不动点法求数列的通项(讲座)

不动点法求数列的通项

惠来县第一中学 方文湃

自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。

记函数f(x)的定义域为D ，若存在λ∈D ，使λ＝f(λ)成立，则称（λ，λ）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{a n }中，a n+1=f(a n ) (n ∈N +)，若存在λ满足方程λ＝f(λ)，称λ为不动点方程λ＝f(λ)的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。

一、递推式为a n+1=aa n +b(a ≠0,a ≠1,a,b 均为常数)型的数列

由递推式a n+1=aa n +b 总可变形为

a n+1－λ=a （a n －λ） …………………………（１） （１） 式中的λ与系数a,

b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得a n+1=aa n ＋λ－a λ

∴b=λ－a λ即λ＝a λ+b …………………………（２）

关于λ的方程（２）刚好是递推式a n+1=aa n +b 中的a n ，a n+1都换成λ得到的不动点方程。

令b n =a n －λ代入（１）得b n+1=ab n

一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，再求数列{a n }的通项。 例１：在数列{a n }中，已知a 1=1,a n+1=1－21

a n (n ∈N +),求lim ∞

→n a n 。 解：令x=1－

21x 得x=32

a n+1－32=1－21a n －32=－21 (a n －3

2)

令b n =a n －32，则b n+1=－2

1

b n

∴数列{b n }成首项为b 1=a 1－32=1－32=31，公比为q ＝－2

1

的等比数列，于

是有

b n =31(－21)n －1即a n －32

＝31(－21)n

－1 ∴a n =32[1－31(－2

1)n ]

∴lim ∞

→n a n =

3

2

限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。

二、递推式为a n+1=

d

ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列

a n+1－λ=

d

ca b aa n n ++－λ＝

d

ca d b a c a n n +-+-λ

λ)(=

d

ca c a d b a c a n n +--+

-))((λλ

λ 令λ＝－

λλ

c a

d b --可化得 λ＝d

c b a ++λλ …………………………（３）

关于λ的方程（３）刚好是递推式a n+1=d

ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不

动点方程。

○

1当方程（３）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝

d ca a c a n n +--)

)((11λλ

a n+1－λ２＝

d

ca a c a n n +--)

)((22λλ

∴

2111λλ--++n n a a ＝21

λλc a c a --?2

1λλ--n n

a a 令

b n =

21λλ--n n a a 有b n ＋１＝

2

1

λλc a c a --?b n

一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，后求数列{a n }的通项。 例２：数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=31

3++n n a a （n ≥1）给出，求lim ∞

→n a n 。 解：令x=

3

1

3++x x ,得x 1 =1,x 2 =-1，于是有

a n+1- 1 =

3

)

1(21313+-=

-++n n n n a a a a a n+1+1 =

3

)

1(41313++=

+++n n n n a a a a ∴

1111+-++n n a a =21·11+-n n a a

设b n =

1

1+-n n a a ,则b n+1 =21

b n

这样数列{b n }成首项为b 1 =

1111+-a a =3

1,公比为21

的等比数列, 于是b n

=31·1)2

1

(-n , 由b n =11+-n n a a 得a n =n

n b b -+11=11

)2

1(311)21

(311--?-?+n n

∴lim ∞

→n a n =1

○

2当方程（３）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝

d

ca a c a n n +--)

)((λλ得

λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λc a c -＋))((λλλ--+n a c a c d

设c n =

λ

-n a 1

得c n ＋１＝

λλc a c d -+?c n ＋

λ

c a c

- 即数列{c n }的递推式总可化为“c n ＋１＝ac n +b （a ，b 为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列{c n }的通项，从而求数列{a n }的通项。

例３:在数列｛a n ｝中，a n =1, a 1+n = 2

2+n n

a a (n=1,2……)。求a n 。 解：令x=2

2+x x

,得x 1=x 2=0 设b n =

n a 1

,则由a 1+n =2

2+n n a a 可得b 1+n =b n +21

∴{b n }成为首项为1,公差为2

1

的等差数列,于是 b n =1+2

1

21+=-n n ∴a n =

1

2+n 需要指出的是，上述方法同样适用于方程（３）两根不同的情形。对例２，可设c n =

11

-n a （或c n =1

1+n a ），我们运用上述方法来求数列｛a n ｝的通项。 例２另解：令x=

3

1

3++x x ,得x 1 =1,x 2 =-1，于是有 a n+1- 1 =

3)

