高中数学专题训练(六)——圆锥曲线

高中数学专题训练——圆锥曲线

1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b 为方向向量的直线与经过点B(-m, 0)，以λb-4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．

(1) 求点P的轨迹E；

(2) 若5

2

m，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的

圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =5

3．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．

2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为α，且2

21

tan =

α，l 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点为P ，线段PF 2与双曲线的交点为Q ，且1:2:2=QF PQ ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

3. 在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，OM ON OM 5

5

2,5||=

=. 过点M 作MM 1⊥y 轴于M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，N N M M OT 11+=. 记点T 的轨迹为曲线C ，点A （5，0）、B （1，0），过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q （点Q 在A 与P 之间）. （1）求曲线C 的方程；

（2）证明不存在直线l ，使得|BP|=|BQ|；

（3）过点P 作y 轴的平行线与曲线C 的另一交点为S ，若AQ t AP =，证明.BQ t SB =

4. 已知离心率为

2

5

的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使021=?AF AF 且21AF F ?的面积为1。 （1） 求双曲线C 的标准方程；

（2） 若直线m kx y l +=:与双曲线C 相交于E 、F 两点（E 、F 不是左右顶点），

且以EF 为直径的圆过双曲线C 的右顶点D 。求证：直线l 过定点，并求出

该定点的坐标。

5.求与双曲线22

1916

x y -

=有公共渐进线，且经过点()

3,23A -的双曲线的方程。

6、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线上的一点，且

12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积

7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值

8、已知半圆221(0)x y y +=≥的直径为AB ，点P 在半圆上，双曲线以,A B 为焦点，且过点P 。若3

PAB π

∠=，求双曲线的方程。

9. 已知圆：x 2+y 2=c 2(c ＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得一椭圆。

⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c 无关的常数； ⑵设圆与x 轴交点为P ，过点P 的直线l 与圆的另一交点为Q ，直线l 与椭圆的两交点为M 、N ，且满足PQ MN 2=，求直线l 的倾斜角。

10. 已知点（x,y ）在椭圆C ：122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）上运动

⑴求点),(xy x

y

的轨迹C ′方程；

⑵若把轨迹C ′

的方程表达式记为：y=f(x)，且在???

? ??33,0内y=f(x)有最大值，试求椭圆C 的离心率的取值范围。

11. 已知过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、

B 两点，N 为弦的中点；又函数x b x a y cos 3sin ?+?=的图像的一条对称轴的方程是6

π

=

x 。

（1） 求椭圆C 的离心率e 与ON k ;

（2） 对于任意一点C M ∈,试证:总存在角)(R ∈θθ使等式:

OB OA OM θθsin cos +=成立.

12.已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN 为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

13. 如图，已知椭圆1

2

2-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与

椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD ||

(1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最值.

14. 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，右准线为,2

1

:=

x l 一条渐近线的方程是.3x y =过双曲线C 的右焦点F 2的一条弦交双曲线右支于P 、Q 两点，R 是弦PQ 的中点. （1）求双曲线C 的方程；

（2）若在l 的左侧能作出直线m:x=a ，使点R 在直线m 上的射影S 满足

0=?QS PS ，当点P 在曲线C 上运动时，求a 的取值范围.

15. 设21,F F 分别是椭圆的14

22

=+y x 左，右焦点。 （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且4

5

21=

?PF PF ， 求点P 的坐标。

（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线与椭圆交于不同的两点B A ,，且A

O B ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。

16. 抛物线C 的方程为)0)(,(),0(0002≠<=x y x P C a ax y 上一点过抛物线，作斜率为21,k k 的两条直线，分别交抛物线C 于A ),(),,(2211y x B y x 两点（P 、A 、B 三点互不相同），且满足).10(012-≠≠=+λλλ且k k （1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线AB 上一点M 满足,MA BM λ=证明：线段PM 的中点在y 轴上； （3）当1=λ时，若点P 的坐标为（1，—1），求∠PAB 为钝角时，点A 的纵

坐标的取值范围.

17. 如图，已知点F （1，0），直线1:-=x l 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂

线，垂足为点Q ，若.FQ FP QF QP ?=?

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）过点M （－1，0）作直线m 交轨迹C 于A ，B 两点。

（Ⅰ）记直线FA ，FB 的斜率分别为k 1,k 2，求k 1+k 2

的值；

（Ⅱ）若线段AB 上点R 满足

,|

||

|||||RB RA MB MA =求证： RF ⊥MF 。

18. 已知椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，直

线x =4为它的一条准线，又知椭圆C 上存在点M 使

.|||||,|||2212121MF MF MF MF MF MF =?=?

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若PQ 为过椭圆焦点F 2的弦，且Q PF Q F PF 122?=，求λ内切圆面积最大

时实数λ的值.

19. 已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C ，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成

等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点Q （－1，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x =－4于点E ，

点Q 分AB 所成比为λ，点E 分AB 所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.

20. 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果3

2

4||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.

