论文二重极限计算方法

包头师范学院

本科毕业论文

题目：二重极限的计算方法

学生姓名：王伟

学院：数学科学学院

专业：数学与应用数学

班级：应数一班

指导教师：李国明老师

二〇一四年四月

摘要

函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract

The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.

keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

目录

序言 (1)

1二重极限的计算方法小结 (2)

1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)

1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)

1.3采用对数法求极限 (3)

1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)

1.5等价无穷小代换 (4)

1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)

1.7多元函数收敛判别方法 (4)

1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)

1.9极坐标代换法 (6)

1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)

1.11利用连续性求极限 (6)

1.12利用洛必达法则求极限 (7)

1.13利用单调有界准则求极限 (7)

1.14利用导数的定义求极限 (7)

1.15变量代换法 (8)

1.16复合函数求极限的方法 (8)

1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)

1.18取倒数方法 (9)

1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)

1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)

1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)

1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)

1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)

1.24利用matlab求二重极限 (11)

2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)

总结 (14)

参考文献 (15)

致谢 (16)

序言

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。

1、二重极限的计算方法小结

1.1 利用特殊路径猜得极限值再加以验证

利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。

例1 、讨论2

23),(y

x y

x y x f +=，在点(0,0)的极限。 解： 令mx y = 01lim )1(lim lim

22

02402230=+=+=+→→→→→m

m x m mx y x y x x mx y x mx

y x 应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 2

2300=+→→y x y

x y x 可以猜测值为0。

下面再利用定义法证明：0>?ε，取εδ2=

当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x

由于2

32

232120x xy y x y

x y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x y x y x 故.0lim 2

2300=+→→y x y

x y x 注意 （1）ε的任意性

（2）δ一般随而变化

（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+ε，A-ε）。

1.2 由累次极限猜想极限值再加以验证

先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证

例2 、 设)0(1sin

)(),(2

22222≠+++=y x y

x y x y x f 。求),(lim 00y x f y x →→ 解： 0),(lim lim 0

0=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的

)0,0(),(≠y x

有22222

2221

sin

)(0),(y x y x y

x y x y x f +≤+≤++=-， 0>?ε 取2

εδ=

， 当δ

就有ε<-++01

sin

)(2222y

x y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x 1.3 采用对数法求极限

利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 、求xy

y x xy sin 100)

1(lim ++

+→→

解：xy

xy xy

xy

y x xy

xy

y x xy

y x xy e

xy e

xy )1ln(lim )

1ln(lim )

1(lim sin 0

01sin 1

0sin 10

0+=

+=

++

+

+

+

+

+

→→→→→→

因为 1sin lim

00=+

+→→xy

xy

y x 而且1ln )1ln(lim 1

00==++

+→→e xy xy y x 所以 e xy xy

y x =++

+→→sin 1

00)

1(lim

1.4 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限

e x x x x x

x =+=???

??+→∞→1

)1(lim 11lim 1sin lim

0=→x

x

x 类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之

例4 、求（1）)

(12

0)

1(lim y x x y x x +→→+ （2）x

xy

a y x sin lim

0→→

解：（1）因为e x x

x =+→10

)1(lim ，2

1

1lim 20=+→→y x y x 所以2

1

112

0)

(12

0)1(lim )

1(lim e x x y

x x

y x y x x y x =??

?

???+=++→→+→→

（2） 由于

0,sin sin ≠?=y y xy

xy

x xy , 又因为)0,(1sin sin lim

00≠===→→→x t xy t t

lin xy

xy t a y x

所以a y lin t t

lin x xy a

y t a y x ==→→→→sin sin lim

00

1.5 等价无穷小代换

利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限

例5 、求y

x y x y x ++→→)sin(lim 3

30

解：因为,0,0→→y x 故有033→+y x

所以)sin(33y x +等价于33y x +

故原式为0)(lim lim )sin(lim 220

03

3003300=+-=++=++→→→→→→y xy x y

x y x y x y x y x y x y x

注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”

