高等数学第18章第4节条件极值

高等数学第18章第4节条件极值
高等数学第18章第4节条件极值

第十八章 隐函数定理及其应用

§4条件极值

以往所讨论的极值问题,其极值点的搜索范围是目标函数的定义域,但是另外还有很多极值问题,其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.

例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱,试问水箱的长?宽?高各等于多少时,其表面积最小?为此,设水箱的长?宽?高分别为z y x ,,,则表面积为

.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=

依题意,上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ,而且还须满足条件

.V xyz = (1)

这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.

结论1:条件极值问题的一般形式是在条件组................

)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? (2)

的限制下,求目标函数..........

),,,(21n x x x f y = (.3.).

的极值.....

☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值

1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解

有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子,由条件(1)解出

xy V z =,并代入函数),,(z y x S 中,得到

.)1

1(2),

,(),(xy x

y V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ,求出稳定点32V y x ==,并有3

22

1V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.

注.

:1)在一般情形下要从条件组(2)中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法

.

2、用拉格朗日乘数法

在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.

(1) 从较简单的情况入手

设?,f 均为二元函数,欲求函数

),(y x f z = (4)

在条件 0),(:=y x C ? (5) 的限制下的极值问题.我们有以下结论.

结论2:若函数...),(y x f z =在.0),(=y x ?的附加条件下......,.在点..),(00y x 取得极值....,.

则.

0),(00=y x ?, .

又如果...),(y x f z =在点..0P 可微、...0),(=y x ?在点..0P 的某邻域内能惟一确定可微的.............

隐函数...)(x g y =,.

则有..

.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ?? (8) 上述等式等价于.......

??

?

??

==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ??λ?λ (9) 如果引入辅助变量........λ和辅助函数.....

),,(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+= (10)

则.(9)...中三式就是.....

??

?

??

===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ??λλ?λλλ (11)

这样就把条件极值问题..........(4),(5).......转化为讨论函数.......(10)....的无条件极值问题.......... 事实上:①0),(00=y x ?显然.

②∵0),(=y x ?在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =,∴0

x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点,所以,由),(y x f z =在0P 可微,)(x g y =在0x 可微,得到

.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .)

,()

,()('00000y x y x x g y x ??-= (7)

把(7)代入(6)后又得到

.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ?? (8)

③由(8)可知方程组

??

?=+=+0)()(0

)()(00

00P b P af P b P af y y x x ?? 有非零解,不妨设0≠a ,令a b

=0λ代如上试可得???=+=+0)()(0)()(000

000P P f P P f y y x x ?λ?λ.

考虑到条件0),(00=y x ?即得

??

?

??

==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ??λ?λ (9)

④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+= 则(9)中三式就是

??

?

??

===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ??λλ?λλλ ▋

注.

:1)上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。 2)这种方法称为拉格朗日乘数法,(10)中的函数L 称为拉格朗日函数,辅助变量λ称为拉格朗日乘数。

3)上述推理过程中,由

.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ??有

00000)()()()

(λ??-==?P P f P P f x x y y ,即)()

()()(00000P P f P P f x x y y ??λ-=-=,使得(9)式成立。

4) 方程(11)的解),,(000λy x 只是拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=的一个稳定点, 而),(00y x 仅可能是极值点的坐标(驻点),是否是极值点还需要根据实际问题进一步考察.

5) 在几何意义上,关系式(8)表示曲面),(y x f z =的等高线)(),(0P f y x f =与曲线C

在点0P 处具有公共切线(见图18-6).

☆ 由结论1可知条件极值问题的一般形式是在条件组

)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? (2)

的限制下,求目标函数),,,(21n x x x f y = (3) 的极值.其拉格朗日函数是

()(),

,,,,,,)

,,,,,,,(211

212121n m

k k k n m n x x x x x x f x x x L ∑=+=?λλλλ (12)

其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数,并有下面定理:

定理18.6 设在条件(2)的限制下,求函数(3)的极值问题,其中f 与)

,,2,1(m k k =?在区域D 内有连续的一阶偏导数。若D 的内点),,()

0()0(10n x x P 是上述问题的极值点,且雅

可比矩阵

?????

