计算力学(有限单元法)第四章重点整理

第四章

一、杆单元 平面杆单元（轴力）

1)位移函数：121(),()i i u x x x x x αα-=+≤≤ 2）形函数：1

111

,e

e i i i i i i i i x x x x N N x x x x ------=

=

-- （拉格朗日多项式） 则{}11

i e

e

e

e i i

i i

i u u N N N u δ--??????==????

????

3）单元应变和应力：（设1i i L x x -=-） {}[]{}1

[]11e e i i i du B dx L

εδδ=

==-，{}[]e i i E E B σεδ== 4）单元刚度矩阵：

1

11[][]11i

i x e T i

i i x EA K B AE B dx L --??

??=

=????-??

?

5）单元等效节点力： {

}{}1

1[]12

i

i x e

e i

i i x gAL F gA N dx ρρδ-??

=-=

????

?

二、梁单元

不考虑剪切变形的平面梁单元

1、 弯剪平面梁单元（,v θ仅有位移v 是独立的，其中dv dx

θ=） 1） 位移函数：231234()v x x x x αααα=+++

2） 形函数：3233122322233

32324(32)/(2)/(32)/()/N l lx x l N l x lx x l

N lx x l N lx x l

?=-+?=-+??=-?

?=--?（Hermite 插值函数解得） 则{}

[]11123

422e e

v v N N N N N v θδθ??

??????==????

??????

3） 单元应力和应变：

{}{}223[][(126)(64)(126)(62)]b

i i i d v y

y B x l l x x l l x l dx l

εδδ=-==------

{}{}[]b e E E B σεδ==

4） 单元刚度矩阵：

2230

2212

61266462[][][]([][])1261266264l

e T T z V A l l l l l l EI k B D B dv E B B dx dA l l l l l l l -????-????===????---??-??

??????

考虑轴向变形后：32322

23232220000

1261260

064620

00001261260

0626400

z z

z

z z

z z

z e

z z z

z z z z

z EA

EA l

l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l k EA

EA l l EI

EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l

l

l ??-

???

???-

??

?

???-??

??=??????

-????---???

???-???

? 5） 单元等效节点力：

{}0

[]

()l

e

T

y

y F N p x dx =?，其中{}{}T

e y

i

i j

j F

Q

M Q M =

2、 弯剪扭平面梁单元（截面形心和扭心重合时，弯曲和扭转是相互独立的） 1） 基本位移未知量：{}{}T

e

xi

yi

i xj yj j w w δθ

θθθ=

2） 等效节点力:{

}{}T

e

xi

yi

zi

xj

yi

zj F

M M Q M M Q =

3） 单元刚度矩阵：（见上册书P98） 考虑剪切变形的平面梁单元 1） 位移函数：12()u x x αα=+

231234()b v x x x x ββββ=+++（弯曲变形引起的挠度） 12()s v x x γγ=+（剪切变形引起的挠度）

2） 形函数：3233

12232

2233

32324(32)/(2)/(32)/()/N l lx x l N l x lx x l

N lx x l

N lx x l

?=-+?=-+??=-??=--?和56()//N l x l N x l =-??=?

则{}{}

5

61

2

3

400000

i b i b

b

b

i e

e j b j j u v N N v N u N N N N v θδθ??????????????==??????

????

????????

，{}[]5

6s

s

s i s e e s j v v N N N v δ??????==????????

3） 单元应力和应变：

{}[]{}

{}32

3

21

10000

(126)(64)

(126)

(62)00

b

b b

b e e l

l B y x l y x y x l y x l l l l εδδ??

-??==?

?----??---

???

?

{}[][]{}

[]{}00b

b

b

b b b

e e EA D B B EI σδ

δ??==????

{}{}11[]s

s

s s e e B l

l εδδ??==-

????

s s s s

GA D k

σεε==

4） 单元刚度矩阵：

32322

23

232220000

1261260

064620

00012612600626400

z z

z

z z

z z

z b

e z

z z

z z z z

z EA

EA l

l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l k EA

EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l

l

l ??-

???

