同济大学2009-2016高数B期末考试题
同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空题(4'416'?=)
1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,'dx y dy y ≠=, 则223
"
'd x
y dy
y =
-
.
2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)
t
x f t y f e π
=-??
=-?所确定的函数的 导数
32
t dy
dx ==.
3. 极限111lim(
)ln 2
12n n n n n
→∞
+++=+++ .
4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos 2sin 2x x Ax B e C x D x E
-++++.
二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x
f x a e
=
+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b
<>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥<
6. 曲线1
ln(1)x y e x
-=
++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x +
→
时的无穷小量2
sin ,,(1)x
x t tdt tdt e dt αβγ=
==-?
?排列起来, 使
得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ]
()
,,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且2
()
(0)0,lim
2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.
三. 解答题(7'428'?=) 9. 求极限30sin sin(sin )lim
x x x x →-, [30sin 1
lim 6
t t t t →-==] 10. 计算定积分2
40tan sec x x xdx π
? [22
4400111(tan )(sec 1)28242
xd x x dx ππ
ππ==--=-??]
11. 计算反常积分
22
1
arctan (1)
x
dx x x +∞
+?
[2212210
111113(
)arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232
xdx xd x x x x ππ+∞
+∞+∞
=-=--=+++??] 12. 试求微分方程
221
(1)dy y x y dx x
+=-的通解 [22
1111()'()1(ln )2
x x x x c y x y y -=-?=-+]
四. (8')求曲线ln y x =上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.
[3
122222
21(1)(1)(21)1
(0)'(,ln 2)22
x x x R x R K x x ++-==>?=?-] 五. (8')
设不定积分n n I =
,
(1)计算01,I I ; (2)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n = 的递推公式
[(1)01arcsin ,I x c I =+=
[(2)211
n n n n I I x c n n
---=
-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续, 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点
[,]a b ξ∈,
使()()()()b
a
b
a
f x
g x dx
f g x dx
ξ=??
. [min
max ()()()b
a
b
a
f x
g x dx
f f
g x dx
≤
≤??
]
七. (8')过坐标原点作曲线2
1(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平 面图形为D , 试求:
(1)平面图形D 的面积; (2)平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, [12,,32
y x S V π===] 八. (8')已知22123,,x
x
x
x
x
x
x y xe e y xe e y xe e
e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐
次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)x
x x x y c e
c e xe y y y x e -=++--=-]
同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空题(4'416'?=)
1. 已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()e
x e x e x x f x f x x e e
-
→-=
+-, 则 2
l i m ()
1
x e
e f x e →=-.
2. 设函数2()ln(23)f x x x =+-, 则()
11(2)(1)(1)!(
1)5n n n
f
n -=
--+.
3. 不定积分
1tan 1
(tan ln tan )sin 22
x dx x x C x +=++?.
4. 定积分
sin 2sin cos 0
333
4
x
x x
dx π
π
=+?
.
二. 选择题(4'416'?=)
5. 曲线3
2
331(1)31t x t t t y t ?=??+≠-??=?+?
的斜渐近线方程为 [A ] :1A y x =--; :1B y x =-; :1C y x =-+; :1D y x =+.
6. 曲线22
162y x x =-上点(2,0)P 处曲率K = [B ]
:0A ; :16B ; 1
:
16
C ; :4
D . 7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x [C ] :A 均为奇函数; :B 均为偶函数;
:C 中只一个奇函数; :D 既非奇函数也非偶函数.
8. 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆22
22x y +=的周长,
则 [D ] 12:A s s π-=; 12:B s s >; 12:C s s <; 12:D s s =. 三. 解答题(4'728'?=)
9. 求极限302cos (
)13lim x x x x
→+-. [2cos ln 333001(cos 1)1lim lim 36x
x x x e x x x x +→→--===-]
10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数, 且0()
lim 2x f x x +→=, 证明()f x 在0x =处可导,
并求'(0)f . [00()(0)()(0)
(0)0,lim lim 2'(0)00
x x f x f f x f f f x x +-
→→--====--] 11. 求定积分
2
1
[]max{1,}x x e dx --?
, 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.
[0
12
1
1
02x I e dx dx dx e --=-++=-?
??]
12. 判定反常积分
2ln 1
e x dx x +∞
-?的收敛性, 如果收敛, 求出其值.
[21ln 111
(ln 1)()[]e e x I x d x x x e
+∞+∞-=--=--=?] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限00
()lim ()x
x
x tf x t dt xf x t dt
→--??
.
[0
()()()()1
lim
lim
lim
[()()]2
()()()x x
x
x
x x x x x f u du uf u du
f u du
xf x f x f x f u du
xf x f u du
ξξ→→→∞-====++???