1(21313+-=

-++n n n n a a a a ∴

1

11-+n a =

)1(23-+n n a a =21+1

2

-n a

令b n =

1

1

-n a ，则b 1=111-a =1，b n+1=2b n + 21

令λ＝2λ+2

1

得λ＝－2

1 b n+1+21=2b n +

21+21=2(b n + 21

)

∴{b n + 21 }成首项为b 1+21= 2

3

，公比为的等比数列，于是有b n +

21=2

3

×2n-1 ∴b n =

23×2n-1-21=2

1

(3×2n-1-1) 代入b n =11-n a 得a n =1+n

b 1

=1+12321

-?-n =1+1

1

)2

1(311)21(32--?-?n n ∴

lim ∞

→n a

n

=1

小结解法：

一般地，设λ1，λ2是关于λ的方程a b

c d

l l l +=

+……………③ 的两个根，对递推式为1n n n aa b a ca d

++=

+（,,,a b c d 为常数）型的数列，可以有以

下两种方法来求其通项：

[解法一]：1 设c n =

λ

-n a 1

（λλ=1或λλ=2）得c n ＋１＝

λλc a c d -+?c n ＋

λ

c a c

-， 即 {}n c 的递推式为1n n a aa b +=+（,a b 为常数）型的数列；

2 求{}n c 的通项，再求{}n a 的通项。

[解法二]: 1 设n n n a b a λλ++-=

-1112，证数列{b n }成首项为b 1 =a a λ

λ--1112

的等比数列；

2 求{}n b 的通项，再求{}n a 的通项。

当方程③有重根时，[解法二]无法进行。

以下是2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题第（1）小题的不同解法：

20.（本小题共14分）设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，1

1(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

[解法一]：（1）由1

11

112221

n n n

n n n a

b nba a

n a a a n n

n ----×-=

?+-+- 设n n n b a =

，则有11111

21

21

12n n n n n n n bb b b b b bb b b b

-----+=?=?+ ①当2b =时，2

n n

b =

，2n a = ②当2b 1时，有1121

()22

n n b b b b b --=--- \数列1{}2n b b --为首项为 1111222(2)

b b b b b b -=-=----，公比为2

b 的等

比数列

1122()2(2)n n b b b b b

--

=---

即 11221

12

12

()()[1()]2(2)2

(2)2n n n n b b b b b b b b b b

-=

-=-=------

(2)122[1()]2n

n n n

n n

n b b a b b b

-\==--- 综上得1232

23

2

1

22222

n

n n n n n n n nb a b b b b b ------=

+??+?? *

()n N ? [解法二]: 由1

11

112221

n n n

n n n a

b nba a

n a a a n n

n ----×-=

?+-+- 设n n n b a =

，则有111111

,2n n n bb b b b a b --===+ 令2

bx

x x =

+，得120,2x x b ==- 由1

12

n n n bb b b --=

+……………………………………………………①

得11112[(2)]

(2)(2)22

n n n n n bb b b b b b b b --------=

--=

++…………………………② ②÷①得

()n n b b b b

--=22

∴(){}n n b b b --2是首项为()()b b b b --=--211

21，公比为q b =2的等比数列，于

是

()()()n n n b b b b b

---=--2122

1 解得12[1()]2n n b b b =

-- (2)122[1()]2n

n n n

n n

n b b a b b b

-\==--- 即1232

23

2

1

22222

n

n n n n n n n nb a b b b b b ------=

+??+?? *

()n N ? *关于周期数列：

1.已知数列{}n a 中，()*11

11

,2,2n n a a n n N a -==≥∈，则100a =

2.已知数列{}n a 中，()*1111

,2,2n n a a n n N a -==-≥∈，则2012a = 3.已知数列{}n a 中，()*11

11,12,2n n a a n n N a -==-≥∈，则15a = 4.数列{}n a

中，1a 1

1

1(2)1n n n a a n a --+=

≥-，求这个数列的通项公式，并122000a a a +++ 的值。

因为以上数列的递推式其对应的函数f(x)都是周期函数（0a >，为常数）： (1)1

()(()0)()f x a f x f x +=

，则)(x f 的周期T=2a ；

(2)1()(()0)()

f x a f x f x +=- ，则)(x f 的周期T=2a ；

(3)1

()1(()0)()f x a f x f x +=-

，则)(x f 的周期T=3a ；

(4) 1()

()(()1)1()

f x f x a f x f x ++=

-，则)(x f 的周期T=4a ； 故以上数列数列均为周期数列，这几道题目的按周期数列去做更方便。

三、递推式为

a n+1=

d

a b a n n ++22(b,d 为常数)型的数列

先看2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题：

已知函数f (x)=x 2+x –1, α,β是方程f(x)＝０的两个根（α>β）,f /（x ）是f (x)的导数，a 1 =1,a n+1=a n –)