1.6 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量

充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。

例6 、求 ()()()()2

22

2,32323lim -+---→→y x y x y x

解： 因为()()()()()()()()()32323lim

2323lim 222,3222

2,3--+---=-+---→→→→x y x y x y x y x y x y x 而

()()()()2

1232322≤-+---y x y x 为有界变量

又 ()03lim

2

,3=-→→x y x 故有 原式=0

1.7 多元函数收敛判别方法

当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们

的公共值。

例7 、求2

2

00

lim

x y x y y

x →→++

解：

由

)(2

2

2

0x y

x y

x y

x y y

x +

≤

≤

=++++ 而

()00,0x y x y +→→→ ，故可知 2

2

l i m

x y x y

y

x →→+=+ 1.8 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限

有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

1、讨论当0,0→→y x ，二元函数),(y x f 的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有0→t 从而求得结果。

例8 、求 22220,0)1ln(lim y

x y x y x +++→→ 解；令,22μ=+y x 则当0,0→→y x 时 0→μ，

于是1)1ln(lim )1ln(lim 0222

20,0=+=+++→→→μμμy

x y x y x 2、讨论当()常数0,≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作变量代换，相应有∞→t ，利用已知一元函数的极限公式。

例9 、求 y

x x a y x xy +→∞→????

??+2

11lim 其中0≠a 解: 因为 xy

y

y x x

y x x xy xy )(11112

++?

??

? ??+=???? ??+ 当 a y x →∞→,时，令xy=t,相应有∞→t

则e t xy t

t xy

a y x =???

??+=???

? ??+∞

→→∞→11lim 11lim 所以a xy

y y x x a y x y x x a y x e e xy xy 1)11ln()(lim 11lim 2==???? ?

?+++→∞→+→∞→ 3、讨论∞→∞→y x ,时二元函数),(y x f 的极限

例10 、求 )(22,)(lim y x y x e y x +-∞

→∞→+

解： 因为)

()(2)(22)

(222)()()(y x y x y x y x e xy e y x e y x e

y x ++++--+=+=+

当 ∞→∞→y x ,时，令x+y=t,相应有∞→t

则 0lim )(lim 2

)(2,==+∞→+∞→∞→t t y x y x e

t e y x

0lim lim 22

lim ,,,=?=?∞→∞→∞→∞→∞

→∞→y y x x y x y

x y x e y

e x e y e x

所以 0)(lim )(22,=++-∞

→∞→y x y x e y x

1.9 极坐标代换法

讨论当()()0,0,→y x 时，二元函数),(y x f 的极限，必要时可以用极坐标变换

θθsin ,cos r y r x ==，即将求),(y x f 当极限问题变换为)sin ,cos (θθr r f 求+→0r 的极限问题。但必须要求在+→0r 的过程中与θ的取值无关。注意这里

不仅对任何固定的θ在+→0r 时的极限与θ无关，而且要求在+→0r 过程中θ可以随r 的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明),(lim 0

,0y x f y x →→存在。

例11、 求2

22

2)0,0(),(lim y x y x y x +→

解： 令??

?==θ

θsin cos r y r x ，当)0,0(),(→y x 时，有+→0r 令 θθθθ2222

2242222sin cos sin cos r r

r x x y x ==+ 因为 1sin cos 22≤θθ

所以0sin cos lim lim 2

2202222)0,0(),(==++

→→θr y x y x r y x

1.10用多元函数收敛判别的方法

通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。

例12、求 y

x y x y x ++→→2

200lim

解： 因为()y x y

x y x y x y x +=++≤++≤2

2

20而 ()

0lim 00=+→→

y x y x

所以 0lim 2

20

0=++→→y

x y x y x

1.11 利用极限的夹逼性准则

例13、 求2

2

00

lim

x y x y

y

x →→+

+

解：由)(2

2

2

0x y x y

x y

x y y x +≤

≤=++++

而()00,0x y x y +→→→ ，故可知2

2

lim

0x y x y

y

x →→+

=+

1.12 利用洛必达法则求极限

例14、求极限：（1）03lim

sin 5x x

x

→ ；（2）0lim ln x x x →? .

解：（1）00333

lim

lim sin 55cos55

x x x x x →→== （2）()0000

2

1

ln lim ln lim

lim lim 011x x x x x

x x x x x x

→→→→?===-=- 1.13 利用单调有界准则求极限

数列{}1n

n n u

??=??

+??