答案：

1. 解 (1) ∵λa +b = ( m ,λ)，∴ 直线AP 方程为

)(λ

m x m

y -=

；…………………………① 又λ b - 4a =(λm , - 4), ∴ 直线NP 方程为

)(4

m x m

y +-

=λ；…………………………② 由①、②消去λ得

)(42

222m x m y --

=，即 1422

2=+y m x ．

故当m = 2时，轨迹E 是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x 2 + y 2 = 4； 当m > 2时，轨迹E 是以原点为中心，以)0,4(2-±

m 为焦点的椭圆：

当0 < m <2时，轨迹E 是以中心为原点，焦点为)4,0(2m -±

的椭圆．

(2) 假设存在实数k 满足要求，此时有圆Q ：(x - k )2 + y 2 = (4- k )2 ; 椭圆E ：

14

202

2=+y x ；其右焦点为F(4 , 0 )，且5

52

=e ．

由圆Q 与椭圆E 的方程联立得2y 2- 5kx + 20k - 30 = 0,

设M(x 1, y 1), N(x 2, y 2), 则有

k x x 2

521=

+， ………………………………………………③

△=25k 2- 4×2(20k - 30)， 又 |MF| =1552

52x -

, |NF| =255

252x -, 而53||||=+NF MF ；

∴

155252x -

+5355

2522=-x ,

由此可得

2

5

21=

+x x ，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．

2. 解 以F 1F 2的中点为原点，F 1、F 2所在直线为x 轴建立坐标系，则所求双

曲线方程为122

22=-b

y a x （a>0，b>0），设F 2（c ，0），不妨设l 的方程为

)(221c x y -=，它与y 轴交点)2

21,0(c P -，由定比分点坐标公式，得Q 点的

坐标为)621

,32(c c -，由点Q 在双曲线上可得13621942

222=-b

c a c ，又3=ab ， ∴1=a ，3=b ，∴双曲线方程为13

22

=-y x .

3. （1）设点T 的坐标为),(y x ，点M 的坐标为),(y x ''，则M 1的坐标为（0，y '），

),(5

5

2552y x OM ON ''==

，于是点N 的坐标为)552,552(y x ''，N 1的坐标

为)0,552(

x '，所以).5

5

2,0(),0,(11y N N x M M '='=

由??

?

??'=

'='+'=+=.552,

),552,0()0,(),(,11y y x x y x y x N N M M OT 所以有

由此得.2

5

,y y x x =

'='

由,14

5

,5)2

5(

,5,5||222222=+

=+='+'=

y x y x y x OM 得

所以有

即所求的方程表示的曲线C 是椭圆. ……………………3分

（2）点A （5，0）在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C

无交点，所以直线l 斜率存在，并设为k . 直线l 的方程为).5(-=x k y

由方程组.02012550)45()5(,14

522222

2=-+-+??

???-==+

k x k x k x k y y x 得

依题意.5

555,0)8016(202<<-

>-=?k k 得

当5

5

55<

<-

k 时，设交点),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点为),(00y x R ， 则.4

5252,455022

2102

221+=+=+=+k k x x x k k x x .4

520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k

k k k x k y

又,1||||-=??⊥?=BR k k l BR BQ BP

,420201204204

5251452022222

22-=?-=-=+-+?=?k k k k k k k k k k k BR

而420202

2-=k k 不可能成立，所以不存在直线l ，使得|BP|=|BQ|.…………7分

（3）由题意有),5(),,5(),,(221111y x AQ y x AP y x S -=-=-，则有方程组

????

?????=+=+=-=-)4(.145)3(,145

)2(,)1(),5(52

222212121

21y x y x ty y x t x 由（1）得5)5(21+-=x t x （5）

将（2），（5）代入（3）有.205]5)5([422222=++-y t x t

整理并将（4）代入得0)1(5)1(2)1(222=-+-+-t tx t t ， 易知.2

3,12t

t x t -=

>解得

因为B （1，0），S ),(11y x ，故),1(),,1(2211y x BQ y x SB -=-=，所以

),0,0()0),64

6(

4()0),62(4()0),1(5)5(1()

),1(1(),1(),1(22221212211=----=---=-----=----=---=-t

t t x t x t x t ty y x t x y x t y x BQ t SB

.BQ t SB -∴

4. 解： （1）由题意设双曲线的标准方程为)0,0(122

22>>=-b a b

y a x ，由已知

得：25

22=+==a b a a c e 解得b a 2=

∵021=?AF AF 且21AF F ?的面积为1 ∴1||||2

1

,2||||212121=?=

=-?A F A F S a A F A F AF F ,2212221||||||F F A F A F =+ ∴22221444|)||(|a c A F A F =-=- ∴2,1==a b

∴双曲线C 的标准方程为14

22

=-y x 。 （2）设),(),,(2211y x F y x E ，联立?????=-+=14

2

2y x m kx y 得0448)14(2

22=+++-m kmx x k