??

? ??????????n m

m n x x x x ????

1

11

1

(13) 的秩为m ,则存在m 个常数)

0()

0(1,,m λλ ,使得),,,,,()

0()

0(1)

0()

0(1m n x x λλ 为拉格朗日函数(12)的稳定点,即),,,,,()

0()

0(1)

0()

0(1m n x x λλ 为下述m n +个方程:

()()?

???????

???

=====??+??==??+??=∑∑==0

,,0

,,0

11111111

1n m n m

k n

k n x m

k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ????λλ 的解。

当1,2==m n 时,定理的正确性已在前面作了说明,对于一般情形的证明可参阅第二十三章的定理23.19。

例1(P166)用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计的问题。 解:这时所求问题的拉格朗日函数是

).()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ

对L 求偏导数,并令它们都等于0:

???

?

???=-==++==++==++=.0,0)(2,02,02V xyz L xy y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ (14)

求方程组(14)的解,得

3

324

.22V

V z y x -

====λ (15)

依题意,所求水箱的表面积在条件(1)下确实存在最小值.由(15)知当高为3

4

V

,长与宽为高的2倍时,表面积最小. 最小值3

2)

2(3V S =. ▋

例2(167) 抛物面z y x =+2

2被平面1=++z y x 截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的

最长与最短距离.

解:这个问题实质上就是要求函数

222),,(z y x z y x f ++=(空间点),,,(z y x 到原点),0,0,0(的距离函数的平方)

在条件02

2

=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法,令

()

().1),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλμλ

对L 求一阶偏导数,并令它们都等于0,则有

?????

????=-++==-+==+-==++==++=.

01,0,02,022,02222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ 求得这方程组的解为

,33

11

7,3353±-=±

-=μλ 与 .32,2

3

1 =±-=

=z y x (16) (16)就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点,且所求的条件极值点必在其中取得.由于

所求问题存在最大值与最小值(因为函数在有界闭集{}

1,),,(2

2=++=+z y x z y x z y x 上

连续,从而必存在最大值与最小值),故由

)32,2

3

1,231(

±-±-f 所求得的两个值359 ,正是该椭圆到原点的最长距离

359+与最短距离

359-.▋

例3(P168略) 求xyz z y x f =),,(在条件

)0,0,0,0(1

111>>>>=++r z y x r

z y x 下的极小值;并证明不等式,)111(33

1abc c

b a ≤++-其中

c b a ,,为任意正实数. 解:设拉格朗日函数为

.1111),,,(???

?

??-+++=r z y x xyz z y x L λλ

对L 求偏导数并令它们都等于0,则有

)17(.01111,0,0,

0222

?

??

?

???

????

=-++==-==-==-

=r z y x L x xy L y

zx L x yz L z y x λλ

λ

λ

由方程组(17)的前三式,易得

.111μλ

====xyz z y x 把它代入(17)的第四式,求出r

31

=

μ.从而函数L 的稳定点为4)3(,3r r z y x ====λ. 为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极(小)值,我们可把条件

r

z y x 1

111=++看作隐函数),(y x z z =(满足隐函数定理条件)

,并把目标函数 ),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数.这样,就可应用极值充分

条件来作出判断.为此计算如下:

,,,,112

2

22

222

2y

xz

xz F x yz yz xyz yz F y z z x z z x z y x x y x -=-

=+=-=-=---=

,233

x

yz xyz yz yz F xx x x xx =++=

,23

22xy

z x z y z z xyz xz yz z F xy x y xy +--=+++=

.233

y

xz F yy =

当r z y x 3===时,

,3,6r F F r F xy yy xx ===

.027*******

>=-=-r r r F F F xy yy xx

由此可见,所求得的稳定点为极小值点,而且可以验证是最小值点。这样就有不等式

0,0,0()3(3>>>≥z y x r xyz 且

).1

111r

z y x =++ (18) 令,,,c z b y a x ===则,)111(

1

-++=c

b a r 代入不等式(18)有 3

1)111(3??

