空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结

知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()O P a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，

a

平行于b ，记作b a

//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a

、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]

③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立] ④若a 为非零向量，则00=?a .（√）[这里用到)

0(≠b

b λ之积仍为向量]

（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)

0(,≠b

b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p

与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+ 。

注：①②是证明四点共面的常用方法.

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c

不共面，那么对空间任一向量p

，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，

使p xa yb zc =++

。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c

叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都

可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使

O P x O A y O B z O =++ 。(这里隐含x+y+z≠1).

注：设四面体ABCD 的三条棱，

,

,,d AD c AC b AB ===其

中Q 是△BCD 的重心，则向量)(3

1c b a AQ ++=

用MQ

AM AQ +=即证.

6. 空间向量的直角坐标系：

D

C B

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi x i OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k

表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =

，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++

， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈

， 112233a b a b a b a b ?=++

， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈

， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=

。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---

。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（4）模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =

，

则||a =

=

||b =

=

（5

）夹角公式：cos ||||

a b

a b a b ??==?

（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则||AB =

=

，

或,A B d =

（7）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.

（8）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线≠?a 平面α，α∈?∈?D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ?使CE

CD AB μλ+=.（常设CE

CD AB

μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线

AB 与平面相交）.

7. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A a O B b ==

，则A O B ∠叫做

向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>

；若,2

a b π<>= ，则称a 与b 互

相垂直，记作：a b ⊥

。

（2）向量的模：设O A a = ，则有向线段O A 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a

。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ??<> 叫做,a b

的数量积，记作a b ? ，即a b ?= ||||c o s ,a b a b ??<>

。 （4）空间向量数量积的性质：

①||cos ,a e a a e ?=<>

。②0a b a b ⊥??= 。③2||a a a =? 。 （5）空间向量数量积运算律：

①()()()a b a b a b λλλ?=?=?

。②a b b a ?=? （交换律）。 ③()a b c a b a c ?+=?+?

（分配律）。

【典型例题】

例 1. 已知平行六面体ABCD －D C B A '

'''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

⑴AB BC + ； ⑵AB AD AA '++

；

⑶12A B A D C C '++ ； ⑷1()3

A B A D A A '++ 。

例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式：

O P xO A yO B zO C =++

（其中1x y z ++=）

的四点,,,P A B C 是否共面？ 例3. 已知空间四边形O A B C ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，

点G 在线段M N 上，且2M G G N =，用基底向量,,O A O B O C

表示向量O G 。

例 4. 如图，在空间四边形O A B C 中，8O A =，6A B =，

4A C =，5B C =，

45OAC ∠=

，60OAB ∠=

，求O A 与B C 的夹角的余弦值。

说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135O A AC <>=

易错

写成,45O A AC <>=

，

切记！

例5. 长方体1111ABCD A B C D -中，4A B B C ==，E 为11A C 与

11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1B B 。

【模拟试题】

1. 已知空间四边形A B C D ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下

列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++

；

（2）1()2A B B D B C ++ ； （3）1()2

A G A

B A

C -+

。

2. 已知平行四边形ABCD ，从平面A C 外一点O 引向量。 ,,,OE k OA OF k OB OG k OC OH k OD ==== 。

（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面A C //平面E G 。 3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114

B E D F A B ==

，求1B E 与1D F 所成角的余弦。

4. 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。

⑴求以向量,A B A C

为一组邻边的平行四边形的面积S ；

⑵若向量a 分别与向量,A B A C 垂直，且|a |＝3，求向量a

的坐标。

5. 已知平行六面体ABC D A B C D ''''-中，

4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=

，

60BAA DAA ''∠=∠=

，求A C '的长。

[参考答案]

1. 解：如图，

（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；

（2）111()222

A B B D B C A B B C B D ++=++ 。

AB BM MG AG =++= ；

（3）1()2

A G A

B A

C A G A M M G -+=-= 。

2. 解：（1）证明：∵四边形A B C D 是平行四边形，∴AC AB AD =+

，

∵EG OG OE =- ，

()()

()k O C k O A k O C O A k AC k AB AD k O B O A O D O A O F O E O H O E

EF EH

=?-?=-==+=-+-=-+-=+

∴,,,E F G H 共面；

（2）解：∵()EF O F O E k O B O A k AB =-=-=?

，又∵EG k AC =? ，

∴//,//EF AB EG AC 。

所以，平面//A C 平面E G 。

3. 解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -，

则(1,1,0)B ，13(1,

,1)4

E ，(0,0,0)D ， 11(0,

,1)4F ，

∴11(0,,1)4B E =- ，11

(0,,1)4

D F = ，

∴114

BE D F ==

，

11111500()114416

B E D F ?=?+-?+?= 。

1115

15cos ,174

4

BE D F =

=

。 4. 分析：⑴1

(2,1,3),(1,3,2),cos 2

||||AB AC AB AC BAC AB AC ?=--=-∴∠==

∴∠BAC ＝60

°，||||sin 60S AB AC ∴==

⑵设a ＝（x ，y ，z ），则230,a AB x y z ⊥?--+=

222

320,||3a AC x y z a x y z ⊥?-+==?++=

解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a

＝（－1，－1，－1）。

5. 解：22

||()AC AB AD AA ''=++

222

||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''

=+++?+?+?

222435243cos 90245cos 60235cos 60=+++???+???+???

169250201585=+++++=

所以，||AC '=