小学奥数第8讲 运算法则或方法(含解题思路)

8、运算法则或方法

【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本，此处略。

【四则运算顺序】见小学数学课本，略。

【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。

（1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。

（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。例如

【求连分数的值的方法】由数列a0，a1，……及b1，b2，……所组成的表达式

称为“连分数”。它可简记为

为连分数的值。

连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。例如，

求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数：

求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时，就愈接近它的值。

注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。

分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：

的任意两个约数a1，a2；

（2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），

（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来

（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。

注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单

位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。

例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例

（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。

拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，

不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1+a2+…+a n）。

解∵15=3×5

∴15的约数有1，3，5，15。

有限个分数的和的形式。

【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同。计算法则有以下三条：

（1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算的结果就精确到这个数位）；

（2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位；

（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。

例如，求近似数25.4、0.456、8.738和56的和。

25.4+0.456+8.738+56≈91

又如，求近似数0.095减0.002153的差。

解：

0.095-0.002153≈0.093

【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的相同。具体法则有以下三条：

（1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多个有效数字）；

（2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个；

（3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个数。

例如，（1）求近似数26.79与0.26的积。（2）求近似数9.7除以近似数25.78的商。

因24只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出中间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入到两个有效数字。

再如，量得一个圆的周长约是3.73厘米，求这个圆的直径。

题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。其中3.73是近似数，有三个有效数字；π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字：

解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米）

答：这个圆的直径约是1.19厘米。

【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做。运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。例如，作近似数的混合计算：

57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。

解原式=11.23+3.689-7.41

≈7.5

说明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中间结果11.23，3.689，7.41，都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。

（2）11.23+3.689-7.41是加减法，各数中精确度最低的是7.41，这个数实际上只有两个有效数字，就是只精确到十分位。因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得7.5。

又如，“有一块梯形土地，量得上底约为68.73米，下底约为104.20米，高约为9.57米。求这块土地的面积。

≈86.47×9.57

≈828（平方米）（答略）

说明：（1）68.73+104.20，所得的中间结果172.93，精确到0.01，没有多取的数位。

果四舍五入到三个有效数字，得828。

【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精确度，通常称其为“预定精确度的计算”。

预定精确度的计算法则，一般有：

（1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。

如果预定结果有n个有效数字，那么原始数据一般取到n+1个有效数字。

例如，圆形面积大约是140平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径r应达到怎样的精确度？π应取几个有效数字的近似值？

解：为了使面积S具有两个有效数字，π和r就都要有三个有效数字。因为

r应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到0.01米。

π应该取三个有效数字的近似值--3.14。

（2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。

例如，梯形上底a约50米，下底b约60米，高h约40米。测量时，应达到怎样的精确度，才能使算出的面积S有两个有效数字？

要使S有两个有效数字，则（a+b）与h都应该有三个有效数字。所以，测量h应精确到0.1米，而测量上底和下底，只需要精确到1米（因a+b有三个整数数位。）

在实际测量时，a、b、h都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用

相同的精确度。

【一般验算方法】

（1）加减法的验算方法。

加法的验算方法有二：一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，

所得的结果必须与原计算的结果相同，说明计算才是正确的。二是利用加法和

减法的逆运算关系，把所得的和减去一个加数，所得的差必须等于另一个加数，计算才是正确的。

减法的验算也有两种方法：一是利用加减互逆的关系进行验算，把所得的

差与减数相加，所得的和必须等于被减数，计算才是正确的。二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进行验算，用被减数减去差，所得的结果必须等于减数，计算才是正确的。

（2）乘除法的验算方法。

乘法有两种验算方法：①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再

相乘，所得的结果必须和原来的计算结果相同，计算才是正确的。②利用乘除

互逆关系，把所得的积除以一个因数，结果必须等于另一个因数，计算才是正

确的。

除法也有两种验算方法：①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上余数），所得的结果必须等于被除数，计算才是正确的。②利用

被除数、除数、商、余数之间的关系，把被除数减去余数所得的差（没有余数

的不必去减），除以商，所得的结果必须等于除数，计算才是正确的。

（3）四则混合运算式题的验算。

四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法

去验算，但非常麻烦，不如采用重算的办法。由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算可分三步走：①检查运算顺序；②检查分小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。