???-

??

?

???

-????=??????

-????---???

???-???

?,11[]11e s

GA k kl -??=??-??

由几何关系可得整体刚度矩阵：

323222

323

220000

12612600(1)(1)(1)(1)64)62)00

(1)(1)(1)(1)0000

12612600(1)(1)(1)(1)6(20(1)z z z z z z z z e

z z

z z z EA

EA

l

l EI EI EI EI b l b l b l b l EI b EI EI b EI b l b l b l b l k EA EA l l EI EI EI EI b l b l b l b l EI b b l -

-

-

-

+++++--

++++??=??

---++++--+（（2

)6(4)0

(1)(1)(1)z

z z EI EI b EI b l b l b l ?????

?????

?

?

???????????

?

????

?

?

+??-

??+++?

?

其中2

12EIk

b GAl = Timoshenko 梁单元（截面转角θ与挠度w 独立变化） 1） 几何关系：

,dw d dx dx

θ

γθκ=

-=- 2） 形函数：1211,22

N N ξξ

-+== 22

1

1

,i i i i i i v N v N θθ====∑∑

1

21

1000

i i j j v N N v v N N θθθ??????????=????????????

????

3） 单元应力与应变：

b s εεε=+

[]{}{}[]{}11000101b

b e e e

dN dN B dx dx εδδδ?

?==-

-=-???

?

[]{}{}[]{}121

21111s

s e e e dN dN B N N dx

dx

εδδδ??

==--=--?

???

4） 单元刚度矩阵：

2222

00001

/21/20101/2/3/2/600001/21/201

01/2/6/2/3e e e b s l l l l l l EI GA K K K l l l kl l l l l -????????--????=+=

+????

---?

???--????

5） 等效节点荷载：

{}0

0[]l

e

T F

N dx q ??=?????，其中121

200[]0

N N N N N ??

=????

三、坐标变换

1、坐标变换矩阵[]T ：把单元位移从结构整体坐标转换单元坐标系的变换矩阵—{}{}[]e

T δδ= 平面单元

1）平面铰接杆单元与弯剪平面梁单元（连续梁）

cos sin 00sin cos 00[]00cos sin 0

0sin cos T ααααααα

α????-?

?=??

????

2）轴剪弯平面梁单元（刚架）与面外弯剪扭平面梁单元

cos sin 0000sin cos 00000010

00[]000cos sin 0000sin cos 00

1T ααααααα

α????-????=?

?????-????

空间单元

1） 空间杆单元(,,)u v w

[][]00[]T λλ??=????，其中坐标系的旋转矩阵1112

13212223313233[]λλλλλλλλλλ??

??=??????

（λ代表单元坐标轴,,x y z 在整体坐标系,,X Y Z 中的方向余弦）

111213,,j i j i j i X X Y Y Z Z λλλ=-=-=-（单位长度）

212223λλλ===

3132330,λλλ===

2） 空间梁单元(,,,,,)x y z u v w θθθ

[][][][]

[]T λλλλ??

????=?????

?，其中坐标系的旋转矩阵1112132122233132

33[]λλλλλλλλλλ??

??=??????

111213,,j i j i j i X X Y Y Z Z λλλ=-=-=-

213312311113112211212223()()()

,,A A A A A A A A A

λλλλλλλλλ---=

==

312313233,,A A A

A A A

λλλ=

== 注：在主惯性平面xy 上任取一参考点(,,)k k k k X Y Z

123,,,k i k i k i

k k k k

X X Y Y Z Z g g g D D D D ---=

===

111221321132113211112,,,A g g A g g A g g A λλλλλλ=-=-=-=

四、梁端自由度释放

原刚度矩阵e

O

OR RO R K K K K ??

?

???

释放自由度后的刚度矩阵1

e O OR R RO K K K K K -=-

五、带刚域的梁 单元刚度矩阵：[][]

[][]'T

d d k T k T =

其中1

00000010000

01000[]0001000000100

00001d a T ????????

=?

?????

??

??