为单调递增数列，且有上界1，则lim

11

x n

n →∞=+ 。

单调有界原理：单调有界数列必有极限。

1.14 利用导数的定义求极限

已知

()'

cos sin x x = ，

例15、求 0sin 1

2lim n x x

π→??+- ??

?

解：()'

002

sin 1sin sin

222lim lim cos

02

sin |

x n x x x x x

x πππππ

=

→→????

+-+- ? ?????==

==

此种方法要求熟练掌握导数的定义。

1.15变量代换法

例16、求极限：1

1

1

1lim 1

m x n

x x

→--

解：令

mn

x y

=

，当

1x →

时1y → ，则：

11

1

1

1

1

1

11lim lim

lim

1

1

n n m m

m x y y n

n n m

m y y x y

y

x

--→→→--===-- 1.16 复合函数求极限的方法

例17、求()

0ln 1lim

x x x

→+

解：()()

1ln 1ln

1x

x x x +=+ ，是由ln y u = ,()

11x

u x =

+ 复合而成的，

而

()

10

lim

1x

x e x →=+，在u e =点

ln y u

=连续，故：

()()

()

1100ln 1lim lim ln ln ln 10lim 11x

x

x x x e x

x x x →→?

?

+??====??→?

?

++ 。 1.17 无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) -此种方法对于多项式的商罟的未定型比较适用

例18、求 2

2

23lim

32

x x x x x →∞

++-+

解：2

2

22

132232

lim lim 12

3323x x x x x x x x x x

→∞→∞+

+++==-+-+

1.18 取倒数方法

例19、求极限：2

lim

21

x x x

→∞

+

解：我们先求2

1

221

lim

lim

0x x x x x

x

→∞

→∞

++== ，根据无穷大与无穷小的关系，所以

2

lim

21

x x x

→∞

=∞+ ，即此极限不存在。

1.19 利用函数在某点的左右极限求极限

例20、已知函数()sin 2,0,2,0

x

x f x x x x ?>?

=??+≤? 求()0

lim x f x → 。

解：因为()()()sin 2lim lim 2

00lim lim +2=200

x x x x x f x x f x x ++--→→→→=== 所以根据极限存在的充要条件可知：

()0

lim 2x f x →= 。

此方法只适用于解析式中带有绝对值的函数或是分段函数。

1.20 利用定积分的定义及性质求极限

例21、求极限：1

11lim ...122n n n n →∞??+++ ?++?

?

解：因为1

111111lim ...lim ...12122111n n n n n n n n

n n →∞→∞??

???+++=+++ ? ?++?? ?

+++?? 由定积

分的定义和性质可知：

()11001111lim ...ln 1ln 2121111|n dx

x n n x

n

n n →∞??

?+++==+= ?+ ?

+++??? 所以

1

11l

i m ..

.

l n 2

122n n n n

→∞??

+++= ?++?

?

。 1.21 利用麦克劳林展开式求极限

例22、求极限：2

2

4

cos lim

x x

x e

x

→-

解：因为cos x 和

2

2

x

e

的麦克劳林展开式分别为：

()()

2

24

2

4

5

5

2

cos 1+,124!

28

x

x o

o

x x x x x e

x =-+=-++！于

是

()

()

(

)2

2

4

24

5

5

5

2

c

o s

11

2

!4!2x

x o o x

x

x

x e x

x ?

?

?

?-=-

++

- ?

? ? ??

?

?

?

。因而()2

4

5

2

4

4

cos 112

lim

lim 12

x x x

o

x x x e

x

x

→→-+-==- 。

1.22利用级数收敛必要条件求极限

因为由数列12n ????

??????

所产生的数项级数

231111 (2222)

n +++++收敛，所以由级数收敛的必要条件有1

lim 02n n →∞= 。

1.23 利用幂级数的和函数求极限

例23、求极限：3521

lim ......3521n n x n x x x +→∞??

+

++++ ? ?+??

。 解：因为由逐项求导的方法可求得幂级数35

21

(3)

5

21

n x n x x

x

++

+++

++

的和函数为

11ln 21x x +- ，所以：3521

1111lim ......lim ln ln 35212121n n n x x x n x x x x x +→∞→∞??+++++++== ? ?+--??

