上海大学_王培康_数值分析大作业
数值分析大作业（2013年5月）
金洋洋（12721512），机自系
1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它 们的绝对误差限, 相对误差限和有效数字的位数。
X1 =5.420, x 2 =0.5420, x 3=0.00542, x 4 =6000, x 5=50.610?
解：根据定义：如果*x 的绝对误差限 不超过x 的某个数位的半个单位，则从*x 的首位非零数字到该位都是有效数字。
显然根据四舍五入原则得到的近视值，全部都是有效数字。
因而在这里有：n1=4, n2=4, n3=3, n4=4, n5=1 （n 表示x 有效数字的位数） 对x1：有a1=5, m1=1 （其中a1表示x 的首位非零数字，m1表示x1的整数位数） 所以有绝对误差限 143
11
(1)101022
x ε--≤
?=?
相对误差限 31()
0.510(1)0.00923%5.4201
r x x x εε-?=
== 对x2：有a2=5, m2=0 所以有绝对误差限 044
11
(2)101022
x ε--≤
?=?
相对误差限 42()
0.510(2)0.00923%0.54202
r x x x εε-?=
== 对x3：有a3=5, m3=-2 所以有绝对误差限 235
11
(3)101022
x ε---≤
?=?
相对误差限 53()
0.510(3)0.0923%0.005423
r x x x εε-?=
== 对x4：有a4=0, m4=4 所以有绝对误差限 4411(4)1022
x ε-≤?=
相对误差限 4()
0.5
(4)0.0083%6000
4
r x x x εε=
=
= 对x5：有a5=6, m5=5 所以有绝对误差限 514
11(5)101022
x ε-≤
?=?
相对误差限 45()
0.510(5)8.3%600005
r x x x εε?=
==
2.对矩阵A 进行LU 分解， 并求解方程组Ax b =
其中
211132122A ????=??????，465b ??
??=??????
解：A=LU 代入方程Ax b = 可转化为L y b
U x y
?=??=??
先对矩阵A 进行LU 分解，如下
1112
131112
13
2122232111211222
211323
31323331113112322231133223331
1
1u u u u u u A LU l u u l u l u u l u u l l u l u l u l u l u l u u ??????
??????===++????????????+++??????
根据系数相应相等有：第一行：112u =，121u =，131u = 第二行：21112121l u l ==，可得210.5l =
211222220.513l u u u +=?+=，可得22 2.5u = 211323230.512l u u u +=?+=，可得23 1.5u =
第三行：31113121l u l ==，可得310.5l =
31123222320.51 2.52l u l u l +=?+=，可得320.6l =
3113322333330.510.6 1.52l u l u u u ++=?+?+=，可得330.6u =
所以有：121
10.51 2.5 1.50.50.610.6A LU ????????
==????????????
解方程如下
123140.5160.50.615y y y ????????????=??????????????????，可得123440.6y y y ????
????
=????
???????? 11223321142.5 1.540.60.6x y x y x y ????????????????=????????????????????????，可得
123111x x x ????????
=????????????
3. 用 J 迭代法和 G-S 迭代法求解方程组 1231231
23202324812231530
x x x x x x x x x ++=??
++=??-+=?时， 若取初始解向量
(0)
(0,0,0)T x = ， 问各需迭代多少次才能使误差()*610k x x
-∞
-≤ 。
解：
可知方程组的系数矩阵为20231812315A ????=????-??，
241230b ??
?= ? ???
将A 写成A=D-L-U 的形式为20002381001152300A --??????
??????=----????????????-??????
对于两种迭代法，它们的迭代矩阵分别为：
130102011()088210155J B D L U -??--??????=+=--??
????
-????
1迭代： ，11301020117()0
8016019101200800G S D L U -??--??????-=-=-??????-????迭代：G 可得：111=max ,,13443B
∞
??
=???? ，11941=max ,,1441602400G ∞??=????