??]
五. (8')设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当
[0,)x π
∈时()f x x =, 试求3()f x dx π
π
?.
[2322(sin )(2)2I x x dx x dx π
π
π
π
πππ=
-++-=-??]
六. (8')设n 为正整数, 函数2lim ,0()100nx n x x f x e x x -→∞?
≠?
=--??=?
, 求曲线()y f x =与直线
2
x
y =-
所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. [122202001()[()()]()1283,01
x x x f x V dx x x x x πππ?
=?=---=-?+-≥?+??] 七. (8')求微分方程2
2
3(1)
20dy x y xy dx -+=的通解. [22231111
()'()()x x x C y y y y
+=?=-] 八. (8')令sin x t =, 化简微分方程22
arcsin 2(1)x d y dy
x x
y e dx dx ---=, 并求其通解. [22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 12
2arcsin 2
t x x
x d y x y e y C e C e e dt -?-=?=++]
同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限3
1lim(
)2
x
x x e x →∞
+=-.
2. 若极限000
(2)()
lim
3h f x h f x h
→--=, 则03'()2
f x =
-
.
3.
积分
2
22
16(3
x x dx -+=
?.
4. 积分2cos 2cos 1
sin 2
x
x xe
dx e C =
-+?
.
5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为12
12()x y c x c e
=+.
6. 记41sin I xdx π
π
-=
?, 22sin I xdx π
π
-=?, 23I x dx π
π
-=?, 21sin I x xdx π
π
-=?. 则这4项积
分的大小关系为 [ B ] ()A 2134I I I I >>>;()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.
7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 [ A ] 21
1()
2A dx x +∞
+?
;
()e B +∞?; ()sin C xdx +∞-∞?; 101()1D dx x -? 8. 若函数23
ln(1)ln 2
,1()1
1x x f x x a x ?+-≠?=-??=?
在1x =连续, 则常数 [ D ] ()A 23a =; ()B 23a =-; ()C 13a =-; ()D 13
a =.
二. 解答题(6'530'?=) 1.
计算由曲线y =
340x y -+=所围平面图形的面积.
[2
1
141
)336
A x dx -=
-=?] 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ?计算n 阶导数的莱布尼茨公式, 计算2x
x e ?的10阶导数. [()
()()
2(10)1020
[()()]
;()2(5)n
n k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑]
3. 求函数2()(5)x f x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.
[4max min '(4)(1)(,4],[1,);[4,1];(4)7;(1)3x f x x e f e f e -=+-?-∞-+∞--==- ] 4. 计算反常积分
22
1
ln(1)
x dx x
+∞
+?
. [ln 22I π=+] 5. 求微分方程2
"2'31,(0),'(0)73
y y y y y +-==
=-的解. [331211
233
x
x x x y c e c e e e --=+-=--]
三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程21x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直 的浸入水中, 其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. [1
21
(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=?
]
四. (10')
求积分
1)x dx +?
, [28ln 2393
I π
=+-]
五. (10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201
,12x x y x ax b ≤≤?=?<≤+?
在区间[0,2]上可导; 2. 若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀 的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.
[2,1a b ==-;022
0002
,01()()'()''4,13(1)
h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ?
≤≤??=?==?=??<≤+???]
六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知
顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.
[2
223f rh r ππ=+
,2
322281414(),'()033r h r f r r f r r r πππ+
=?=+=? ] 七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数, 并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格 朗日中值定理, 存在0x x ξ<<, 使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-. 证明ξ定义了 0(,)x +∞上的一个单调增加函数.
['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证
00
()()
f x f x x x -- , 可得()x ξ递增]
同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空选择题(3'8?)
1. 函数()x f x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为2
3
44
11()()2
6
f x x x x x o x =-+-+
2. 2(1)x y e x -=+在1x =
所对应点的曲率25
K =
3. 极限lim
(1ln )
x a
a x a a x a a a x
→-=--
4.
由方程22y x +=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数
(1,0)
32
dy
dx =
5. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞
存在是函数极限lim ()x f x →+∞
存在的什
么条件? [ B ] ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6. 在区间[,]a b 上, 函数()f x 连续的充分条件是: [ B ] ()
()b
a
A f x d x ?
存在; ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()D f x 有界.
7. 如果作换元2sin x t =,
则定积分
2
f dx 等于 [ C ]
40
()
(2c o s )2c o s A f t t d t π
??
; 24
()(2cos )2cos B f t tdt π
π??;
42
()(2c o s )2c o s
C f t t d t π
π??; 0
4
()(2cos )D f t dt π
?.
8. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ] 2
()()(1)()x A f x e
x o x ?=-?+?; 1
()()0B f x dx >?;
()"()0C f x >; 4
()()[1()]()D f x f x x o x ?=+?+?.
二. (4'3?)
1. 如图是函数()y f x =的图像, 试在下列空格中填入恰当的符
号: 0<; 0=或0>
.
4
4
()0f x d x -
;
4
4
'()0f x dx -=?
;
4
4
"()0f x dx ->?
;
4
4
"'()0f x dx -
.
2. 求极限1
20
01lim (12)x t
x t dt x →+? [1220lim 2(14)2x x x e →=+=]
3. 计算不定积分(1)ln(1)x x dx ++?
[2211
(1)ln(1)(1)24
x x x c ++-++] 三. (6'3?) 1. 求曲线21
x x y e
-=
的凹凸区间与拐点的坐标. [22'(32),"4(2):(,2];:[2,)x x y e x y e x --=-=-??-∞?+∞; 拐点:4(2,)e -]
2. 计算反常积分
21(2ln ln )e
dx x x x +∞
+?
. [1ln 1
ln ln 322ln 2
e x x +∞
==+]
3. 一个由曲线段24(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体, 如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. [4
8
(4)43
y W y dy πγπγ=
-=?] 四. (8')试用适当的换元法求微分方程22
222()2()1
dy x y x dx y x -=
-+的通解. [2
2
22222arctan 21
du xu y x u x u u x c dx u -=?+=?-=-+?+ ] 五. (8')试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间
的函数未必连续. [最值定理; 介值定理; 反例略]
六. (10')计算由曲线2x
y e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积, 并 求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.
[切线:2y ex =;切点:12x =; 112
2222
220023(2);[()(2)]412
x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-=
=-=??] 七. (10')试求微分方程22
"cos y y x x +=+的通解.
[22
1231
;*cos 2sin 2;cos sin cos 226
i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++-
-] 八. (10')()f x 是以T 为周期的连续函数, 若
()T
f t dt A =?
, 求极限0
1lim
()x
x f t dt x →+∞?.
[0
(0)
(0)
(0)
1()()()()()()lim
lim
lim
T
nT
nT T
nT
n n n T T T f t dt f t dt
f t dt f t dt
n f t dt f t dt
A n nT nT T T n
θ
θ
θ
θθθθθ
θ
+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++?
??
?
??]
同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 选择与填空题(3'824'?=) 1. 极限26
2lim(
)1
n
n n e n -→∞
-=+
2. 利用定积分的几何意义,积分
4
-=
?
92
π
3. 微分方程"'120y y y +-=的通解为
4312x x
y C e C e -=+
4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处,发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =,我方 拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处,发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍,如果由计算机控制,在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射,并且我方导弹的 运行轨迹是直线,如果两导弹的相撞点为00(,)x y ,则该点满足的方程为
2x =?
5. 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【A 】 ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件.
6. ()f x 是连续函数, 曲线段()()x
a
f t dt a x b ≤≤?
的弧长s 的计算公式为 【C 】
()a A s =?
; ()a B s =?
;
())a
C s d
x =
?
; ()a
D s =?无关条件.
7. 函数()f x 具有三阶连续导数,如果"()0,[,]f x x a b >∈,则下列四项积分中,积分值 确定为正数的积分为 【A 】 ()['()'()]
b
a A I f
b f x d x =-?
; ()'()b
a
B I f x dx =?; ()[()
()]b
a
C I f x f a d x
=
-?
; ()'"()b
a
D I f x dx =?. 8. 利用换元ln(1)x t =+, 积分
2
()x f e dx ?
等于 【D 】
2
0(1)
()1f t A dt t ++?; 210()(1)e B f t dt -+?; 20
(1)()1e f t C dt t ++?; 210(1)()1e f t D dt t -++?. 二. 计算下列各题(6'636'?=)
1. 试计算由23
ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程.
[22
213
'3470(31)4
x y x y y x +=-=-?+-=+]
2. 求由参数方程t t
x e y e t
-?=?=+?所确定函数()y y x =的导数22;dy d y
dx dx . [22322();22t t t t dy d y e e e e dx dx
=-+=+] 3. 求不定积分
[3
22(1)3x x c +-+] 4. 曲线段3:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集,
即222{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ,求极限2lim n
n A n →∞.
[22
2
()lim n n n A n A n s n
πππ→∞≤≤+?=] 三. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞?. [121arctan 11[arctan ]22
x x x x +∞
=-++=]
四. (8')()f x 具有二阶导数, 如果极限2
01()(2)
lim
1x f x xf x x →++=-, 求(0),'(0),"(0)f f f .