(')

(n n a f a f (n=1,2……) (1) 求α,β的值;

(2) 证明:对任意的正整数n,都有a n >α; (3) 记b n =ln

α

β

--n n a a (n=1,2……), 求数列{b n }的前n 项和s n 。 这道题第(3)小题可以按如下来求b n :

a n+1–β=

1212

++n n a a – β=1

212++n n

a a –25

1--=

1

225

1)51(12+++

+++n n n a a a

=

12)

251(2

+++

n n a a =1

2)(2+-n n a a β …………………………… (４)

同理a n+1 –α=1

212

++n n a a –α=12)(2

+-n n a a α…………………………… (５)

(４)÷(５)得: αβ--++11n n a a =22)()(αβ--n n a a 于是得ln αβ--++11n n a a =2 ln αβ

--n n a a

设

b n = ln

α

β--n n a a ,则b n+1=2b n ，故数列{b n }成首项为

b 1=ln

2

5

1125

11-+

++

=4ln 251+，公比为2的等比数列,故b n =2n+1 ln 251+。 当然由b n =2ln )

2

51()25

1(-+++

n n a a 可求a n 。 方程f (x)=x 2

+x –1=0的两根α,β与递推式a n+1=a n –)(')(n n a f a f =1

21

2

++n n a a 有何

关系呢?

仔细推敲,方程x 2

+x –1=0正好是不动点方程x=1

21

2++x x 的变形，α,β也是不

动点方程x=1

21

2++x x 的两根。

是不是所有递推式形如“a n+1 =）d c b a d

ca b

aa a n n n 为常数,,,(2+++”的数列都可用

上述换元方法求a n 通项呢？下面举一反例给予否定。

例如：对a n+1=1

332++n n a a (n=1,2……)，令 x=133

2++x x 解得 x 1=1, x 2= -23

a n+1 – 1=1332++n n a a

– 1 = 1

32

32++-n n a n a 显然 a n 2 – 3a n +2≠( a n – 1)2 。

当系数a,b,c,d 怎样时，才可运用上述换元方法求呢？

a n+1- α =d

ca d b a c a a d ca b aa a n n n n n n +-+-+=

-+++α

αα)(2

2 令a n 2 + (a – c α) a n + (b – d α) = ( a n –α)2 =22

2αα+-n n a a

由恒等式得：

22a c a b d a a a

ì-=-??í?-=?? T202

0(6)

a c d

b a a ì?=???=í???+-=?? 把(６)式中α改为x 得: x 2 + d x –b =0……………… (７)

方程（７）正好是当a=0,c=2时递推式“a n+1=d

a b a n n ++22

”的不动点方程x=

d x b

x ++22的变形。

所以,对已知初始值a 1(或数列｛a n ｝的某一项),递推式为a n+1=d

a b

a n n ++22

（b,d

为常数，n 为正整数）的数列｛a n ｝，设α,β是不动点方程x= d

x b

x ++22的两根,可

按下列方法求数列｛a n ｝的通项：

○

1当a 1=α或β，数列｛a n ｝为常数数列，a n =α或β； ○2当a 1≠α且a 1≠β，若α≠β，设b n =ln|α

β

--n n a a | , 证b n 为等比数列，后求a n ；

○

3当a 1≠α=β时，由不动点方程x=d

x b

x ++22 得 x 2 + d x –b =0

△ = d 2

+4b=0， ∴b = – 4

2

d

此时 a n+1=d

a b a n n

++22

=

4212412

2

d a d a d a n n n -=+-， ∴a n+1+)2(212d a d n += 先求等比数列｛b n = a n +

2

d

｝的通项，后求a n 。 例4：

设a>2,给定数列{x n }其中x 1=a ，x n+1 = )

1(22-n n

x x ,求证：当n 充分大时，x n <3。

解：令x=)1(22

-x x ,得x 1=0, x 2=2 ，于是12n x +- = )1(22-n n x x -2=)

1(2)2(2

--n n x x

∴

2

2

112

11(

)2

(2)

2

n

n n

n n x x x x x x ++=

=---

∴

1

1

2

2

11(

)

(

)

2

2

2

n n n

n x x a x x a --==---

∴ 1

2)

2(12

---=n a

a x n

∵ a>2 ,可得 0

-<1, ∴lim

∞

→n 0)2(1

2=--n a

a ,

故当n 充分大时，x n <3 。

需要指出的是以上三种类型的数列，当初始值等于不动点方程的根时，数列均为常数数列。