我们知道对J 迭代法来说其迭代的矩阵表示式为(1)()1
k k x
Bx D b +-=+ 对G-S 迭代法来说其迭代的矩阵表示式为(1)()1
()k k x
Gx D L b +-=+- 在这里有1 1.21.52D b -????=?????? ， 1
1.2() 1.35
2.11D L b -??
??-=??????
对J 迭代法有：(1)(1.2,1.5,2)T x = ，已知(0)
(0,0,0)T
x =
故得 }{(1)=max 1.2,1.5,2=2x x
∞
- （0）
对G-S 迭代法有：(1)(1.2,1.35,2.11)T x = ， 已知(0)
(0,0,0)T
x =
故得(1)=2.11x x
∞
- （0）
由定理可知：对于方程组x Bx d =+
，如果1B <，则：有误差估计式
()*(1)()(1)(0)1
...11k
k k k B x x x x x x B B
+-≤
-≤≤---
可得：()*
(1)(0)
(1)
ln /ln k x x B k B x x
--≥- ，在这里有1/31B ∞
=<，=141G ∞
<，符合
上述条件。
故对J 迭代法有：6
(2/3)10ln(
)ln(1/3)13.5762
k -?≥= ，取k=14 ，知共需迭代14次才能使误差()*
610k x x
-∞
-≤ 。
故对G-S 迭代法有：6
0.7510ln(
)ln 0.2510.7122.11
k -?≥= ，取k=11，知共需迭代11次才能使误差()*
610k x x
-∞
-≤ 。
4. 给定方程组 121223(1)324
x x x x +=??
+=? ，
1212324(2)23x x x x +=??+=?
取(0)
(1.01,1.01)T
x = ，分别用J 迭代法和 G-S 迭代法求解，问是否收敛？若收敛，则求出
满足()*
310k x x
-∞
-≤ 的解。
解：对方程组（1）
可知方程组的系数矩阵为1232A ??=????，34b ??
= ???
将A 写成A=D-L-U 的形式为10022300A -??????
=--?
?????-??????
对于两种迭代法，它们的迭代矩阵分别为：
2()3
02
J B D L U --??
??=+=??-??
1迭代： ， 102()03G S D L U --??
-=-=??
??迭代：G
分别求B 和G 的特征值：对B 有230I B λλ-=-=
，得12λλ==故可得{
}12
()max 1i
i B ρλ≤≤==
>。
对G 有
(3)0I G λλλ-=-=，得120,3λλ==
故可得{}12
()max 31i
i G ρλ≤≤==>。
故可知：J 迭代法和G-S 迭代法求解方程组（1）时均不收敛。 对方程组（2）
首先判断其收敛性：
可知方程组的系数矩阵为3212A ??=????，43b ??
= ???
将A 写成A=D-L-U 的形式为30022100A -??????
=--?
?????-??????
对于两种迭代法，它们的迭代矩阵分别为：
203()102
J B D L U -?
?-?
?=+=?
???
-????1迭代： ， 1
203()103G S D L U -?
?-??-=-=?
???????
迭代：G 分别求B 和G 的特征值：对B 有21
03
I B λλ-=-=
，得121/1/λλ==- 故可得{
}12
()max 1/
1i
i B ρλ≤≤==<。
对G 有
(1/3)0I G λλλ-=-=，得120,1/3λλ==
故可得{}12
()max 1/31i
i G ρλ≤≤==<。
故可知：J 迭代法和G-S 迭代法求解方程组（2）时均收敛。
【其实这里有更简单的判定方法：即通过方程组的系数矩阵A 是严格的主对角占优的，故对两种迭代法都收敛。】
下面来进行具体求解：
对J 迭代法来说其迭代的矩阵表示式为(1)()1
k k x Bx D b +-=+ ，其中14/33/2D b -??= ???
对G-S 迭代法来说其迭代的矩阵表示式为
1()k k x Gx D L b +-=+-
其中
1
4/3
()5/6D L b -??-= ???