[(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-]
五. (8')可导函数()f x 满足方程4
0()2()1x
f x tf t dt x -=--++?, 求函数()f x .
[2
32
(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+?=-+]
六. (10')求函数2
31
x
x y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值.
[231
11
'(21)(1)(,1],[1,],[,);22
x x y x x e ++=++?-∞-↑--↓-+∞↑
极小
1
()2
y -=极大1(1)y e -=-
; 11
min max 2(2),(2)2y y e e
-=-=] 七. (10')计算由曲线21x
y e
=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该图
形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [2
24244240
031[(1(1)];2()(51)222
x x A e e dx e V x e e dx π
ππ=
---=
+=-=-?
?]
八. (8')计算极限1
2
ln(1)0(12)
lim
t
x
x x t dt t +→-?.
[
1
1
2
22ln(1)(12)(12)1
(ln(1)),ln(1)2t
x
x t dt x x x x x L t e
ξ
ξξξξ+--=-++<?=? ]
同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空选择题(3'824'?=)
1. 极限23
232lim()1
n
n n n e n -→∞-+=+
2. x y xe =在1x =对应点的曲率k =
3
22
3(14)
e e +
3.
反常积分
1
10
11
1dx x
x
αα
+∞
-+?
?收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2
α∈
4.
1
'(32)(32)2
x x x e f e dx f e c -=-
-+?
5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是 【B 】
()'()'()()(A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()
'()'(C f b f a f b f a -
<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.
6. ()f x 是连续函数, 极限1
21
lim
(
)n
n k k n f n n
→∞
=-?∑等于下面的定积分 【D 】
1
1
()
(21)A f x d x --?
; 2
()(21)B f x dx -?; 1
1
()2()C f x dx -?; 1
()(21)D f x dx -?.
7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是 【D 】 (){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛; (){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞
=∞.
8. 223
()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+, 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根 【C 】
()0A 个; ()1B 个; ()2C 个; ()D 至少3个.
二. 计算下列各题(6'424'?=) 1. 求函数21
232
x x y e
-++=的单调区间与凹凸区间.
[221
1
23232
2
'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e
-++-++=-=--]
2. 求曲线21
32y x e
y -+=在(1,1)点的切线方程. [230x y +-=]
3. 计算反常积分
3
11arctan xdx x +∞
? [12] 4. 求微分方程"3'441y y y x --=+的通解. [41212
x x
y C e C e x -=+-+]
三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x
=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出 相应的渐近线. [铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e
=++]
四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对 称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A . (1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=; [2
2
()()()2()b
b b
a
a
a
V f
g dx f g f g dx c f g dx πππ=
-=+-=-???]
(2)计算椭圆2
214x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. [28V π=] 五. (8')设()f x 是可导函数, 并且满足方程220()()12x
t f x tf dt x =
++?, 求函数()f x .
[2231
(0)1,'()4()2()22
x f f x xf x x f x e ==+?=-]
六. (8')(1)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(2)计算极限2
lim 1(1)
x
x x e x
→+∞+.
[(1)12311(1)()23n n n x x x x o x n ---+++
+
;(2)221
ln(1)lim lim 1(1)
x x x x
x x x e e x
-+→+∞→+∞==+七. (10')由方程2
2,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度 单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟0.5米的速度开 始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率.
[(1)4
(4P g y g ρ=
-?
; (2)40(,dP P g h y g dt ρ=-=?]
八. (10')设222(0)n
n n x
y a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A . (1)利用定积分写
出n A 的计算公式(无需计算n A 的值); (2)证明极限lim n n A →∞
存在; (3)计算极限lim n n A →∞
.
[(1)0
a
n A =
?
;(2)11
22220
(1)n n a t dt A a a -≤=≤??
;(3)2lim n n A a →∞
=]
同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空选择题(3'824'?=)
1. 极限1
2
02lim(
)23h h h e h
-→-=+.
2. 积分(12sin )
cos '(12sin )2
f x x f x dx C
--?-=+?
.
3. 函数2
20
()sin(1)x F x t dt =
+?
的导函数4'()2sin(1)F x x x =+.
4. 曲线3
22
(1)1(12)3
y x x =++-≤≤的弧长14
3
s =
.
5. 极限0
lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】
()
0,0A εδ?>?>,
当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()
0,0B εδ?>?>,
当x δ>时, 有()f x ε>; ()
0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; ()
0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()(
)A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223
()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数;
11223
()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数;
112233()()()(
)D C y x
C y x C y x ++
, 其中任意常数1231C C C ++=. 7. 若()f x 是连续函数, 则极限1
21
lim
(
)2n
n k n k f n n
→∞
=+∑等于 【A 】
3
2
1
2
()()A f x d x ?
