2011中国奥林匹克竞赛题

原题：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 为弧BC 中点，点X 为弧BD 上一点，点E 为弧AX 中点，点S 为弧AC 上一点，连接ES 、DS 分别交AX 、BC 于T 、R ，若TR ∥DE,则△ABC 的内心为I 在DE 上。

∴∠SK 1A=∠STA=)(2

1)(21??

??+=+AE SA XE SA =∠SDE=∠SRT=∠SRJ ，

逆命题：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， I 为△ABC 的内心，点D 为弧BC 中点，点X 为弧BD 上一点，点E 为弧AX 中点，过I 的直线TR ∥DE,分别交AX 、BC 于T 、R ，连接ET 、DR 交于S ，则点S 在⊙O 上。

思路：设ET 交⊙O 于S ，连接SR 、DR 、SD ，证明点S 、R 、D 三点共线。

证明：连接AD 、CE 、SC 、SA 、SI 、CX ，点I 为△ABC 内心，则AD 经过点I ，设CE 交TR 于J ，连接AJ 、CI 交于K ，连接SK 、SJ 。

∵点D 为弧BC 中点，点E 为弧AX 中点，点I 为△ABC 内心，

∴∠ACE=1/2∠ACX, ∠ACI=∠BCI=1/2∠ACB,

∠CAI=∠BAI,

∴∠ECI=∠ACE －∠ACI=∠BCI=1/2（∠ACX －∠ACB ）

=1/2∠BCX= 1/2∠BAX 。

∵TR ∥DE, ∴∠AIT=∠ADE=∠ASE=∠ACE,

∴点A 、T 、I 、S 和A 、I 、J 、C 均四点共圆，

∴∠ACI=∠AJI=∠BCI, ∠CAJ=∠CIJ, ∠ECI=∠IAJ= 1/2∠BAX 。,

∴点C 、K 、J 、R 四点共圆，

∵∠CAJ=∠CAI －∠IAJ=∠BAI －∠IAJ=∠DAX+∠BAX －∠IAJ=∠DAX+∠IAJ=∠JAX= ∠CIJ, ∴点A 、T 、I 、K 四点共圆，又点A 、T 、I 、S 四点共圆，∴点A 、T 、I 、K 、S 五点共圆，

∴∠SKA=∠STA=1/2()(2

1)(21??

??+=+AE SA XE SA =∠SCE=∠SDE ， ∴点C 、S 、K 、J 四点共圆，又点C 、K 、J 、R 四点共圆，∴点C 、S 、K 、J 、R 五点共圆， ∴∠SRJ=∠SCE=∠SDE, ∵TR ∥DE, ∴点S 、R 、D 三点共线，即点S 在⊙O 上