我们可得J 迭代法和G-S 迭代法的迭代格式分别为：
(1)()12
(1)()21
42:33
1.50.5k k k k x x J x x ++?=-???=-? ， (1)()
12
(1)()
224233:5163k k k k x x G S x x ++?=-??-??=+??
这里显然可得该方程组的精确解为()*
=0.5,1.25T
x
代入上公式经整理可得下表： 对J 迭代法：
K
()1k x
()2k x
()*k x x
∞
-
0 1.01 1.01 0.51 1 0.66 0.995 0.255 2 0.67 1.17 0.17 3 0.553333 1.165 0.085 4 0.556667 1.223333 0.056667 5 0.517778 1.221667 0.028333 6 0.518889 1.241111 0.018889 7 0.505926 1.240556 0.009444 8 0.506296 1.247037 0.006296 9 0.501975 1.246852 0.003148 10 0.502099 1.249013 0.002099 11 0.500658 1.248951 0.001049 12 0.500699
1.249671
0.000699<0.001
此时：()*
3
=0.000699<10k x x
-∞
- ，结束计算，知解为()(12)
=0.500699,1.249671T
x
对G-S 迭代法：
K
()1k x
()2k x
()*k x x
∞
-
0 1.01 1.01 0.51 1 0.66 1.17 0.16 2 0.553333 1.223333 0.053333 3 0.517778 1.241111 0.017778 4 0.505926 1.247037 0.005926 5 0.501975 1.249012 0.001975 6 0.500659
1.249671
0.000659<0.001
此时：()*
3
=0.000659<10k x x
-∞
- ，结束计算，知解为()
(6)
=0.500659,1.249671T
x
由两表格我们也可直观看出J 迭代法和G-S 迭代法均收敛，且可看出G-S 迭代法收敛的更快。
5.比较使用下述方法求方程1020x e x +-= 的正根，准确到三位小数所需要的计算量： （1）在区间 [0, 1] 上用二分法； （2）用迭代法11
(2)10
k x k x e +=-，取00x =。 解：（1）
方法I ：在区间[0,1]上有：(0)0f <，(1)0f >。令110,1a b ==，则10.5x =。
1()(0.5)0f x f =>，令22
2220,0.5,0.25,
0.0012b a a b x ε-===>= (0.25)0f >，令33
3330,0.25,0.125,2
b a a b x ε-===>
(0.125)0f >，令44
4440,0.125,0.0625,2
b a a b x ε-===>
(0.0625)0f <，令55
5550.0625,0.125,0.09375,2
b a a b x ε-===>
(0.09375)0f >，令66
6660.0625,0.09375,0.078125,2
b a a b x ε-===>
(0.078125)0f <，令77
7770.078125,0.09375,0.0859375,2
b a a b x ε-===>
(0.0859375)0f <，令88
8880.0859375,0.09375,0.08984375,2b a a b x ε-===>
(0.08984375)0f <，令999990.08984375,0.09375,0.091796875,2b a
a b x ε-===>
(0.091796875)0f >，令10101010100.08984375,0.091796875,0.090820312,2
b a
a b x ε-===<
结束计算，共需计算10次。可知：()0f x =的一个正根的近似值为100.090820312x =。 方法II ：由上方法I 可知，计算量太大，不方便，因而可采用如下的方法来求出计算次数。
由
22k k k b a b a ε--=≤，得ln()ln ln 2
b a k ε
--≥
在这里?=0.001，b=1, a=0 代入上式可得9.97k ≥，所以取10k =。
（2）由题可知：迭代格式为11
(2)10
k x k x e +=-，k=0,1,2…，得到一个序列{}k x ，见下表。
k k x
1k k x x +-
0 0 1 0.1 0.1 2 0.08948 0.01052 3 0.09064 0.00116 4
0.09051
0.00013<0.001
由上表可知：共需迭代4次，方能达到精度要求，()0f x =的一个正根的近似值为
40.09051x =。
6.利
用y =
在点x=100,121,144的函数值，用拉格朗日插值
求的近似值，
并由误差公式给出误差界，同时与实际误差作比较。
解：建立数据表，如下所示：
i x
100 121 144 ()i f x
10 11 12
现分别采用一次插值和二次插值求解f(115)的近似值：
一次插值取两个节点0100x =，1121x =，115x =
1115121115100
(115)(115)101110.7143100121121100
f L --≈=
?+?=--
二次插值的3个节点0100x =，1121x =，2144x =，115x =
2(115121)(115144)(115100)(115144)(115100)(115121)
(115)(115)101112
(100121)(100144)(121100)(121144)(144100)(144121)
f L ------≈=
?+?+?------ 解之得：2(115)(115)10.7228f L ≈= 现用插值余项来估计截断误差。
3
-21111
(115)(115)(115)-615,(100,121)2!4
R f L ξξ=-=???∈（）.
