椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题
问题： 题1：椭圆
14
9
2
2
=+
y
x
的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的
取值范围是_______。
设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。
（二）问题的分析与引导 问题分解： 问题1. 椭圆
14
9
2
2
=+
y
x
的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标
是_______。
问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。 设计意图：把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题，是数学常规解题策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。
性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。
3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？
提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么的最值?”学生思考后回答：求某个三角函数的最值。
问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？
问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值”
（面对cos 21PF F ∠=
|
|||2|
|||||212
212
22
1PF PF F F PF PF ?-+ 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均
值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是2
221||||PF PF +，分母变化的部分是||||221PF PF ?，二者的关系是
()||||24||||2||||||||212
212
212
22
1PF PF a PF PF PF PF PF PF ?-=?++=+ ，于是目标式可分
成两部分
1|
|||2212
-?PF PF b
，最后对||||21PF PF ? 利用均值不等式，即可大功告成。
设计意图：在课堂教学和作业中渗透两个7：3是我们一直致力在研究的课题，本例很好地体现了三角及基本不等式的应用。
从而求得当||||21PF PF = ，即点P 与短轴端点重合时，cos 21PF F ∠有最小值为
122
2
-a
b ，21PF F ∠有
最大值。此题结果为???
?
?
?
-
5
5
3,553。） 问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为
),0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中
,21θ=∠PF F 则.21cos 2
e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！ 题2：已知1F 、2F 是椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的两个焦点，椭圆上一
点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。 思路：由焦点三角形性质二， .2190cos 20e -≥
? 2
2≤e ＜1
变式1：已知椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得
,1200
21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120
cos 2
e -≥即2
212
1e -≥-
,
于是得到e 的取值范围是.1,23
?
??
?
??? 追问：何时取等号？
变式2：若椭圆
13
4
2
2
=+
y
x
的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使?=∠9021PF F ？存在，
求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
简解：两种做法： 方法一：设m PF =1,n PF =2
，可以得到???=+=+4
4
2
2n m n m ，故6=mn ，所以P 的纵坐标的绝对值3=P y ，故P 的纵坐标为3或-3.
方法二：22190cos e -≥??
2
2≤e ＜1，但椭圆离心率为
2
1，不在范围内，故不存在。
两种解法，答案不一致，原因？
设计意图：两个练习题，层层递进，练习2直接为“问题引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用。 （三）问题引入2（一道很普通的错题） 题3：P 是椭圆14
5
2
2
=+
y
x
上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3
21π
=
∠PF F ，则21F PF ?的面积等
于_______。
多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出||||21PF PF ?，代入面积公式。 问大家：“既然面积可求，那么||||21PF PF 、 也一定可求，请大家计算一下||||21PF PF 、 的值”。同学们利用根与系数的关系构造一个以||||21PF PF 、 为根的一元二次方程，发现此方程判别式小于0，无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考，发现题目出错，利用刚才—探索出的规律，当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠ 有最大值，查表求得是 57，因此，给定椭圆上不存在点P ，使3
21π
=∠PF F
问题1：已知椭圆C ：
12
22
2=+
b
y a
x (a>b>0)，F 1、F 2是两个焦点，对于给定的角()παα<<0， 探求
在C 上存在点P ，使 α=∠21PF F 的条件。
尽量让学生得到：存在点P 的条件可相应得到：α≥∠21BF F 。(B 为椭圆短轴的一个端点)
设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。
问题2：怎样改动，使上面不是一个错题？
改动一：P 是椭圆14
5
2
2
=+
y
x
上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若6
21π
=
∠PF F ，则21F PF ? 的面
积等于_______。
改动二：P 是椭圆14
2
2
=+y
x
上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3
21π
=
∠PF F ，则21F PF ?的面
积等于_______。
问题3：改动的依据是什么？（2121BF F PF F ∠≤∠,B 为短轴的一个端点） 设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。
题4：若1F 、2F 是椭圆)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，求椭
圆的面积。
解：设m PF =1，n PF =2，由余弦定理得
2
2
2
12
24cos 2c F F mn n m ==-+θ①
由椭圆定义得 a n m 2=+② 由①得：θθ
cos 12cos 1)(22
2
2
+=
+-=
b
c a mn
∴2
tan
cos 1sin sin 2
12
2
21θ
θ
θ
θb b
mn S PF F =+==
?
性质三：若1F 、2F 是椭圆)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，
则2
tan
22
1
θ
b S PF F =?。
继续看题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的两个焦点，椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭
圆离心率e 的取值范围。
思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B
则2
245tan 21b b S PF F =?=?≤bc b c S BF F =??=
?22
12
1
b ?≤
c 2b ?≤2c 22c a -?≤2c 2
22
a
c e =
?≥
2
1
故
2
2≤e ＜1
当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。 如果把图形特殊化，使PF 1⊥F 1F 2,我们可以得到：
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为
a
b 2
2。
题5：已知椭圆1C ：2
2
221(0)y x
a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求
椭圆1C 的方程；
这就是09年浙江省高考理科试题。展示评分标准。 设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。
问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。
定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。 【课堂测试】
1.已知12F 、F 是椭圆p 为椭圆C 上的一点，且12P F F ?的面积为9，则b = .（09上海）
2.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?=
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围
是（ C ） （09江西）
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2 C ．(0,
2
D ．2
3.已知椭圆
222
1(1)x
y a a
+=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且1260F P F ∠=
,则
12||||PF PF ?的值等于 ．
4（选做）设椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，
原点O 到直线1A F 的距离为
113
O F ．证明a =
；