????++≥-c b a abc

或).0,0,0()1

11(331>>>≤++-c b a abc c

b a ▋

拉格朗日条件极值

拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对) 应用例题:已知有一个体积为a 的铁块。把这个铁块打造成一个长方体,求其表面积s 的极小值。 解:依据题意有如下关系式 )1(a xyz = )2()(2222z y x s ++= 构造函数M 如下: )3()()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++= 只要求M 函数的极值,即为s 的极值。 )4(04=+=??cyz x x M )5(04=+=??cxz y y M )6(04=+=??cxy z z M )7(0=-=??a xyz c M 以上四个方程可解出四个未知数x ,y ,z ,c 。将(7)带入(4),(5),(6)后得: )8(4442 22z y x ac ===- 可得: )9(431 a z y x ac ====- )01(431 -a c -= 此时,面积s 为: )9(632a s = 证明过程:拉格朗日乘子法,拉格朗日条件极值。 已知,自变量x 和y 符合关系式(1),求表达式(2)的极值。 )1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x 解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3),则可以把(3)式带入(2)式。此时,就变成求单个自变量的函数极值问题,即为(4)式。 )4(0))(,())(,(=+=dx dy x y x f x y x f dx dz y x 对(1)进行全微分,可得(5)式,进而得到(6)式。 )6()5(0 ),(Y x y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+= 将(6)式带入(4)式可得(7)式。 )7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz )8(),() ,(y x F y x f y y -=λ

求极值与最值的方法

求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中,求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置,由于其解法灵活,综合性强,能力要求高,故而解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义:设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠,均有0()()f x f x <,则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。的一个极大值;同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠,均有错误!未找到引用源。,则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ,称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一: 设()f x 在点0x 连续,在点错误!未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误!未找到引用源。时,如果: (1)'()f x 由正变负,那么0x 是极大值点; (2)错误!未找到引用源。由负变正,那么0x 是极小值点; (3)错误!未找到引用源。不变号,那么0x 不是极值点。 判别方法二: 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <,则()f x 在点0x 取得极大值; (2)如果''()0f x >,则()f x 在点0x 取得极小值。

判别方法三: 设()f x 在点0x 有n 阶导数,且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ,则: (1)当为偶数时,)(x f 在0x 取极值,有0)(0)(x f n 时,)(x f 在0x 取极小值。 (2)当为奇数时,)(x f 在0x 不取极值。 求极值方法: (1)求一阶导数,找出导数值为0的点(驻点),导数值不存在的点,及端点; (2)判断上述各点是否极值点 例 1 求函数32()69f x x x x =-+的极值。 解法一 : 因为32()69f x x x x =-+的定义域为错误!未找到引用源。, 且'2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--, 令'()0f x =,得驻点11x =, 23x =; 在错误!未找到引用源。内,错误!未找到引用源。,在错误!未找到引用源。内,'()0f x <,(1)4f =为函数()f x 的极大值。 解法二: 因为错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。 令错误!未找到引用源。,得驻点错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。又因为错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。为)(x f 极大值。 错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。为)(x f 极小值.

第十五章 值和条件极值

第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 一 极值 定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值,点()000,M x y 称为函数的极大点,若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值,点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值,极大点和极小点统称为极值点。 定义 2 设D 是2R 内的一个区域,()00,x y 是D 的一个内点,如果()00,0f x y x ?=?,()00,0f x y y ?=?,则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理,可知 定理1 二元函数的极值点必为0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注:定理1的条件是必要条件,而不是充分条件。 例:z xy =在()0,0点。 例:z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值? 定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数,并且点),(00y x 是f 的一个驻点, ),(0022y x x f A ??=,),(0022y x y f C ??=,),(002y x y x f B ???=,2A B H AC B BC ==-,则:(1)若0,0H A >>,则f 在点),(00y x 有极小值;(2)若0,0H A ><,则f 在点),(00y x 有极大值;(3)若0H <,则f 在点),(00y x 没有极值;(4)若0H =,则须进一步判断。 例:求)1(b y a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。 例:求333z axy x y =--的极值。 多元函数的最大(小)值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导,必在D 上达到最大(小)值。若这样的点0M 位于