3211
(115)10900.0112524
R -≤???=
5
-22213(115)(115)(115)15629,(100,144)
3!8R f L ξξ=-=????∈.
5213
(115)10156290.0016313!8
R -≤
????=
10.7238=
实际误差为：1(115)(115)10.723810.71430.0095f L -=-=
2(115)(115)10.723810.72280.001f L -=-=
数值分析大作业-三、四、五、六、七
大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用 程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; 上海大学数学分析历年考研真题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +L ，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且 [] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>? =??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???，讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性. 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?. 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限1 lim ();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?',其中()f x 2 ,(1) .1,(1)t t t t ≤?=? +>? (3) 已知( ) 21 1arctan 2tan 1sin 2 x x ' ??=??+??,求积分2011sin I dx x π=+?. 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 2003年传播学理论考研试题 一、解释（3*10=30分） 1.劝服论 2.舆论 3.传播媒介 4.内向传播 5.维模原理 6.知晓权 7.近体 8.沉默的螺旋 9.文化规范论 10.多视觉新闻学 二、简答（5*12=60） 1.传播学包括哪些基本内容？ 2.简介传播学4位奠基人的主要理论贡献与论著 3.冷媒介与热媒介 4.简述梁启超的新闻传播思想 5.提高宣传效果应注意的问题 三、论述（60分） 1.联系实际，辨证分析传播的功能（40分） 2.多网络传播的特点及与传统媒体的关系（20分） 2003年传播学研究方法考研试题 一、名词解释（4*10） 1.定量研究 2.经验社会学 3.连续变量 4.抽样 5.名目尺度 6.多因素设计 7.个案研究 8.抽样误差 9.信度 10.相关分析 二、简答题（60分） 1.实地访问的重要类型 2.内容分析的方**原则 3.实验的控制主要应把握的两个方面 三、论述题（50分） 问卷的结构分析 2004年试题 R检验 描述性统计分析 定量 简单随机抽样 内容分析 经济传播 信息污染 文化分层 议程设置 铅版 定量与定性的区别和联系（论述）上大05年传播学理论试题 一、名词解释 1.莱温 2.传播者 3.媒介情景非真实化 4.内向传播 5.新闻 6.文化传播的“维模”原理 7.知晓权 8.集权主义理论 9.申报 二、简答题 1.结构功能理论 2.宣伟伯模式 3.议程设计理论 三、论述题 1.麦克鲁汉的媒介理论 2.陈独秀的新闻思想 2005年传播学研究方法 一、名词解释（8*5） 1.信度、效度 2.内容分析 3.分层抽样 4.个案研究 5.控制实验 6.R检验 7.假设 8.答案的穷尽性 二、简答题（4*15） 1.问卷设计中常见的错误有哪些？ 2.定量研究方法的具体步骤并图示 3.科学的研究设计包括哪几项？ 4.问题设计的原则 三、论传播学研究的交叉性（50） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 数值分析报大作业 班级：铁道2班 专业：道路与铁道工程 姓名：蔡敦锦 学号：13011260 一、序言 该数值分析大作业是通过C语言程序编程在Microsoft Visual C++ 6.0编程软件上运行实现的。本来是打算用Matlab软间来计算非线性方程的根的。学习Matlab也差不多有一个多月了，感觉自己编程做题应该没什么问题了；但是当自己真心的去编程、运行时才发现有很多错误，花了一天时间修改、调试程序都没能得到自己满意的结果。