1.24 利用matlab 求二重极限

例24、 计算y x y x +→→2^lim 1

2

>> clear

>> syms x y;

>> limit(limit(x^2+y,x,2),y,1) ans =

5

>> %求x^2+y 在x→2，y→1时候的极限。可以编M 文件类型的函数。matlab 中目前没有现成的求二重极限的函数

2 、证明二重极限不存在

若二元函数)(p f 在区域D 有定义，),(000y x p 是D 的聚点。当动点),(y x p 沿着两条不同的曲线（或点列）诬陷趋近于点),(000y x p ，二元函数)(p f ，有不同的“极限”，则二元函数)(p f 在点),(000y x p 不存在极限。依此可以有下面几种方法来证明)(p f 在区域D 上当0p p →时极限不存在。

例25、证明

2

2

0)

ln(lim

y

x

e x y y x ++→→不存在

证明：函数的定义域为{}

0,),(22≠+->=y x e x y x D y ，当点)

,(y x p 沿着y 轴趋于点(0,0)时，有x=0，而

y

y

y x e x y y y x 0

2

20

0lim

)ln(lim

→→→=++不存在， 所以

2

2

0)ln(lim

y

x e x y y x ++→→

当P 沿着D 中某一连续曲线趋近于点),(000y x p 时，二元函数)(p f 的极限不

存在，则

),(lim )

,(,(00y x f y x y x →不存在

例26、证明y

x y x y x ++→→4

40

0lim

不存在

证明：函数的定义域为{}0),(≠+=y x y x D ，当点),(y x p 沿着x 轴趋于点（0，0）时，y

x y x y x ++→→4

40

0lim =0，当点),(y x p 沿着)1(3-=x x y 趋

于点（0，0）时

2)1(lim lim 4

3440440=-+=++→→x x x x y x y x x x 所以 y

x y x y x ++→→4

40

0lim

不存在

当P 沿着D 中两条不同的连续曲线趋近于),(000y x p 时，二元函数)(p f 的极限都存在，但不相等，则

),(lim )

,(,(00y x f y x y x →不存在。

例27、证明 3

32

20

0lim

y

x y x y x +→→不存在 证明：设θθsin ,cos r y r x ==函数的定义域为 []{}

πθθθ2,0,0sin cos ,0),(33≠+>=r r D θ

θθθθ332203

32

200sin cos sin cos lim

lim

),(+=

++

∈→

→→r y x y x D

r x y x 当0=θ时，0sin =θ得0sin cos sin cos lim 3322),(0=+∈→+θθθ

θθr D

r x 当

-

→)43(πθ时

4

1

sin cos ,0sin cos 2233→→++θθθθ 令r =+θθ3

3sin cos 有04

1

sin cos sin cos lim

3322sin cos 033≠=+=+→+

θθθθθθr r

x

所以3

32

20

0lim

y

x y x y x +→→ 不存在 对于一些难以找到的路线，可以利用极坐标来证明 例28、证明 2

22

20

02lim

y x y x y x ++→→不存在

证

明：

0lim lim 2lim lim ),(lim lim 023

02

2220000===++=→→→→→→x x x y x y x y x f x x y x y x

2

121lim 2lim 2lim lim ),(lim lim 022*********===++=→→→→→→y y y x y x y y y x y x y x f

即得 22

2

20022220

02lim lim 2lim

y

x y x y x y x y x y x ++≠++→→→→ 因为两个累次极限不想等，所以2

22

20

02lim y

x y x y x ++→→ 不存在

总结

函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难理解和掌握的部分，特别是二元函数的极限，但二元函数在多元函数微积分学中有着举足轻重的作用，探讨其存在性与求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。文中列出了利用特殊路径猜得极限值再加以确定、由累次极限猜想极限值再加以验证、采用对数法求极限、利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限、等价无穷小代换、利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量、多元函数收敛判别方法、变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限、极坐标代换法、用多元函数收敛判别的方法等始终二重极限的计算方法及四种二重极限不存在的证明方法。在实际解决二重极限问题时要根据题型不同选择最优的解题方式，不但能提高正确率也可以节省时间和工作量，达到事半功倍的效果。

参考文献

［1］孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版社,2004.

［2］张贵文,汪明凡.关于多元函数的极限[J].数学学习,1983.

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［7］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社，1992.

［8］张雅平.二重极限的几种求法[J].雁北师范学院学报（自然科学版），2005，（2）. .