; 2
()()B f x dx ?; ()C 12
()f x dx ?
; 1
0()()2
x
D f dx ?.
8. 若对于积分0
(2)a
f a x dx -?
作换元2a x u -=, 则该定积分化为 【C 】
()
()a
a
A f u d u -?
; 0
()2()a B f u du ?; ()
C 1()2
a
a f u du -?; 0()()a D f u du ?.
二. 计算下列各题(6'424'?=)
1. 试求曲线2sin y x y x ++=在点(1,0)处的切线方程. [21x y +=]
2. 求不定积分2
ln(1)x dx +?
. [2ln(1)22arctan x x x x c +-++]
3. 求微分方程3'xy x y =-的通解. [4
11()4
y x c x =+] 4. 求微分方程"2'15153y y y x --=-的通解. [531213
x x
y C e C e x -=+-+]
三. (8')计算由22y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1
22
9(2)2
x x dx ---=
?
]
四. (8')计算反常积分31
arctan x dx x +∞
?
. [21
1111
arctan arctan 2222I x x x x +∞
=---=]
五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图,
(1)求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点.
[35353(,],[,);[,];()x x x x f x -∞+∞ 极大,5()f x 极小
124124[,],[,);(,],[,];x x x x x x +∞?-∞?拐点112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ] 六. (10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的 底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.
[322
max 1(3),3V R h h V π=-=
] 七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成,
若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功.
[2
221(10),4(1)(),4
x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=] 八. (8')已知()f x 具有二阶导数,
且"()f x ≥判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出判 断的理由.
[21
"()()(0)'(0)"()2f x f x f f x f x ξ≥
=++→+∞
]
同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 选择填空题(3'824'?=)
1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】
()'A k k =
; 1
()'B k k
=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有 2
()1x
y x o x x ?=
?+?+, 则有 【C 】 2
22
1()()(1)
x A f x x -=+; 2()()11x B f x x =++; ()
C ()l 1
f x =+; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分
2
()f x dx ?
. 【D 】
12()l i m ()n
n k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1
1
()lim 2()n
n k k D f n n →∞=∑. 4.
要使反常积分
+∞
?
收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.
5. 如果作换元sin x t =,
则积分3
(sin )f x dx π
=
?
.
6. 微分方程231x y dy
e dx -+=的通解21
13ln()32
x y e C +=+.
7. 已知2
()x f x dx e C =+?, 则22
2
(21)1(21)4x xf x dx e C --=
+?.
8.
定积分
3421[ln(1)2
R
R
x x dx R π-+=
?
.
二. 计算题(8'324'?=)
1.
求极坐标所表示的曲线4θρ=在04
π
θ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=] 2.
计算定积分
21
1
π+?
. [2π]
3. 可导函数()f x 满足等式20
()()22
x
t
tf dt f x =-?
, 求函数()f x . [22()2x f x e =]
三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如 果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]
四. (10')求微分方程00"2'31
414
,'9
3x x y y y x y y ==+-=+???==??的解. [315239x x
y e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;
(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33
y x A V π=-=
=] 六. (10')一只容器由2
(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量
的
1
4
, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [16
2;3
h W g ρπ==] 七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈] (2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -??<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.
[0,0εδ?>?>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→?<<-<]
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ,则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定,则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题(每题4分) 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导,并有)()(b f a f =,则(D ) A .一定存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导,且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<', 当,0>?x 时,有(A ) A. ,0<>?dy y C. ,0
同济大学2009高数B期末考试题
同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题 (共15分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ). 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
同济大学高等数学2
同济大学高等数学(下)期中考试试卷2 一.简答题(每小题8分) 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =?为什么? 3.不需要具体求解,指出解决下列问题的两条不同的解题思路: 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点,求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数,3x y =是f 的一条等高线,若 1)1,1(-=y f ,求)1,1(x f . 二.(8分)设函数f 具有二阶连续的偏导数,),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.(8分)设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ,其中f 与g 均具有连续的偏导数,求dx dy . 四.(8分)求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(,,处的切线与法平面的方程. 五.(8分)计算积分) ??D y dxdy e 2,其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.(8分)求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.(14分)设一座山的方程为2221000y x z --=,),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. (1)问:z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大,并求出此增长率; (2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点,即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大,请写出该点的坐标. 八.(14分) 设曲面∑是双曲线2422=-y z (0>z 的一支)绕z 轴旋转而成,曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. (1)写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标; (2)若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体,求Ω的体积.