条件极值答案

习题8-3答案 (A ) 1、求下列函数的极值: (1)极小值点(0,1);极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值. 解:解方程组得22330330z x y x z y x y ??=-=??????=-=???,解得驻点(0,0),(1,1) 由于222226,3,6z z z x y x x y y ???==-=????,故在(0,0)处290AC B -=-<,函数z 不取得 极值;在(1,1)处有2 270AC B -=>,且60A =>,函数z 在点(1,1)处取得极值,且极小值为1z =-。 (3)极大值点(0,0),极大值1;且(0,0)点为不可导点 (4)极小值点(5,2),极小值30 2 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . (,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++- 对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=? ?=++=? ?=++=? ?=-=? 求上述方程组的解, 得3 3 4 22,2x y z a a λ=== =- . 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为3 4 a , 长与

宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =. 3.提示:分别以x 、y 表示矩形的长、宽,则 222x y p +=(约束条件),所求圆柱体体积为2 V x y π= 构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-,则 2220, 20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=?? =+=?? =+-=? 解得2x y =,代入约束条件得: 23x p = 13y p =;为唯一的驻点,有实际意义知为最值点。 4.求函数u xyz =在条件22 2124 x y z ++=之下的极值。 解:构造辅助函数22 2(,,,)(1)24 x y F x y z xyz z λλ=++ +-,则 222 0, 0, 220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=? ??=+=??=+=??=++-=? ? 前三个式子联立去掉λ,得22 224x y z ==,结合第四个式子得到结果为2221 243 x y z ===。所以驻点有八个(+,+,+)(+,+,-) (+,-,+)(+,-,-)(-,+,+)(-,+,-)(-,-,+)(-,-,-)。其中1、4、6、7点为极大值点,2、3、5、8为极小值点。 (其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0,或者x =0,y =0及z=0,因为此 时它们的函数值为0,不是极值点。 5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。 解:设此半球的方程为2 2 2 2 ,0x y z R z ++=≥,内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ,则内接长方体体积22224,V xyz x y z R =++=。考虑函数

高等数学(上册)教案15函数的极值与最值

第3章导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】:1?理解函数的极值的概念; 2.掌握求函数的极值的方法; 3.了解最大值和最小值的定义; 4.掌握求函数的最值的方法; 5.会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】: 1.函数极值的第一充分条件,第二充分条件; 2.导数不存在情况下极值的判定; 3.函数最值的求解方法; 4.函数的最值的应用。 【教学难点】: 1.导数不器在情况下极值的判定; 2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点; 3.区分极值点与极值,最值点与最值; 4.函数的最值的应用。 【教学时数】:2学时 【教学过程】: 3. 3.1函数的极值 从图3-7可以看出,函数y = /(x)在点勺、心处的函数值儿、儿 比它们近旁各点的函数值都大; 在点河、些、入处的函数值儿、 儿、儿比它们近旁各点的函数值 都小,因此,给出函数极值的如 下定义: 一般地,设函数y = /(x) 在旺 的某邻域内有定义,若对于?邻域内不同于厲的所有x,均有/(x) < /(“),则称/(儿)是函数y = f(x)的一个极大值,心称为极大值点;若对于耳邻域内不同于%的所有x,均 有f(x) > /(x0),则称/g)是函数y = /(x)的一个极小值,?称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点. 注意可导函数的极值点必是它的驻点,但反过来是不成立的,即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分矗件设函数y = /(x)在点心的邻域内可导且广凤)=0,则 (1)如果当x取兀左侧邻近的值时,广(心)>0;当x取心右侧邻近的值时, /V0)<0,则;为函数y = /(x)的极大值点,/(%)为极大值;

