤≤) ⑵ xx y 1 x x 31f(x) 1 24 ⑶(≤≤) ⑷ 2f f(x) x 6, 2x 4x 6已知(取二者的大的函数值),则 max 3.利用函数的单调性――利用

专题一:求函数值域十六法

求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法,仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1. 定义:因变量y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2. 函数值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵.反解函数,将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y 的不等式,解不等式即可获解。 ⑶.可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程,在值域中任取一个值0y ,0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解,即方程()y f x =在定义域内有解;另一方面,若y 取某值0y ,方程()y f x =在定义域内有解0x ,则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。 特别地,若函数可看成关于x 的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。 ⑷.可以用函数的单调性求值域。 ⑸.其他。 3. 函数值域的求法 (1)、直接法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。 例1:求函数()1y x =≥的值域。 ) +∞ 例2:求函数y = [)1,+∞ 例3:求函数1y = 的值域。 0≥11≥, ∴函数1y = 的值域为[1,) +∞。 (2)、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 ()()()F x a f x b f x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 例1:求函数2 42y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 解:2 2 42(2)6y x x x =-++=--+,

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 尚化春 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解:∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解:将函数配方得:4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y m i n =,当1x -=时,8y m a x = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得:23y 2 1 ≤ ≤ (2)当y=1时,0x =,而? ?? ???∈23,211

高中函数值域求法小结

函数值域求法小结 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析:首先由1x +≥0,得1x ++1≥1,然后在求其倒数即得答案。 解: 1x +≥0∴1x ++1≥1,∴0< 1 11 x ++≤1,∴函数的值域为(0,1]. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设:)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:][2,2-∈y 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答:此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数,对u 配方可得: 1)2(2+--=x u ,得到函数u 的最大值1=u ,再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为:],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易

高中函数值域的12种求法

高中函数值域的12种求法 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y-1或y1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数定义域值域求法总结

、函数定义域、值域求法总结

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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ]

函数解析式求法和值域求法总结

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 及值域专题 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f . 解:设b ax x f +=)()0(≠a ,则 ∴?? ?=+=3 42b ab a , ∴????? ?=-===3212b a b a 或 . 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 . 二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式常用配凑法.但要注 意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域. 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式. 解:2)1()1(2-+=+x x x x f , 21≥+x x , 2)(2 -=∴x x f )2(≥x . 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配 凑法一样,要注意所换元的定义域的变化. 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f . 解:令1+= x t ,则1≥t ,2)1(-=t x . x x x f 2)1(+=+, ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x , x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x . 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式. 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点. 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ,解得:???-='--='y y x x 64 , 点),(y x M '''在)(x g y =上 , x x y '+'='∴2.

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2

函数值域方法

函数值域方法汇总 一.单调性法 例1.求函数x 53x y ---= 的值域 例2.求函数11--+=x x y 的值域 例3.求函数x x y -+-=53的值域 解一: 例4.已知函数.2]2,0[34)(2的值,求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解:(1)当0=a 时,舍去;,2324)2(≠-?=f (2)当↑??- =?上在时,对称轴方程为]2,0[)(02 0x f a x a 舍去,04 3 254)2(?-=?=+=?a a f ; (3)当时, 0?a 02 ?-=a x 对称轴方程为, ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈?-∈?∈-a a a 154 2384)2(-?-=?=--=-?a a a a f ,舍去 ②122-???-a a ↑?上在]2,0[)(x f 4 3-=?a 纵上,4 3 -=a 例5.求|1||3||2|-+-+-=x x x y 的值域 例6.求|2||4||1||3|-+-+-+-=x x x x y 的值域

【点评】求函数)(||||||2121n n x x x x x x x x x y ???-++-+-= 的最值时,①n 为奇数时, 取得最小值;时,当y x x n 2 1+=②取得最小值。 时,为偶数时,当y x x x n n n ],[1 22 +∈ 例7.求函数的值域|2|6|1|3|3|---+-=x x x y 例8.求函数的值域|1|2|3|6|2|3|4|-+---+-=x x x x y 【点评】求函数的最值时)(||||||)(212211n n n x x x x x a x x a x x a x f ???-++-+-= , ,无最大值; 时,当)}(,),(),(min{)(0)1(21min 1n i n i x f x f x f x f a =?∑= ; ,时,当)}(,),(),(max{)}(,),(),(min{)(0)2(21max 21min 1n n i n i x f x f x f y x f x f x f x f a ===∑= ,无最小值。 时,当)}(,),(),(max{)(0)3(21max 1 n i n i x f x f x f x f a =?∑= 例9.已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0, f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。 解:0)0()0()0()00(=?+=+f f f f 为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ?-=-?-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x ???+-??-??-?则令 上单调递增在R x f )(? 422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f [-4,2][-2,1])(上的值域为在x f ?

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一) 求值域 一、直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)例1.求函数2+=x y 的值域。 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例3.求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函 数的值域,如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法 求解。例4.求函数2y x = 五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数()0>+=k x k x y 的值域(k x <<0时为减函数;k x >时为 增函数))例5.求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)例7.求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ,通过方程有实根,0≥?,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法),在今后的学习中,会具体讲述。 周期 一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。 二.重要结论 1、()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数; 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而 3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 (2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。 解:因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤,,。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为R ,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项

函数定义域、值域求法的总结

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。 (2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为[3,+∞]。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y >1}) 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4], ∴0≤√(-x2+x+2)≤3/2,函数的值域是[0,3/2]。 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√(15-4x)的值域。(答案:值域为{y∣y≤3}) 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可

函数值域求法总结及练习题

函 数 值 域 求 法 1.重难点归纳. (1)求函数的值域. 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域. (2)函数的综合性题目. 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强. (3)运用函数的值域解决实际问题. 2.值域的概念和常见函数的值域. 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域: 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R . 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? , 当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?. 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R . 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R . 3.求函数值域(最值)的常用方法. 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域. 2、求函数 y =的值域.

二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域. 2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求xy 的最大值。 三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型) 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域. 2、求函数224 1 x y x +=-的值域. 四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断) 1、求函数3 27 4222++-+=x x x x y 的值域. 解:由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式,因此可以考虑使用判别式法,将原 函数变形为:7423222-+=++x x y xy y x 整理得:073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时,上式可以看成关于x 的二次方程,该方程的x 范围应该满足 032)(2≠++=x x x f ,即R x ∈此时方程有实根即△0≥, △[2 92(2)]4(2)(37)0[,2]2 y y y y =---+≥?∈-. 注意:判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是2 9 ,2- ==y y )代回方程检验. 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程,所以)2,2 9 [-∈y .

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