所以，我选择了自己比较熟悉的C程序语言来编程解决非线性的求值问题，由于本作业是为了比较几种方法求值问题的收敛速度和精度的差异，选择了一个相对常见的非线性函数来反映其差异，程序运行所得结果我个人比较满意。编写C语言，感觉比较上手，程序出现问题也能比较熟练的解决。最终就决定上交一份C程序语言编程的求值程序了！ 二、选题 本作业的目的是为了加深对非线性方程求根方法的二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法弦截法等的构造过程的理解；能将各种方法的算法描述正确并且能够改编为程序并在计算机上实现程序的正确合理的运行，能得到自己满意的结果，并且能调试修改程序中可能出现的问题和程序功能的增减修改。本次程序是为了比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 为了达到上面的条件我选择自己比较熟悉的语言—C语言来编程，所选题目为计算方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]内其最后两近似值的差的绝对值小于等于5 ?的根的几种方法的比较。 110- 本文将二分法、牛顿法、简单迭代法、弦截法及加速收敛法这五种方法在同一个程序中以函数调用的方式来实现，比较简洁明了，所得结果能很好的比较，便于分析；发现问题和得出结论。 第1周(第五章:函数依赖、推理规则、闭包) 二、研讨课: 1、假设员工关系EMＰ(员工号,姓名,部门,部门电话,部门负责人,家庭住址,家庭成员,成员关系)如下表所示。如果一个部门可以有多名员工,一个员工可以有多个家庭成员,那么关系EMP属于数据冗余问题;为了解决这一问题,应该将员工关系EMP分解为(员工号,姓名,部门，家庭地址,家庭成员,成员关系)(部门,部门负责人,部门电话), 画出ER图(上学期学过了,很简单，懒得画),主外键（主键：员工号,外键：部门)(主键： 2、判断Ｆ＝{Ａ->ＢC,Ｂ-＞Ａ,AＤ－>E｝与G={A－＞BC,B->A，BD->Ｅ｝就是等价得 因为B－＞A,所以BD－>AＤ,因为AD-＞Ｅ，所以BD->E,所以。。。 3、设关系模式R具有ｎ个属性,在模式R上可能成立得函数依赖有 (1) 个?其中平凡得ＦD有 (２）个?非平凡得FＤ有（3) 个？以上3点都需说明为什么 三、作业: 1、设函数依赖集F={AB－>Ｅ,ＡＣ-＞Ｇ,ＡD-＞BG,B->C，C-＞D｝,试证AC->G就是冗余得。 AD->ＢＧ，C－>Ｄ,所以ＡC->BＧ,所以AC－>G,所以冗余 2.课本Page124:习题5、3 （1)X->?永远满足。 (２)?->Ｙ,则属性Ｙ对于各元组得值相同。 （３)?->?为平凡得函数依赖,永远满足。 3、课本Ｐage1２4:习题５、8 证明:(反证法)假设存在A→Ｂ 那么 A→AB, 关系模式R得候选码即为A,不就是全码 ∴假设不存在,Ｒ不满足A→B 同理：R不满足 B→A ?第２周(第五章：、关键码、最小函数依赖集） 二、研讨课: 2.设有函数依赖集:F={AB->C,C->Ａ,BＣ->D,ACＤ－>Ｂ,Ｄ->ＥＧ,BE->C,CＧ-＞BD,ＣE-＞AＧ},计算其等价得最小依赖集。 1、把右边都写成单属性 AＢ->C,Ｃ->A,BC->D,ACD->B,D->Ｅ,D－>Ｇ,BE->C，CG->B,CＧ->D,CE->Ａ,ＣE->G ２、去左边冗余属性 Ｃ－＞Ａ,CE->Ａ冗余,去掉CE->A,所以 AB－>Ｃ,C->Ａ,BC->D,ACＤ->B,D->Ｅ,Ｄ->G，BE->C,ＣG－>B,CG-＞D,CE-＞G 3、去冗余得FD D-＞G,所以CD－＞CG,ＣG->B,所以CD->B,所以ACＤ－>B，所以ＡCD->B冗余 所以 AＢ->C,Ｃ－>A，BＣ->Ｄ,Ｄ－＞Ｅ,D->Ｇ,ＢＥ－>Ｃ，CＧ-＞B,ＣG－>D,ＣE->Ｇ3．已知R(ABCDE),F={Ａ→B，BC→A，A→Ｄ},求R得全部非主属性。 L:C R：D N:Ｅ LR:A,B CE+=CE AＣＥ＋＝ABCＤE BCE＋=ＡBCDE 所以非主属性为D 三、作业： 1、已知Ｆ=｛B→D,A→Ｄ,DＡ→ＣB,CＤ→Ａ},求Fmiｎ。 1、右边单属性 Ｂ→D,A→D，DA→C,DA→B，ＣD→A 2、左边冗余属性 A→Ｄ，DＡ→C,ＤA→B，所以A→C,Ａ→B 所以 B→Ｄ,A→Ｄ,A→C，A→B,CD→A ３、冗余得ＦD:无 ２、如果关系模式R(A,B)得候选码为(A,B)(即为全码),那么该关系模型一定不满足A→B,或Ｂ→Ａ。 没什么好说得 3、设有R(ＡBCＤE),Ｆ={ A→C,Ｂ→C，C→D,CE→A，DE→C },求候选码。 