浙江省浙大附中2015届高三高考全真模拟数学(理)试卷(含答案)

浙大附中2015年高考全真模拟试卷

数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟.

参考公式：

柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13

V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

台体的体积公式12

1()3V h S S = 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式24S R π= 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高

球的体积公式343

V R π=

其中R 表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题

1．设集合}32|{≤≤-=x x A ，}01|{>+=x x B ，则集合A

B 等于（ ▲ ）

（A ）{|21}x x -≤≤- （B ）}12|{-<≤-x x （C ）{|13}x x -<≤ （D ）{|13}x x <≤ 2. 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ▲ ）（A ）1y x

（B ）21y x =-+ （C ）2x

y = （D ）lg |1|y x =+ 3. 已知,a b 为实数,则“2a b +≤”是“1a ≤且1b ≤”的（ ▲ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

4．下列命题中错误．．的是（ ▲ ）（A ）如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，那么γ⊥l （B ）如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （C ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （D ）如果平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 5. 如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数

()g x 的解析式是（ ▲ ）

（A ）()sin(2)3

g x x π

（B ）2()sin(2)3

g x x π

（C ）5()cos(2)6g x x π=+ （D ）()cos(2)6

g x x π

（第12题图）

6. 已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>

与圆(222x y c c +==交于A 、B 、C 、D 四点，若

四边形ABCD 是正方形，则双曲线的离心率是（ ▲ ）

（A

（B

（C

（D ）

7．用餐时客人要求：将温度为10C 、质量为0.25kg 的同规格的某种袋装饮料加热至3040C

C .服务

员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、质量为2.5kg 的热水中，5分钟后立即取出．设经过5分钟饮料与水的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提高的温度1t C ?与2m kg 水降低的温度2t C ?满足关系式11220.8m t m t ??=???，则符合客人要求的x 可以是（ ▲ ）（A ）4 （B ）10 （C ）16 （D ）22 8. 如图，在Rt △ABC 中，AC =1，BC =x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD

沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，

则x 的取值范围是（ ▲ ）（A

）（B ）

（C

）

（D ）（2，4]

非选择题部分（共110分）

二、填空题

9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，且11=S ，

则q = ▲ ，2a = ▲ ，n a = ▲ ． 10. 已知点(cos ,sin )P αα在直线 3y x =-上，则πtan()4α-

= ▲ ；1cos 2=sin 2α

+ ▲ ． 11. 若不等式组20

510080x y x y x y -+≥??

-+≤??+-≤?

所表示的平面区域被直线2y kx =+分为

面积相等的两部分，则k 的值为 ▲ ；若该平面区域存在点00(,)x y 使

0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .

12. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积为 ▲ ，其外接球的表面积为 ▲ .

（第8题图）

13. 非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ▲ ． 14. 实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则

max

min

S S +

= ▲ ． 15. 已知关于x

的方程||2

x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，

则实数k 的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本题15分）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，且sin 5B c =，11

cos 14

B =．（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）设BC 边的中点为D

，2

AD =ABC ?的面积．

17. （本题15分）如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ?所在平面，且AC AB PA ==.

（Ⅰ）求证：PA ∥平面QBC ；

（Ⅱ）若PQ QBC ⊥平面，求二面角A PB Q --的余弦值.

（第17题图）

18. （本题15分）已知直线(13)(32)(13)0m x m y m +---+=()m R ∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为3.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若1218

||||57

FA FB ≤?≤，求直线l 的斜率的取值范围.

19. （本题15分）已知数列}{n a 中，41

,121=

=a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n

n n ．

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）求证：对一切*

N n ∈，有2

2127

n a a a ++

．

20. （本题14分）已知函数2

()(1)4(5),()5f x x a x a g x ax x =-+-+=-+，其中.R a ∈ （Ⅰ）若函数()f x 、()g x 存在相同的零点，求a 的值；

（Ⅱ）若存在两个正整数m 、n ，当0(,)x m n ∈时，有0()0f x <与0()0g x <同时成立，求n 的最大值及n 取最大值时a 的取值范围.

数学（理科）答案

1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A 9．2-,2- ,1

(2)

n -- 10．2 ，13-

11．12，1a ≤- 12．24，2894

13． 14．8

15．01k <≤

16.解：（Ⅰ）由11cos 14B =

，得sin 14

B =，

又sin 5B c =，代入得37a c =，

由sin sin a c

A C

=，得3sin 7sin A C =， 3sin 7sin()A A B =+， 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+

得tan A =23

A π

（Ⅱ）22

192cos 4

AB BD AB BD B +-=，

22771119

()266144c c c c +-??=，3c =，则7a =

11sin 3722144

S ac B ==??=

17.方法一：

（Ⅰ）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，

∵平面QBC ⊥平面ABC ∴QD ⊥平面ABC 又∵PA ⊥平面ABC

∴QD ∥PA 又∵QD ?平面QBC ∴PA ∥平面QBC （Ⅱ）解：∵PQ ⊥平面QBC

∴90PQB PQC ∠=∠= 又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ??? ∴BQ CQ =

∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形设2PA a =

∴PQ AD ==，PB = ∴BQ 过Q 作QR PB ⊥于点R ，

∴

2QR ==，222PQ PR a PB ===

取PB 中点M ，连结AM ，取PA 的中点N ，连结RN

∵1142PR PB PM ==，1

PN PA = ∴MA ∥RN

∵PA AB = ∴AM PB ⊥ ∴RN PB ⊥ ∴QRN ∠为二面角Q PB A --的平面角

连结QN

，则QN ==

又∵2

RN =

∴22

313cos 2322a a a QR RN QN QRN QR RN +-+-∠===-

? 即二面角Q PB A --

的余弦值为

方法二:

（I ）证明：同方法一（Ⅱ）解：∵PQ ⊥平面QBC

∴90PQB PQC ∠=∠=，又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ??? ∴BQ CQ =

∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形

分别以,,AC AB AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz - 设2PA a =，则(,,2)Q a a a ，(0,2,0)B a ，(0,0,2)P a ，设平面QPB 的法向量为(,,)n x y z = ∵(,,0)PQ a a =，(0,2,2)PB a a =-

∴0

(1,1,1)220

ax ay n ay az +=??=--?

-=?

又∵平面PAB 的法向量为(1,0,0)m = ……12分设二面角Q PB A --为θ，则 3

|cos ||cos ,|3||||

m n m n m

n θ=<>=

又∵二面角Q PB A --是钝角

∴cos θ= 即二面角Q PB A --的余弦值为3

18.(Ⅰ)由(13)(32)(13)0m x m y m +---+=得(31)(323)0x y m x y --++-=，

由3103230x y x y --=??+-=?

，解得(1,0)F .

设椭圆C 的标准方程为22221(0)x

y a b a b +=>>，则222

3c a c a b c ?=?

+=??=+?解得2,1a b c ==，

从而椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=.

(Ⅱ) 过F 的直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，

由22(1)14

3y k x x y =-??

?+=??，得2222(34)84120k x k x k +-+-=，因点F 在椭圆内部必有0?>，

有2

1222

12283441234k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

，

所以|FA|·|FB| ＝(1 + k 2

)|(x 1 – 1)(x 2 – 1 )|2

(1)k =+1212|()1|x x x x -++22

9(1)34k k

+=+ 由22

129(1)18

5347

k k +≤≤+，得213k ≤≤，

解得1k ≤-

或1k ≤

所以直线l

的斜率的取值范围为11,3????-??

19.解（Ⅰ）由已知，对2≥n 有

)1()1(11--

-=--=+n a n n a n a n a n n n n ，两边同除以n ，得

)

1(1

)1(111--

-=+n n a n na n n ，即

11()1(111n

n a n na n n ---=--+，于是，)111(11

)1(111

21---=??? ??---=?

?????--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ，即

2),1

11(1)1(12≥---=--n n a a n n ，

所以

3)111(1)1(12--=

---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,2

N n n a n ∈-=．（Ⅱ）当2≥k ，有

)131

431(31)13)(43(1)

23(12

2---=--<-=

k k k k k a k ，所以2≥n 时，有

??????---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112

12n n a a n

k k n k k

761113121311=+

又1=n 时，.6

712

=a 故对一切*

N n ∈，有6

∑=n

k k a ．

20．解（Ⅰ）2()(1)4(5)f x x a x a =-+-+=(4)[(5)]x x a +-+

124,5x x a ∴=-=+

(4)1690,16

g a a -=+=∴=-

， 2(5)[(5)1]0g a a a +=+-= 046a a a ∴==-=-或或，

经检验上述a 的值均符合题意，所以a 的值为9

6,4,,016

---

……5分

（Ⅱ）令()0,f x <则45x a -<<+，,m n 为正整数，50,5a a ∴+>>-即， ……6分

记)5,0(+=a N ，令2

g()0,50x ax

x <-+<即的解集为M ，则由题意得区间(,)m n M

N ?. ……7分

①当0a <时，因为g(0)50=>，故只能2

g(5)[(5)1]0a a a +=+-<，

即4a >-或6a <-，又因为5a >-，故40a -<<，此时55n a ≤+<. 又∈n m ,Z ，所以4≤

当且仅当40,

455,(3)920,

a a g a -<

≤+

即921-≤≤-a 时，n 可以取4，

所以，n 的最大整数为4； ………11分 ②当0a =时，M

N =?，不合题意； ………12分

③当0a >时，因为g(0)50=>，2

g(5)[(5)1]0a a a +=+->，

故只能105,21200,

a a

a ?

<+????=->?无解；综上，n 的最大整数为4，此时a 的取值范围为9

≤≤-a ． ………14分