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ???
(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
同济大学2015-2016学年高等数学(B)上期末考试试卷
本资料仅供参考复习练手之用,无论是重修只求及格,还是为了拿优保研,复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重,作为一个重修过高数的学长,望大家不要舍本求末,记住这样一句话,只有当你付出了,你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=.
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 分,共 ?分) .下列各组函数中,是相同的函数的是( ) (?)()()2ln 2ln f x x g x x == 和 ( )()||f x x = 和 ( )g x = ( )()f x x = 和 ( )2 g x = ( )()|| x f x x = 和 ()g x = .函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续,则a = ( ) (?) ( ) 1 4 ( ) ( ) .曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ) (?)1y x =- ( )(1)y x =-+ ( )()()ln 11y x x =-- ( ) y x = .设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ) (?)连续且可导 ( )连续且可微 ( )连续不可导 ( )不连续不可微 .点0x =是函数4 y x =的( ) (?)驻点但非极值点 ( )拐点 ( )驻点且是拐点 ( )驻点且是极值点
.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ) (?)只有水平渐近线 ( )只有垂直渐近线 ( )既有水平渐近线又有垂直渐近线 ( )既无水平渐近线又无垂直渐近线 . 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ) (?)1f C x ?? -+ ??? ( )1f C x ?? --+ ??? ( )1f C x ?? + ??? ( )1f C x ?? -+ ??? . x x dx e e -+?的结果是( ) (?)arctan x e C + ( )arctan x e C -+ ( )x x e e C --+ ( ) ln()x x e e C -++ .下列定积分为零的是( ) (?)424arctan 1x dx x π π-+? ( )44 arcsin x x dx ππ-? ( )112x x e e dx --+? ( )()1 2 1 sin x x x dx -+? ?.设()f x 为连续函数,则 ()1 2f x dx '?等于( ) (?)()()20f f - ( )()()11102f f -????( )()()1 202f f -????( )()()10f f - 二.填空题(每题 分,共 ?分) .设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = .已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '= .21 x y x =-的垂直渐近线有条 . ()21ln dx x x = +?
同济大学高等数学期末考试题
《高数》试卷7(上) 一、选择题(每小题3分) 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ). A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2- 2、极限x x e ∞→lim 的值是( ). A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、 不存在 3、=--→211) 1sin(lim x x x ( ). A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( ) A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是( ). A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设 ?+=C x dx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ). A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、?=+dx x x ln 2( ). A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2 )ln 2(21 C 、 C x ++ln 2ln D 、 C x x ++-2ln 1 8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、?104dx x π B 、?1 0ydy π C 、?-1 0)1(dy y π D 、?-104)1(dx x π
9、?=+1 01dx e e x x ( ). A 、21ln e + B 、2 2ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为( ). A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27 2=* 二、填空题(每小题4分) 1、设函数x xe y =,则 =''y ; 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m . 3、=?-1 13cos xdx x ; 4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 . 5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ,最小值是 ; 三、计算题(每小题5分) 1、求极限 x x x x --+→11lim 0 ; 2、求x x y sin ln cot 2 12+= 的导数; 3、求函数 1133+-=x x y 的微分; 4、求不定积分?++1 1x dx ; 5、求定积分 ?e e dx x 1 ln ; 6、解方程 2 1x y x dx dy -= ; 四、应用题(每小题10分) 1、 求抛物线2x y = 与 2 2x y -=所围成的平面图形的面积. 2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1 (上) (A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1 x -1 ( D ) y = x 4?设函数f x =|x|,则函数在点x=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - C I X 丿 I X 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 1.下列各组函数中 ,是相同的函数的是 ( ). (A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=J? (C ) f (X )=X 和 g (x ) = (T X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsinx+4 -2 x 式0 2.函数 f (X )= * In (1 +x ) 在X = 0处连续,则 a =( ) a x = 0 (A ) 0 ( B 1 - (C ) 1 (D ) 2 4 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( ) (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 「?选择题(将答案代号填入括号内,每题 3分,共30分)
最新同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试
同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷 一、选择题.(本题共有5小题,每小题3分,满分15分,每题只有一个正确答案) 1、下列微分方程为一阶线性方程的是: 【 D 】 :A '1yy =; :B 'e 1y y +=; :C 2 'y y y +=; :D 2 'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=,且() 0a b c ??=,则k = 【 B 】 :1A ; :2B ; :3C ; :4D 。 3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-,则k = 【 C 】 :1A ; :2B ; :3C ; :4D 。 4、设e cos x x z x y y =+ -,则z y ?=? 【 A 】 :A 2e sin x x y y - +; :B 21e sin x x y y -+; :C 21e sin x y y -+; :D 2e sin x x y y -。 5、交换二次积分的次序:()2 220d ,d y y y f x y x =?? 【 A 】 ()4 2 : d ,d x A x f x y y ? ?; ()4 :d ,d x B x f x y y ?; ()2220 :d ,d x x C x f x y y ??; ()2 :d ,d x D x f x y y ?。 二、填空题(本题共4小题,每小题4分,满分16分,只需将答案填入空格) 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =() 12e cos sin x c x c x +. 7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-,若,x a x b ⊥⊥,且7x =。则向量x =()3,2,6±。 8、空间直线240 329x y z x y z -+=?? --=?在xoy 面上的投影直线方程为: 7990x y z -=?? =? 。 9、设函数()2z f x y =-,其中函数f 具有二阶导数,则 2z x y ?=??() 2"2f x y --。