L：B,E R: Ｎ： ＬR：A，C,D ＢE＋=ABＣDＥ 所以BE 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设无向图G 的邻接矩阵为 ??????? ? ??? ?? ???010 1010010000 011100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝ A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集 C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集 图三 7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )． 图四 A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的 C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，K n 中存在欧拉 回路． A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 10．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )． A．G中所有结点的度数全为偶数 B．G中至多有两个奇数度结点 C．G连通且所有结点的度数全为偶数 D．G连通且至多有两个奇数度结点 11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树． A．1 m n-+B．m n-C．1 m n++D．1 n m -+ 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )． A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 上大学数据库上机作业 《数据库系统与应用》上机习题************************************************************************************************* 第四部分、SQL查询━━嵌套和组合统计查询要求掌握：利用SQL查询语言表达嵌套查询语句以及数据查询中的统计计算和组合操作。 一、做书上第九章余下的例题，并完成书上练习题9中第11、12、13、14题 11.if exists(SELECT*FROM sys.objects WHERE name=student) 12. 二、利用图书_读者数据库 1. 求机械工业出版社出版的各类图书的平均价。 USE图书读者 SELECT类别,A VG(定价)AS平均价 FROM图书 WHERE出版社='机械工业出版社' GROUP BY类别 2.求各类图书的最高价、最低价、图书的数量。 USE图书读者 SELECT类别,MAX(定价)AS最高价,MIN(定价)AS最低价,COUNT(*)AS数量 FROM图书 GROUP BY类别 3.查找图书类别，要求类别中最高的图书定价不低于全部按类别分组的图书平均定价的1.5倍。 USE图书读者 SELECT类别 FROM图书 WHERE定价=ALL (SELECT MAX(定价) FROM图书 WHERE定价<=ALL (SELECT A VG(定价)*1.5 FROM图书)) 4.计算机类和机械工业出版社出版的图书。 USE图书读者 SELECT* FROM图书 WHERE出版社='机械工业出版社'AND类别='计算机' 5.查询所有读者借阅过的书，要求按读者姓名、书名来排序。 USE图书读者 SELECT读者.编号,借阅.读者编号,姓名,书名 FROM图书,读者,借阅 WHERE读者.编号=借阅.读者编号AND借阅.书号=图书.书号 ORDER BY姓名 6. 查询所有在2008.11.15日以后被借阅过的图书名及借阅者。 USE图书读者 SELECT读者.编号,借阅.读者编号,书名,姓名,借阅日期 FROM图书,读者,借阅 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i 得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-， 上海大学2009年度研究生入学考试题 数学分析 1. 1222lim 0,lim 0n n n n a a na a n →∞→∞++== 求 2.叙述一致连续定义。问()22cos cos g x x x =+是否是周期函数？