第十五章极值和条件极值

第十五章 极值和条件极值 (一) 教学目的: 1)理解极值与条件极值的概念; 2)掌握最小二乘法。 (二) 教学重点: 1)条件极值的必要条件; 2)条件极值的求法. (三)教学难点 1)最小二乘法; 2)多元函数的最大(小)值问题。 §15. 1极值和最小二乘法 一 极值 定义1: 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值,点()000,M x y 称为函数的极大点,若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值,点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值,极大点和极小点统称为极值点。 定义2: 设D 是2 R 内的一个区域,()00,x y 是D 的一个内点,如果 () 00,0f x y x ?=?, ()00,0f x y y ?=?, 则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理,可知 定理1:二元函数的极值点必为 0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。

注:定理1的条件是必要条件,而不是充分条件。 例1:z xy =在()0,0点。 例2:z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值? 定理2: 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数,并且点),(00y x 是f 的一个驻点, ),(0022y x x f A ??=,),(0022y x y f C ??=,),(002y x y x f B ???=,2A B H AC B BC ==-,则:(1)若0,0H A >>,则f 在点),(00y x 有极小值; (2)若0,0H A ><,则f 在点),(00y x 有极大值; (3)若0H <,则f 在点),(00y x 没有极值; (4)若0H =,则须进一步判断。 例3:求)1(b y a x xy z -- = )0,0(>>b a 的极值。 例4:求3 3 3z axy x y =--的极值。 多元函数的最大(小)值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导,必在D 上达到最大(小)值。若这样的点0M 位于区域内部,则在这点显然函数有极大(小)值。因此,在这种情形函数取到最大(小)值的点必是极值点之一。然而函数),(y x f 的最大(小)值最可能在区域的边界上达到。因此,为找出函数),(y x f z =在区域D 上的最大(小)值,必须找出一切有极值的内点,算出这些点的函数值,再与区域边界上的函数值相比较,这些数值中最大数(或最小数)就是函数在闭区域D 上的最大(小)值。通常可根据问题的实际意义来判断。 例5:有一块宽24cm 的矩形薄铁皮,把两边折起来,做成一个梯形水槽,问x 和θ各自为何值时,水槽的流量是最大? 例6:试在x 轴,y 轴与直线2x y π+=围成的三角形区域上求函数 ()sin sin sin u x y x y =+-+的最大值。

条件极值及拉格朗日乘数法

§4条件极值 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时,往往会遇到这样一种情形,就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题,就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如,在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中,求一数组,使函数值 2 2221n x x x f +++= 为最小,这是在条件C x x x n =+++ 21)0(>i x 的限制下,求 函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题(条件极值问题). 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下, 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值. 对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xy V z = , 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x y V y x F ++=)1 1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有 3 22 1V z = , 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.

高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值

第3章 导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】: 1. 理解函数的极值的概念; 2. 掌握求函数的极值的方法; 3. 了解最大值和最小值的定义; 4. 掌握求函数的最值的方法; 5. 会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】: 1. 函数极值的第一充分条件,第二充分条件; 2. 导数不存在情况下极值的判定; 3. 函数最值的求解方法; 4. 函数的最值的应用。 【教学难点】: 1. 导数不存在情况下极值的判定; 2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点; 3. 区分极值点与极值,最值点与最值; 4. 函数的最值的应用。 【教学时数】:2学时 【教学过程】: 3.3.1函数的极值 从图3-7可以看出,函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数值2y 、5y 比它们近旁各点的函数值都大;在点1x 、4x 、6x 处的函数值1y 、4y 、6y 比它们近 旁各点的函数值都小,因此,给出函数极值的如下定义: 一般地, 设函数) (x f y =在0x 的某邻域内有定义,若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ,均有)()(0x f x f <,则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值,0x 称为极大值点;若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ,均有 )()(0x f x f >,则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值,0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点,但反过来是不成立的,即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ,则 (1)如果当x 取0x 左侧邻近的值时,0)(0>'x f ;当x 取0x 右侧邻近的值时,

条件极值

§4条件极值 教学目的与要求: 了解拉格朗日乘数法的证明,掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法,用条件极值的方法证明或构造不等式 教学重点,难点: 重点:用拉格朗日乘数法求条件极值 难点:多个条件的条件极值问题 教学内容: 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时,往往会遇到这样一种情形,就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题,就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 2 02 02 0)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-= .现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如,在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中,求一数组,使函数值2 2 22 1n x x x f +++= 为最小,这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下, 求函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题(条件极值问题). 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组 )(,,2,1, 0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下, 求目标函数 ),,,(21n x x x f y =