同济大学---高数上册知识点
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 (一) 函数 1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、 反函数、复合函数、函数的运算; 3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、 函数的连续性与间断点; 函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类:左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. (二) 极限 1、 定义 1) 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限 εδδε<-<->?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时,当 左极限:)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限:)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在
2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2) a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量. 2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则; 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5) 无穷小代换:(0→x ) a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - c) x e x ~1- ( a x a x ln ~1-) d) x x ~)1ln(+ (a x x a ln ~)1(log +)
(完整word版)同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)
课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题(共15 分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D .00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面22 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=???Ω dxdydz z y x f ) . 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 21 2 00 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 21 2 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θ πθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz π θθθ?? ? 4. 4.若 1 (1) n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线22 2 x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分)
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
一、 填空题(每题4分) 1. 若82lim =??? ??--∞→x x a x a x ,则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.23 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定,则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππΛ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21 C 二、选择题(每题4分) 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导,并有)()(b f a f =,则(D ) A .一定存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导,且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<',当,0>?x 时,有(A ) A. ,0<>?dy y C. ,0
3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 2 6e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是(B ) A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ,(其中C 为任意常数)是微分方程x y =''的(C ) A . 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解 二、 计算题(每题8分) 1.求数列极限n n n n +∞→1!sin lim 3 2. 0 2.求极限2200 sin lim 2x tdt e x t x ?→. 2 三、计算题(每题9分) 1. ?+=C x dx x xf arcsin )((其中C 为任意常数),求? dx x f ) (1. C 131-32+-)(x 2.设函数)(x f 连续,且dx x f x x x x f ?-++=1022 )(11)(,求dx x f ?10)(. π-42ln 2 四、10分 设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个解为x x x xe e e y ++=2,求常数c b a ,,的值. 1-,2,3==-=c b a 五、证明题(8分) 设函数)(x f 在],[b a 上可导,且0)()(==b f a f ,并存在一点),(b a c ∈,使
同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试
同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷 一、选择题.(本题共有5小题,每小题3分,满分15分,每题只有一个正确答案) 1 、 下 列 微 分 方 程为一阶线性 方程的是: 【 D 】 :A '1yy =; :B 'e 1y y +=; :C 2 'y y y +=; :D 2 'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=,且() 0a b c ??=,则k = 【 B 】 :1A ; :2B ; :3C ; :4D 。 3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-,则k = 【 C 】 :1A ; :2B ; :3C ; :4D 。 4、 设 e cos x x z x y y =+ -,则 z y ?=? 【 A 】 :A 2e sin x x y y - +; :B 21e sin x x y y -+; :C 21e sin x y y -+; : D 2e sin x x y y -。 5 、 交 换 二 次 积 分 的 次 序 : ()22 20 d ,d y y y f x y x =? ? 【 A 】 ()4 2 : d ,d x A x f x y y ? ?; ()4 :d ,d x B x f x y y ?; ()2220 :d ,d x x C x f x y y ??; ()2 :d ,d x D x f x y y ?。 二、填空题(本题共4小题,每小题4分,满分16分,只需将答案填入空格) 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =() 12e cos sin x c x c x +. 7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-,若,x a x b ⊥⊥,且7x =。则向量
同济大学高等数学上期末试卷(2套)
《高等数学》上 期末试卷(基础卷) 一.填空题(本题满分15分,每小题3分) 1.极限π2 ln sin lim 1sin x x x → =-________. 2.设()ln 1arctan x t y t t ?=+?=-?,则1d |d t y x ==________. 3. 曲线323y x x =+在 x = 1 处对应的切线方程为: . 4. 3 33)e d x x x x -+=?(________. 5. 常系数齐次线性微分方程6130y y y '''++=的通解是 ________. 二.选择题(本题满分15分,每小题3分)下列每小题给出4个答案, 其中只有一个是正确的,请将正确答案的编号填入括号内。 1.设()1,0 sin ,0x x f x x x x -≤?? =?>?? ,则0x =为()f x 的_______. A . 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 连续点 2.设()()()()123f x x x x x =---,则()f x ''在()0,3上恰有_______零点. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 当0x →时,cos x x x -与sin cos x x x -是 无穷小. A.等价 B.同阶 C.高阶 D.低阶 4. 函数( )(ln ln f x x a =-是 . A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇偶性取决于a 值 5. 微分方程 d e d x y y x = 的通解为 .