证之 3. ()f x 在[)1,+∞可导，()()() 22111,f f x x f x ′==+且证()lim x f x →+∞存在且极限小于14π + 41 2 0sin ,x I dx x = ∫误差<0.0005 5.()()(0,)13,,0, f x C f x y ∈+∞ = >当()()()111,xy y x f t dt x f t dt y f t dt =+∫∫∫()f x 求 6. ()f x 在[],a b 可积. ()[][]0,,,b a f x dx a b αβ≠ ?∫是否存在，[](),f x αβ 使上为恒正或者恒负。证之 7. }{()1lim 01n n n n n n x x x ∞→+∞== ?∑在的条件下，试问收敛吗？证之 8. ()f x 在[)1,+∞单减连续可微，()lim 0,x f x →+∞ = ()()1lim 0x xf x dx xf x +∞→∞ =∫证明：当收敛，则 9.证明： ()1,2n n f x x n = =，，…在[)0,1非一致收敛，但()()[)S 1,20,1n n g x x x n = =，，…在上一致收敛，其中()S x 在[)0,1上连续且()S 1=0 10()[]01f x C ∈ ，，证明：()()()10lim 11n x n x f x dx f →+∞+=∫ 11a 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为 ( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ， 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 16、 求解方程组???=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ? ????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。 这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 数值分析大作业（2013年5月） 金洋洋（12721512），机自系 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它 们的绝对误差限, 相对误差限和有效数字的位数。 X1 =5.420, x 2 =0.5420, x 3=0.00542, x 4 =6000, x 5=50.610? 解：根据定义：如果*x 的绝对误差限 不超过x 的某个数位的半个单位，则从*x 的首位非零数字到该位都是有效数字。 显然根据四舍五入原则得到的近视值，全部都是有效数字。 因而在这里有：n1=4, n2=4, n3=3, n4=4, n5=1 （n 表示x 有效数字的位数） 对x1：有a1=5, m1=1 （其中a1表示x 的首位非零数字，m1表示x1的整数位数） 所以有绝对误差限 143 11 (1)101022 x ε--≤ ?=? 相对误差限 31() 0.510(1)0.00923%5.4201 r x x x εε-?= == 对x2：有a2=5, m2=0 所以有绝对误差限 044 11 (2)101022 x ε--≤ ?=? 相对误差限 42() 0.510(2)0.00923%0.54202 r x x x εε-?= == 对x3：有a3=5, m3=-2 所以有绝对误差限 235 11 (3)101022 x ε---≤ ?=? 相对误差限 53() 0.510(3)0.0923%0.005423 r x x x εε-?= == 对x4：有a4=0, m4=4 所以有绝对误差限 4411(4)1022 x ε-≤?= 相对误差限 4() 0.5 (4)0.0083%6000 4 r x x x εε= = = 对x5：有a5=6, m5=5 所以有绝对误差限 514 11(5)101022 x ε-≤ ?=? 相对误差限 45() 0.510(5)8.3%600005 r x x x εε?= ==数值分析试题及答案汇总
数值分析大作业三 四 五 六 七
上海大学数学研究分析历年考研真题
数值分析试卷及其答案
数值计算方法大作业
上海大学历年考研真题
数值分析试题及答案
数值分析大作业
上海大学数据库2原理研讨+作业的个人解答
数值分析试题及答案
上海大学-离散数学2-图部分试题
(完整版)上海大学数据库上机作业上机练习4作业
北航数值分析报告第三次大作业
上海大学2009年数学分析考研试题
《数值计算方法》试题集及答案
北航数值分析大作业第二题精解
数值分析计算方法试题集及答案
上海大学_王培康_数值分析大作业