§6.3 泛函的条件极值

§6.3 泛函的条件极值 一、泛函条件极值问题的提出(等周问题) 求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB 所围成面积最大的曲线? AB 弧长:dx y L b a ∫+=2'1 (1) 曲线AB 与直线AB 所围成面积:()∫=b a dx x y S (2) 边界条件:()()0,0== b y a y (3) 在满足约束条件(1)和边界条件(3)的情况下,寻找满足由方程(2)的构成泛函问题的极小曲线函数。 二、一般泛函条件极值的E-L 方程 泛函[]()∫=b a dx y y x F y J ',,,约束条件()L dx y y x G b a =∫',,, 其中[][]()(){} 2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。 设()x y 是所求泛函的极值函数,取任意光滑函数()[]b a C x ,2 0∈η ()()()x x y x y εη+=1,()()0,0==b a ηη 从而构成一元函数 ()[]()∫++=+=b a dx y y x F y J '',,εηεηεηε? ()L dx y y x G b a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法,定义新的泛函 ()()()[]∫+++++=Φb a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε (4) 其中,λ为常数。 泛函()λε,Φ取极值,即需() 0,0=Φ=εελεd d ()()0'''',''''''''''0=???????+?=??++??+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηε λεε

第14-1章 极值和条件极值隐函数

第十四章 极值和条件极值 在工程技术领域,经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题,尽管这些问题具体背景不同,但其实质是函数的极值问题,在单变元微积分学中,我们已经建立了一元函数的极值理论。本章我们采用类似的思想,以二元函数为例,建立多元函数的极值理论。 §1 无条件极值 一、基本概念: 设),(y x f u =定义在区域D 上,D y x M ∈),(000。 定义1:若在0M 的某领域)(0M U 内成立:≤),(y x f ),(00y x f ,对任意(,)x y ∈)(0M U ,称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ,点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。 注:类似可定义极小值(点)。 注:极值是一个局部概念,且只有区域的内点才有可能成为极值点。 类似一元函数的极值理论,我们先建立极值点的必要条件。设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。考虑一元函数),(0y x f ,则),(0y x f 在0x 点取得极值,因而: 00(,)|x df x y dx =0, 由多元函数偏导数的定义,则0(,)|0M f x y x ?=?。 类似:0(,)|0M f x y y ?=?。 故,若0M 是极值点,则必有 0(,)|M f x y x ?=?0, 0(,)|0M f x y y ?=?。

定义2:若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在,且满足 0(,)|M f x y x ?=?0,0(,)|0M f x y y ?=?,称0M 为函数),(y x f 的驻点。 定理1:设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在,则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。 上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。有例子表明:上述的条件是不充分的。如xy y x f u ==),(,则0M (0,0)点为其驻点,但0M 不是极值点。 也有例子表明:偏导数不存在的点,也有可能是极值点,如:x y x f =),(,y 轴上的任一点0M ),0(y 都是其极小值点。事实上, ∈?),(y x M )(0M U ,)(0)(0M f x M f =≥=, 但可验证:偏导数)(0M f x 不存在;事实上 ???<->=-=-→→0 ,10,10lim ),0(),(lim 00x x x x x y f y x f x x , 故)(0M f x 不存在。 综上,极值点要么属于驻点,要么属于偏导数不存在的点,也就是说,我们必须在这两类点中寻找极值点,因此,如果我们在极值理论中,把可能成为极值点的点称为可疑点,则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成,至于具体的可疑点中哪个点是极值点,必须进一步验证。对可疑的偏导数不存在的点,需要用定义验证此点的极值性质,对可疑的驻点,可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证, 就是驻点成为极值点的二阶导数判别法: 设0M 为驻点,记),(),(0000y x f y y x x f u -?+?+=?,则0≥?u 时,0M 应为极小值点;0≤?u 时,0M 应为极大值点。

相关文档
最新文档