A .e x y C = B. e e x y C = C . x C y ln =; D.ln e x y C x =+. 三.计算题(本题满分24 分,共4小题,每小题满分6分) 1. 求I x =?. 2. 3 0ln cos d lim x x t t x + →?. 3. 函数)(x y y =由方程e cos x y y =+确定,求d d y x . 4. 求tan sin 2y y x x '+=的通解. 四.(本题10分)设平面区域D 由曲线y =直线 1x = 及0y =所围成, 求区域D 的面积,以及该区域绕y 轴旋转所成旋转体的体积V . 五.(本题10分)求内接于椭圆122 22=+b y a x 而面积最大的矩形的各边之长.. 六.(本题10分)设函数()x bx ax x f ++=23在1=x 取得极大值5, (1)求常数a 和b ; (2)求函数()x f 的极小值. 七.(本题10分)求函数2 361(3) x y x =++的单调区间,凹凸区间、拐点和渐近线,并画出函数的图形. 八.(本题6分)设()f x 二阶可导,且()00f =,()0f x ''>,证明: () f x x 在 ()0,+∞上单调增加.
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单 选题(共15分,每小题3分) C 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 D 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + C 3.设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=???Ω dxdydz z y x f ). 21 2 0cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 21 2 00 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θ πθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz π θθθ?? ? B 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 A 5.曲线22 2 x y z z x y -+=??=+? 在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)、 1.下列各组函数中,就是相同的函数的就是( )、 (A)()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B)()||f x x = 与 ( )g x =(C)()f x x = 与 ( )2 g x = (D)()|| x f x x = 与 ()g x =1 2.函数() 00 x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( )、 (A)0 (B)1 4 (C)1 (D)2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( )、 (A)1y x =- (B)(1)y x =-+ (C)()()ln 11y x x =-- (D)y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( )、 (A)连续且可导 (B)连续且可微 (C)连续不可导 (D)不连续不可微 5.点0x =就是函数4 y x =的( )、 (A)驻点但非极值点 (B)拐点 (C)驻点且就是拐点 (D)驻点且就是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况就是( )、 (A)只有水平渐近线 (B)只有垂直渐近线 (C)既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D)既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果就是( )、 (A)1f C x ?? -+ ??? (B)1f C x ?? --+ ??? (C)1f C x ?? + ??? (D)1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果就是( )、 (A)arctan x e C + (B)arctan x e C -+ (C)x x e e C --+ (D)ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的就是( )、
同济大学高等数学下期末试卷(2套)
《高等数学》下 期末试卷(基础卷) 一.填空题(本题满分15分,每小题3分) 1. 设y x z a =,则偏导数 z x ?=?_________. 2. 设L 为曲线2y x =上从()1,1-到()1,1的一段弧,则曲线积分d L x s =?________. 3. (,)d d D f x y x y ??在直角坐标下的累次积分为 ,其中D 是222x y y +=围 成的区域. 4. 一平面过点(6,3,2)且与平面5438x y z +-=平行,则此平面方程为___ __. 5. 空间曲线23,,x t y t z t ===在点0(1,1,1)M 处的切线与直线11 22x y z l k -+==平行,则l = ,k = ________. 二.选择题(本题满分15分,每小题3分)下列每小题给出4个答案, 其中只有一个是正确的,请将正确答案的编号填入括号内. 1. 设(3,5,2),(2,1,4)a b =-=,要使a b λμ+与z 轴垂直,则,λμ之间的关系为 . A.2λμ= B.2μλ= C. λμ= D.2λμ=- 2. 设可微函数(),f x y 在点00(,)x y 取得极小值,则以下结论正确的是 . A.0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零 B.0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零 C.0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零 D.0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在 3. 设222(0)D x y a a +≤>是由所围成的闭区域,则 d πD I x y ==??,则 a = . A. 1 B. C. D.