（4）解方程、解比例的验算方法。

解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边

的数值是否相等。

（5）应用题的验算方法。

应用题的验算可以采用下面三种方法：

①用“一题多解”验算。有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。若解得的结果一致，说明解法是正确的。

②用“还原法”验算。将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其他已知条件和数据都是成立的（即能“还原”），则表明题目的

解法是正确的。

③用分析、估算方法验算。根据生活经验等，可知：求总数，结果不应小

于部分数；求人数、植树棵树等，得数通常为整数；计算出油率、合格率等，

得数不会大于100％；计算各种速度、农作物单位面积产量，得数应基本符合

实际情况；……否则，题目的解答便可能是错误的。

不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还

得用其他方法验算。

【弃九验算法】利用被9除所得余数的性质，对四则运算进行检验的一种

方法，称为“弃九验算法”，简称“弃九法”。

用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数”（或称“弃九数”）。把一个数各位数字相加，如果和大于9，又再将和的各位数字相加，直到和是

一个一位数（和是9的要减去9得0），这个数我们便称它为原数的“去九数”。例如

8693：8+6+9+3=26-→2+6=8（去九数是8）；

721：7+2+1=10-→1+0=1（去九数是1）。

去九数也可以这样得到：把一个数中的数字9，或者相加得9的几个数字

都划去，将剩下来的数字相加，得到一个小于9的数，这个数就是原数的去九数。

例如：

“弃九验算法”也可以说，是利用“去（弃）九数”去进行验算的一种验

算方法。例如，验算下面的加减法，可先求出等号左右每个数的去九数，然后

将等号左边的去九数相加减，若去九数的和（或差），与等号右边和（或差）

的去九数不相等，则可以肯定，原来的计算是错误的。例如

（如果两个加数的去九数之和大于9，则应减去9）

所以，可以肯定，原式的计算是错误的。的确，正确的答案是70168。

假如最后的两个去九数之和或差，与等号右边和（或差）的去九数相等，那么在一般情况下，可以认为原来的计算大致没有错误。例如

所以，可以认为原来的计算大致没有错误。

减法的验算如

所以，可以肯定，原计算是错误的。事实上，原式的差应该是146410。

用弃九法验算乘法如下面的两个例子：

（1）

可以肯定，原来的计算是错误的。确实，正确的答案应该是716478。

（2）

可以认为，这道题大致没有错误。

用弃九法验算除法，可利用下面的关系式来进行：

除数×商=被除数；

除数×商+余数=被除数。

例如：

（1）

可以认为，这道题的计算大致没有错误。

（2）

可以认为，这道题的计算，大致没有错误。

不难发现，弃九验算法是既方便，又有趣的。但当弃九数的等式相等时，

为什么要说“在一般情况下”，“可以认为”原式的计算”大致没有错误”呢？请看下面几个数的去九数：

这就是说，当几个数的数字相同，仅仅是0的个数不同；或者是数字顺序颠倒；或者小数点的位置不同时，它的去九数却是相同的。这样就会导致用弃九法验算，不能查出去九数虽相同，而数的实际大小却并不相同的情况。这一点，在使用弃九法验算时，我们必须特别注意。

尽管有以上这种情况，但一般说来，弃九验算法还是一个有特色、有趣味的和比较好的验算方法。

【速算方法】（见第一部分“（五）数学公式”中的“速算公式”及第四部分中的“速算技巧”。）

【名数化、聚方法】

（1）名数的化法。把高级单位的单名数或复名数，化成低级单位的单名数的方法，叫做“名数的化法”。计算时，用进率乘以高级单位的数，再加上低级单位的数。

例如，把6米32厘米化成以厘米为单位的数：

因为厘米和米之间的进率是100，所以，解法是

100×6+32=632（厘米），

即6米32厘米=632厘米。

（2）名数的聚法。把低级单位的单名数聚成高级单位的单名数或复名数的方法，叫做“名数的聚法”。计算时，用低级单位的数除以进率，所得的商就是高级单位的数，余数就是低级单位的数。

例如，把5700千克聚成以吨和千克为单位的复名数。

因为吨和千克之间的进率是1000，所以解法是

5700÷1000=5 (700)

∴5700千克=5吨700千克。